初中数学九年级上册《用树状图或表格计算概率》教学设计

初中数学九年级上册《用树状图或表格计算概率》教学设计

一、课标解读与核心素养锚定

本节课隶属于“统计与概率”领域中的“随机事件发生的概率”主题。《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，学生需要“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，从而了解并计算简单随机事件的概率”。这不仅是一种技能要求，更是引导学生从确定性数学思维向随机性数学思维过渡的关键节点，是培养学生数据意识、模型观念、应用意识和推理能力的重要载体。

从核心素养视角审视，本节课旨在：

1.数据意识：在随机现象中理解数据的随机性，感悟数据中蕴含的信息，通过树状图和表格这种“可视化”的数据组织方式，有条理地分析和表达随机现象。

2.模型观念：认识到树状图和表格是解决一类概率问题的通用模型（枚举法模型），理解模型的适用条件和结构，并尝试运用模型解决实际问题。

3.推理能力：从具体实例中归纳概括出使用树状图或表格求概率的方法和步骤，并能基于模型进行逻辑清晰的推演，得出概率结论。

4.应用意识：认识到概率模型在现实世界（如游戏公平性、简单风险决策、遗传学等）中的广泛应用，主动运用数学知识解释现实现象。

二、教材深度分析与知识网络建构

在本教材体系中，学生在七年级已接触了“可能性”的定性描述，八年级学习了“数据的收集与整理”，对随机现象有了初步感知。本节课是学生首次系统学习概率的定量计算方法，是概率论的入门基石。北师大版教材通过“配紫色”游戏等生动情境引入，旨在引导学生从“凭直觉判断”走向“依计算论证”。

教材内容的核心是介绍枚举法的两种可视化工具——树状图和表格。其内在逻辑是：当一次试验涉及两步或两步以上，且每一步可能出现的结果数目有限时，为了不重不漏地列出所有等可能的试验结果，需要借助有序的枚举工具。树状图体现了“分步、分层、逐级展开”的思维过程，尤其适合步骤清晰、环节递进的问题；表格则体现了“两维交叉、行列对应”的思维特点，尤其适合两步试验，且每步结果可以对称呈现的问题。二者本质相同，都是对样本空间的结构化呈现。

知识的生长点在于后续复杂概率问题的求解（如涉及三步及以上、非等可能、有放回与无放回等），以及高中阶段对排列组合、古典概型公式的抽象学习。因此，本节课的教学必须夯实“有序枚举”和“等可能假设”这两个核心思想。

三、学情透视与认知冲突预设

九年级学生具备一定的逻辑思维能力和分类讨论意识，能够进行简单的列举。但他们在学习本课时可能面临如下认知挑战：

1.思维定式干扰：从确定性代数、几何问题转向不确定性概率问题，思维模式需要转换。学生容易忽略“等可能性”这一基本前提，错误地列举非等可能的结果。

2.枚举无序性与遗漏重复：在自主列举多步骤事件结果时，极易出现混乱、遗漏或重复，缺乏系统的方法论指导。

3.对工具价值的质疑：部分学生可能认为直接想象或简单列举就能解决问题，对引入树状图和表格的必要性认识不足，难以体会其“使思维过程可视化、程序化、规范化”的优越性。

