小学数学三年级上册《集合：重叠问题的数学模型建构》教学设计

小学数学三年级上册《集合：重叠问题的数学模型建构》教学设计一、教学内容分析【基础】“数学广角——集合”是人教版三年级上册第九单元的内容。集合论是现代数学的基础理论，其思想方法渗透于数学的各个分支。小学阶段的集合思想主要通过直观图（维恩图）和具体事例来呈现，旨在让学生初步体会集合的概念及集合的交集、并集等基本运算思想。【重要】本单元仅仅有一个例题，却承载着重要的数学思想启蒙任务。例题通过统计表的形式呈现了参加跳绳比赛和踢毽子比赛的学生名单，其中有两项都参加的学生。教材编排从学生的认知起点出发，首先让学生通过观察名单发现“重复”现象，产生认知冲突；其次引导学生用多种方式（圈一圈、画一画、连线等）整理名单，使信息更加清晰；然后引出维恩图，让学生在创造与对比中理解维恩图各部分（跳绳的、踢毽的、两项都参加的）的含义；最后借助直观图列式解答，掌握求两个集合的并集的元素个数的方法。【热点】在当前强调核心素养的课改背景下，本课的教学不再局限于会列式计算，更侧重于让学生经历集合思想的形成过程，体会维恩图的价值——即能将抽象的重复关系转化为直观的图形语言，从而培养几何直观、模型意识和抽象能力。这不仅是知识的习得，更是思维方式的优化。二、学情分析【基础】三年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。在日常生活中，他们已经接触过一些具有“重复”属性的现象（如：既是值日生又是小组长、既喜欢画画又喜欢唱歌等），但尚未形成系统的数学模型。在一年级学习排队问题时，学生已经接触过简单的重叠现象（如：小明从前数是第4个，从后数是第5个，一共有几人？），这为本课学习提供了经验基础。【难点】学生的认知难点在于：一是对“重复部分”的理解，往往容易忽略重复的人而被表面的人数总和所迷惑；二是对维恩图结构的理解，特别是中间交集部分既属于左边又属于右边的“双重属性”；三是如何将现实情境中的数量关系抽象为数学模型，并用算式准确地表达出来。三、教学目标1.知识与技能：（1）在具体情境中，让学生初步感知集合的思想，理解维恩图各部分（圈内、圈外、交集）的含义。（2）能借助维恩图，利用集合的思想方法解决简单的具有重复部分的实际问题，并能根据图示正确列式解答。2.过程与方法：（1）通过观察、猜测、操作、交流等活动，经历维恩图的建构过程，体会图示模型对于清晰表达重复关系的优越性。（2）在比较不同算法（分步、综合）的过程中，理解解决问题策略的多样化，并优化解题思路。3.情感态度与价值观：（1）感受数学与生活的密切联系，体会数学在现实生活中的应用价值。（2）通过小组合作与交流，培养学生善于观察、勤于思考、勇于表达的学习习惯，初步养成用模型思维审视生活现象的意识。四、教学重难点1.【重点】理解维恩图的各部分意义，能借助维恩图分析数量关系，解决简单的重叠问题。2.【难点】经历集合图的形成过程，理解交集部分的“双重属性”，并能准确列出算式（特别是理解为什么要减去重复的部分）。五、教学准备多媒体课件、磁性姓名卡片（或打印好的学生名单）、双色磁力条（用于画圈）、学习任务单。六、教学过程（一）唤醒经验，冲突引入1.脑筋急转弯，初识“重复”。师：同学们，上课之前我们先来热热身，猜两个脑筋急转弯。请看大屏幕：（1）排队去买票，小明前面有4个人，后面有5个人，请问这排一共有几个人？（2）两位爸爸和两位儿子一起去看电影，他们只买了3张票就顺利进去了，这是为什么？预设：第一个问题学生容易脱口而出“10人”，引导回忆一年级学过的“4+5+1=10（人）”。第二个问题让学生讨论后揭示答案：他们是外公、爸爸、儿子（爸爸既是儿子又是爸爸，具有双重身份）。师：生活中像这样一个人有两种身份，或者一个事物包含在两部分中的现象，数学上我们把它叫做“重叠”现象，也叫“包含”现象。今天我们就来研究这类有趣的数学问题。【设计意图：通过学生熟悉的脑筋急转弯引入，激发兴趣，唤醒学生对“重复”现象的已有生活经验，为新课的探究做好心理铺垫。】2.创设情境，引出问题。