4.模型选择困惑：对于何时用树状图、何时用表格，缺乏判断依据，容易机械套用。

因此，教学设计必须创设能引发认知冲突的真实情境，让学生亲身经历从“尝试解决但易错”到“寻求规范方法”的思维过程，从而主动建构对枚举工具的需求和理解。

四、教学目标

（一）知识与技能

1.理解用树状图或表格列举所有等可能结果对于计算概率的必要性。

2.掌握用树状图或表格不重不漏地列举两步或两步以上简单随机试验所有等可能结果的方法与步骤。

3.能根据树状图或表格，计算简单随机事件的概率（P=满足条件的结果数/所有等可能结果数）。

（二）过程与方法

1.经历从实际问题抽象为概率模型，并运用树状图或表格求解的过程，体会模型化思想。

2.通过对比、归纳，发展观察、分析、概括和有条理地表达思考过程的能力。

3.在解决实际问题的过程中，学会根据问题特征合理选择枚举工具（树状图或表格）。

（三）情感态度与价值观

1.在探究活动中获得成功体验，增强学好数学的自信心。

2.感受数学工具的简洁与力量，培养严谨、有序的思维品质。

3.通过概率分析认识游戏、决策中的公平性等问题，形成理性的判断态度。

五、教学重难点

教学重点：用树状图或表格不重不漏地列举随机试验所有等可能结果，并计算相应事件的概率。

教学难点：1.理解并确保枚举过程中的“等可能性”；2.根据具体问题情境，灵活、合理地选择使用树状图或表格。

六、教学准备

教师准备：交互式电子白板课件（内含动态生成树状图和表格的功能）、实物教具（两枚质地均匀的硬币、一个骰子、红白两色小球若干）、学习任务单、分组标识。

学生准备：复习可能性的相关知识，准备直尺、铅笔、草稿纸。

七、教学过程

（一）创设情境，激疑引思（预计用时：8分钟）

师活动：展示一个经典的“开门大吉”模拟游戏情境。

“同学们，假设有一个闯关游戏。第一关，你需要从A、B、C三扇门中随机选择一扇打开。第二关，在你选择的那扇门后，可能藏着一张‘直接通关卡’（用金星标识），也可能是一道‘挑战题’（用蓝星标识）。已知每扇门后藏有金星和蓝星的可能性相同。现在，如果你先后通过了两关，最终获得‘直接通关卡’的概率是多少？”

生预设反应：部分学生可能尝试口头列举或简单书写，如“先选A，再遇到金星……”，但容易混乱。部分学生可能直觉回答“三分之一”或“一半”，意见不一。

师活动：不急于评判对错，而是将问题具象化。“让我们把问题简化并聚焦。这其实可以抽象为一个数学问题：进行两次选择，第一次有3种等可能结果（A、B、C），第二次有2种等可能结果（金星、蓝星）。求两次选择后，特定结果组合（如‘选某门且得金星’）出现的概率。如何清晰、完整地列出所有可能的情况呢？这就是我们今天要攻克的核心问题。”

设计意图：利用游戏情境激发兴趣，将复杂生活问题抽象为两步随机试验模型。学生的不同答案和列举困难，自然制造了认知冲突，凸显了寻找一种系统、清晰枚举方法的必要性，为新课引入做好了心理和认知铺垫。

（二）探究新知，建模固本（预计用时：22分钟）

环节一：初探工具——从“抛掷硬币”开始

师活动：“让我们从一个更简单的两步试验开始。同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币的可能结果是正面（H）或反面（T）。求两枚硬币都是正面的概率。”

1.让学生先独立尝试列出所有可能结果。

2.请几位同学展示他们的列举方法。预设会出现：（H，T）、（T，H）、（T，T）、（H，H），但可能顺序混乱；也可能有人错误列出（H）、（T）两种情况。

3.引导学生辨析：同时抛掷两枚硬币，能否区分硬币？虽然同时抛出，但为了不遗漏，我们可以想象有顺序地区分（如第一枚、第二枚）。这样，（H，T）和（T，H）是两种不同的等可能结果吗？通过讨论，明确区分硬币后，结果是等可能的。

4.引入树状图。

1.5.教师在白板上从一点开始，引出第一层分支：“第一枚硬币”可能结果为H或T。

2.6.从第一层的每个末端点，再引出第二层分支：“第二枚硬币”可能结果为H或T。

3.7.沿着从起点到最终端点的每条路径，读出一种可能结果：HH，HT，TH，TT。共4种等可能结果。

4.8.事件“两枚都是正面”对应路径HH，概率为1/4。

9.引入表格。

1.10.教师绘制一个2x2的空白框架。

2.11.第一行第一列空白，第一行第二、三列分别写上H、T，代表第一枚硬币的结果。

3.12.第一列第二、三行分别写上H、T，代表第二枚硬币的结果。

4.13.在表格内部交叉的格子中，填写对应的结果组合。引导学生观察，表格中呈现的4个格子，同样对应4种等可能结果。

14.对比与归纳（引导学生共同完成）：

1.15.共同点：都能不重不漏地列出所有等可能结果；计算概率的方法都是P=满足条件的结果数/总结果数。

2.16.树状图特点：步骤清晰，层次分明，像一棵树的生长过程。非常适合展示多步、顺序的过程。

3.17.表格特点：对于两步试验，尤其是当两步的结果类型可以对称排列时，呈现简洁、直观，一目了然。

环节二：深化理解——辨析“有放回”与“无放回”

师活动：变换情境，提升思维层次。

“问题二：一个袋子中装有红、白两个除颜色外完全相同的小球。随机摸出一个球，记录颜色后放回搅匀，再摸出一个球。求两次都摸到红球的概率。”

1.学生独立尝试用树状图或表格解决。教师巡视，选取典型作品展示。

2.聚焦树状图：第一次摸球：红（R）、白（W）。由于放回，第二次摸球仍然是从两个球中摸，可能结果仍是R、W。总结果数为4，目标事件（R，R）概率为1/4。

3.变更条件：“如果第一次摸出的球不放回，结果又如何？”

4.学生再次探究。关键点：第二次摸球时，可摸的球只剩下一个，因此结果依赖于第一次的结果。在树状图上，从“第一次摸到R”引出的分支，第二次只能是W；从“第一次摸到W”引出的分支，第二次只能是R。

5.引导学生对比两个树状图。强调：树状图的每一层分支，代表的是在该步骤、给定前面步骤结果的情况下，当前步骤所有可能的结果。在“无放回”问题中，后续步骤的可能结果集依赖于前面的结果，这与“有放回”问题中每一步结果集都相同形成对比。这是画树状图时需要特别关注的地方。

6.计算“无放回”下两次摸到红球的概率：只有（R，W）这一种可能？不，第一次摸到R后，第二次只能摸到W，所以（R，R）不可能发生，概率为0。这本身也是一个重要的结论，引导学生理解概率为0不一定代表不可能，但在此古典概型中确实代表不可能。

设计意图：通过从简单到复杂（从抛硬币到摸球）、从固定到变化（从有放回到无放回）的层层递进的问题串，引导学生深入理解树状图和表格的绘制方法。特别是对“有放回”和“无放回”的对比辨析，触及了条件概率的直观雏形，深化了学生对“等可能性”动态变化的理解，突破了难点之一。

（三）典例精析，活用模型（预计用时：12分钟）

例题：小明和小红玩“石头、剪刀、布”游戏。游戏规则为：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局。

（1）用表格列出所有可能的结果，并计算小明获胜的概率。

（2）若游戏进行两局，用树状图列出所有可能的结果，并计算小明两局都获胜的概率。

师引导学生分析：

1.对于第（1）问，这是典型的两步（小明出、小红出）试验，且每步结果（石头R、剪刀S、布P）对称，适合用表格。教师引导学生共同构建3x3表格，并找出小明获胜的结果组合（如（R，S）、（S，P）、（P，R））。计算结果：P(小明胜)=3/9=1/3。

2.对于第（2）问，这是在（1）的基础上，再进行一次同样的游戏，构成三步试验（第一局小明出、第一局小红出、第二局小明出、第二局小红出？）不，更合理的分解是：第一局结果、第二局结果。而每一局本身又包含两步。这为部分学生设置了思维障碍。

3.引导学生分层思考：先考虑一局游戏，其结果有三种等可能：小明胜（记A）、平局（记B）、小红胜（记C）。注意，这里“一局的结果”本身是由更基本的步骤（出拳）决定的，其概率我们已经求出。

4.那么，两局游戏，可以看作以A、B、C为基本结果的两次重复试验。据此画树状图：第一层，第一局结果：A，B，C；第二层，从每个结果出发，第二局结果也是A，B，C。这样得到9种等可能结果。

5.事件“两局小明都胜”对应结果（A，A）。但这里P(A)=1/3，所以P(A，A)=(1/3)×(1/3)=1/9。这引入了独立重复试验概率的乘法原理直观感受。

6.拓展提问：如果直接考虑出拳的细节来画两局的树状图，会怎样？那将是一个非常庞大的树状图（第一步：小明第一局出拳，3种；第二步：小红第一局出拳，3种；第三步：小明第二局出拳，3种；第四步：小红第二局出拳，3种），共81条路径。虽然也可行，但过于繁琐。引导学生体会，有时可以将复合事件看作一个基本步骤，优化模型选择，体现思维的灵活性。