师：学校马上要举行阳光体育节了，三年级（1）班正在选拔参赛选手。体育委员统计了一份名单。（课件出示统计表）跳绳比赛：杨明、李芳、刘红、陈东、王华、张伟、赵军、丁旭、周晓（9人）踢毽比赛：杨明、李芳、刘红、于丽、王志、徐强、牛力、朱雨（8人）师：从这份通知中，你获得了哪些数学信息？预设：跳绳的有9人，踢毽的有8人。师：根据这些信息，你能提出什么数学问题？预设：参加这两项比赛的一共有多少人？师：好，我们就来解决这个问题。请同学们快速计算一下，一共有多少人？预设：很多学生会脱口而出“9+8=17（人）”。但也有细心学生会提出质疑：“不对，只有14人吧？因为有人两项都参加了。”师：哦？出现不同意见了。到底是17人还是14人？为什么会有这种分歧呢？预设：因为有重复的人。师：看来，问题就出在“重复”上。那你能从名单中找出，哪些同学重复了吗？学生找出：杨明、李芳、刘红重复了。师：重复了3人，那实际人数就是9+83=14（人）。可是，光靠眼睛在名单里找，总感觉有点乱，容易数错。有什么好办法，能让别人一眼就看出：哪些是只跳绳的，哪些是只踢毽的，哪些是两项都参加的？【设计意图：制造认知冲突，让学生从简单的加法思维过渡到对重叠问题的关注。引出“整理信息”的需求，为后续的图示建构提供动力。】（二）自主探究，构建模型1.初次尝试，自主整理。师：请大家拿出学习任务单，用你自己喜欢的方法（可以写一写、画一画、连一连、圈一圈），把名单整理一下，要求让人看得清清楚楚，明明白白。学生独立尝试，教师巡视，寻找有代表性的作品。2.展示交流，对比辨析。师：我们来看看几位同学的作品。（1）展示“连线法”：把重复的名字用线连起来。（2）展示“列除法”：左边写跳绳的，右边写踢毽的，中间单独列出重复的。（3）展示“圈圈法”：有的学生画了两个独立的圈，把名字分别放进去，但发现重复的名字不知道放哪里；有的学生画了两个交叠在一起的圈。【重要】师重点引导对“两个交叠圈”的讨论。师：这位同学画了两个圈，他把谁放在了中间重叠的位置？（杨明、李芳、刘红）师：为什么要这样放？放在这里，他们算不算跳绳的？算不算踢毽的？预设：算，因为他们既参加了跳绳，又参加了踢毽，所以放在中间，两边都能算。师：那左边月牙形的位置该放谁？（只跳绳的：陈东、王华、张伟、赵军、丁旭、周晓）师：右边月牙形的位置呢？（只踢毽的：于丽、王志、徐强、牛力、朱雨）师：现在大家看看，这个图是不是比刚才的表格更清晰了？3.介绍维恩图，赋予文化内涵。师：同学们真了不起，你们刚才创造的这个图，其实早在100多年前，英国有一位名叫约翰·维恩的逻辑学家就发明出来了。他用这样的封闭曲线来表示集合及其关系，后来人们为了纪念他，就把这种图叫做“维恩图”，也叫做“集合图”。（板书：集合）师：在数学上，我们把具有某种共同属性的事物看成一个整体，就是一个集合。比如，这里所有参加跳绳的同学，就构成了一个“跳绳集合”；所有参加踢毽的同学，构成了“踢毽集合”。那两个集合重叠的部分，就是它们的“交集”，表示既参加跳绳又参加踢毽的同学。【设计意图：尊重学生的原始思维，让学生在创造、对比、修正中经历维恩图的形成过程。通过介绍维恩图的历史，增加课堂的文化底蕴，同时将学生的感性认识提升到理性概念。】4.数形结合，列式解决。师：现在看着这个维恩图，你能列几种不同的算式来解决“一共有多少人”吗？学生独立思考后，小组交流，全班汇报。预设算法：（1）分部分相加：只跳绳的6人+两项都参加的3人+只踢毽的5人=14人。（板书：6+3+5=14）（2）先加后减：跳绳9人+踢毽8人两项都参加的3人=14人。（板书：9+83=14）（3）其他思路：9+(83)=14或8+(93)=14师追问：为什么要减3？（重点讲解第二种算法）生：因为9+8的时候，把两项都参加的那3个人算了两次，所以要把多算的一次减掉。师结合图示手势：左边圈里的人数和右边圈里的人数相加，中间交叉的部分被加了两次，所以要减去一次，才能得到总人数。这就是“容斥原理”最简单朴素的思想。【重要】师总结：看来，无论用哪种方法，我们都可以借助维恩图来理清关系。维恩图不仅能让我们看清谁是谁，还能帮助我们找到正确的计算方法。（三）分层练习，内化模型1.【基础练习】生活中的维恩。（课件出示：超市两天进货情况）第一天进了5种水果：苹果、香蕉、橘子、梨、草莓第二天进了5种水果：草莓、西瓜、葡萄、桃子、苹果师：两天一共进了多少种水果？要求：先让学生说出哪些水果是重复的（交集），然后独立列式。2.【变式练习】动物运动会。（课件出示多种动物：蝴蝶、金鱼、老鹰、鲸鱼、麻雀、鲨鱼、蜻蜓、海豚）要求：把下面的动物序号填在合适的集合图中。第一个圈：会飞的第二个圈：会游泳的【难点】引导学生讨论：既会飞又会游泳的动物有哪些？（如：蜻蜓？野鸭？这里根据实际情况调整，重在理解交集的意义）如果没有既会飞又会游泳的，那图该怎么画？（两个分开的圈）3.【综合练习】智力大闯关。三（1）班参加语文竞赛的有25人，参加数学竞赛的有30人，两项都参加的有10人，两项都没参加的有5人。（1）只参加语文竞赛的有多少人？（2）只参加数学竞赛的有多少人？（3）这个班一共有多少人？【热点】先让学生尝试画图，注意引导“两项都没参加的5人”应该画在圈外（因为既不属于语文集合，也不属于数学集合）。全班总人数=只语文+只数学+两项都参加+两项都不参加。【设计意图：练习设计由浅入深，层层递进。从直接套用模型，到判断有无交集，再到引入“圈外”元素，不断丰富学生对集合结构的认知，培养灵活运用模型的能力。】（四）联系生活，拓展应用师：其实，在我们的校园生活中，处处都有集合问题。情境1：值日生与班干部。我们班周一值日的同学有6人，担任小组长的有4人，其中既是周一值日又是小组长的有1人。周一值日或者担任小组长的同学一共有几人？情境2：兴趣班报名。三（2）班有45人，每人至少参加一个兴趣班。报名书法的有22人，报名绘画的有28人，问两个班都报名的有多少人？（此题是逆向思维题，引导：总人数=书法+绘画两者都参加，所以两者都参加=书法+绘画总人数）【设计意图：将数学问题还原回生活情境，让学生感受到数学就在身边，同时也训练了正向和逆向两种不同的思维路径。】（五）回顾整理，反思提升师：同学们，今天这节课我们一起研究了什么数学问题？预设：研究了重复的问题，重叠问题，集合问题。师：我们是用什么工具来研究它的？预设：维恩图，集合圈。师：谁来说说维恩图好在哪里？预设：能让人一眼就看清楚重复的部分，能帮助我们理清数量关系。师：通过今天的学习，你有什么收获或想提醒大家注意的地方？预设：计算总人数时，重复的部分不能算两次；画图时要注意交集的表示。【重要】师总结：今天我们从一份简单的名单开始，经历了发现问题、创造图形、解决问题的全过程。集合思想是数学中非常重要的思想，它不仅存在于人数统计中，还存在于图形分类、数的分类等方方面面。希望同学们能带着这双“数学的眼睛”，去发现生活中更多的集合奥秘。七、板书设计小学数学三年级上册《集合：重叠问题的数学模型建构》一、发现问题跳绳：9人踢毽：8人一共？人（发现重复：3人）二、建立模型（维恩图）（此处画两个相交的圆）左边月牙（只跳绳）：陈东等6人中间交集（两者都参加）：杨明、李芳、刘红（3人）右边月牙（只踢毽）：于丽等5人三、列式解答1.分部分：6+3+5=14（人）2.总和减重复：9+83=14（人）3.移项法：9+(83)=14【核心公式】总人数=集合A+集合B交集（A∩B）八、作业设计1.【基础巩固】完成课本练习二十三第1、2题。2.【实践调查】利用周末时间，调查一下你所在的家庭或小区里，订阅《故事会》和《科普画报》的情况，算一算两种报刊一共被订了多少份，并尝试画出维恩图。3.【拓展挑战】三（3）班有48人，其中喜欢打篮球的有32人，喜欢踢足球的有25人，每人至少喜欢一种。两种球都喜欢的有多少人？九、教学反思【非常重要】本节课的设计核心在于“让思维可视化”。传统的教学往往直接出示维恩图让学生认图、列式，虽然也能算出结果，但学生缺乏对模型必要性的深刻体验。本设计通过“冲突——创造——优化——应用”的路径，让学生亲历了数学建模的全过程。1.冲突是引擎：17人与14人的争论，点燃了学生探寻真相的好奇心。2.创造