设计意图：本例具有多重教学价值。第一问巩固表格应用；第二问挑战学生的模型抽象和选择能力。通过展示不同层次的建模策略（细粒度建模与粗粒度建模），引导学生认识到工具是为人服务的，应根据问题特征选择最简洁、有效的表达方式，以此突破“合理选择工具”这一难点。

（四）巩固练习，分层达标（预计用时：10分钟）

设计分层练习，学生根据自身情况至少完成基础层和拓展层。

基础层（面向全体）：

1.从1，2，3这三个数字中随机抽取两个数字组成一个两位数（数字不重复），请用树状图列出所有可能的两位数，并计算这个两位数是偶数的概率。

2.一个转盘被等分成红、黄、蓝三个扇形区域，转动转盘两次，用表格列出所有可能结果，求指针一次落在红色区域、一次落在黄色区域的概率（不考虑顺序）。

拓展层（面向大多数）：

3.小颖有红色、白色两件上衣，蓝色、黑色两条裤子。她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上。请用合适的方法列出所有搭配，求她上衣和裤子恰好是同色系的概率。（注：红-蓝、白-黑视为不同色系，红-黑、白-蓝视为非同色系）

挑战层（面向学有余力者）：

4.甲、乙、丙三人随机排成一排拍照。请用树状图表示所有可能的排队顺序。若甲和乙恰好相邻，则他们可以获得一份奖品。请问他们获得奖品的概率是多少？

教师巡视指导，重点关注基础薄弱学生在列举时的有序性，以及中等生在面对稍复杂问题（如练习3）时的工具选择。对挑战层问题，可提示将排队过程分解为确定第一、第二、第三位置三个步骤。

（五）课堂小结，升华认知（预计用时：5分钟）

师：请同学们围绕以下三个问题，以小组为单位进行总结，然后派代表分享。

1.我们为什么要学习用树状图或表格求概率？（解决无序枚举易错漏的问题，提供可视化、规范化的思考工具。）

2.画树状图或表格的关键步骤和注意事项是什么？（关键：明确试验步骤，确保每一步列出所有等可能结果。注意：区分有放回与无放回；检查是否等可能；数清总结果数和目标结果数。）

3.如何选择使用树状图还是表格？（树状图通用性强，尤其适用于两步以上或步骤间结果集有依赖关系的问题；表格对于两步且结果对称的问题更简洁直观。可根据个人思维习惯和问题特点灵活选择。）

教师最终提炼，并板书核心思想：“有序枚举是基础，等可能前提要牢记。树状表格皆工具，化繁为简求概率。”

（六）布置作业，延伸拓展

必做题：

1.教材本节后配套练习题。

2.设计一个涉及两步随机试验的生活中的小问题，并用树状图或表格求解其概率。

选做题：

3.（跨学科联系）查阅资料，了解孟德尔豌豆杂交实验中，用类似树状图的方法分析子一代、子二代性状出现概率的故事，并尝试用今天所学知识解释“圆粒与皱粒”之比约为3：1的原因（简化模型）。

4.（探究题）思考：如果抛掷三枚硬币，至少出现两个正面的概率是多少？尝试用树状图解决。

八、板书设计

（左侧主板）

主题：用树状图或表格计算概率

核心：有序枚举，等可能

一、树状图

特点：分步、分层、展开

关键：厘清步骤，逐层分支

例1：抛两枚硬币

（图示树状图）

例2：摸球（有放回vs无放回）

（对比图示）

（中间主板）

二、表格

特点：两维、交叉、对称

适用：两步试验，结果对称

例3：“石头剪刀布”一局胜负

（图示3x3表格）

概率公式：P(A)=m/n

（右侧副板）

三、对比与选择

树状图→多步、递进

表格→两步、对称

四、注意事项

1.确认等可能性

2.区分有放回/无放回

3.数清路径或格子

思想提炼：有序枚举是基础……

九、教学反思与评价设计

本节课的教学评价将贯穿于全过程，采用多维度的方式：

1.过程性评价：通过课堂观察，评价学生参与探究活动的积极性、小组讨论的有效性、列举过程的条理性。

2.纸笔评价：通过课堂练习和课后作业，评价学生对树