2025-2026学年安徽滁州市定远育才学校高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（）A. B. C.1 D.2.已知中，，则此三角形为（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形3.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.4.已知向量，若，则（）A. B. C. D.5.已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.6.奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（）A. B. C. D.7.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A. B. C. D.8.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（）A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.若，则10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（）A.若，则 B.若，则C.面积的最大值为 D.周长的最大值为三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)11.已知向量，，，的夹角为，则______.12.已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.13.已知为内一点，若，则称点为的“布洛卡点”.若为等腰的“布洛卡点”，且为钝角，的外接圆的面积为，则__________，__________.四、解答题(本大题共5小题，共77分)14.如图，在平行四边形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，，求的值.15.已知向量，，若，，与的夹角为．（1）求；（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？16.在中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求的大小；（2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.17.记的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且的周长为，求边上的高.18.如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；（2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，D为BC中点，求线段AD长；（3）若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．

数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知平面向量，满足，，与的夹角为120°，则（）A. B. C.1 D.答案：B解析：解答过程：a→2.已知中，，则此三角形为（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：思路：若是的中点，易得，即，再应用向量数量积的运算律和定义可得，即，即可确定三角形性状.解答过程：若是的中点，则，故，所以，显然为等腰三角形，即，由，可得，又，故，故为等边三角形.故选：A3.在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.解答过程：，由三点共线可得，且，所以，当且仅当即时等号成立.故选：D.4.已知向量，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由向量平行坐标表示可得答案.解答过程：由题意可得，解得.故选：D5.已知平面向量，满足：，且，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：直接根据投影向量公式求解.解答过程：由题意得，在方向上的投影向量.故选：C6.奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度．解答过程：如图，由题意可得，，∴，在中由正弦定理，，即，解得．∴，则（）．故选：B．7.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.解答过程：由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.8.在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果.解答过程：，由正弦定理得，，，即，，，，，，.故选：A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（）A.B.C.D.若，则答案：BCD解析：思路：根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答.解答过程：在中，为的中点，为的中点，，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，由，有，C正确；对于D，依题意，，于是，D正确.故选：BCD10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（）A.若，则 B.若，则C.面积的最大值为 D.周长的最大值为答案：BCD解析：思路：对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断.解答过程：对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误；对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确；对于C，由余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，由，，及余弦定理得，，所以，当且仅当时取等号，所以的周长，所以周长的最大值为，故D正确.故选：BCD三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)11.已知向量，，，的夹角为，则______.答案：解析：思路：根据向量的模长公式即可求解.解答过程：，故答案为.12.已知平面单位向量，满足，设，，向量，的夹角为，则的最小值是______.答案：解析：解答过程：设、的夹角为，由，为单位向量且满足，可得，解得；又，，所以，，，，的夹角为，则，所以时，取得最小值为13.已知为内一点，若，则称点为的“布洛卡点”.若为等腰的“布洛卡点”，且为钝角，的外接圆的面积为，则__________，__________.答案：①.②.解析：思路：根据给定条件，利用正弦定理，结合几何图形求出；利用正弦定理建立方程，结合差角的正弦求出.解答过程：由的外接圆的面积为，得外接圆半径，，又为钝角，则，，，在中，；同理，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，则，整理得，即，所以.故；四、解答题(本大题共5小题，共77分)14.如图，在平行四边形中，，.（1）若，求的值；（2）若，，，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）结合向量线性运算的几何意义，用、表示出向量，即可求出、的值，代入即可.（2）将也用、表示，结合已知条件和数量积的定义求解即可.（1），，，又，，故.（2），，又，，，，故的值为.15.已知向量，，若，，与的夹角为．（1）求；（2）当为何值时，向量与向量互相垂直？答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解；（2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可.（1），．（2）当向量与向量互相垂直时，，即，即，解得．所以当时，向量与向量互相垂直.16.在中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求的大小；（2）若外接圆的半径为，的面积为，求的周长.答案：（1）（2）9解析：思路：（1）根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解；（2）由三角形的面积公式，求得，根据题意和余弦定理，化简求得的值，即可求解.（1）由余弦定理及，可得，又由正弦定理，可得.因为，所以，所以，所以.又因为，所以.（2）由（1）可知，又知外接圆的半径为，则由正弦定理得.又由，可得，根据余弦定理，得，所以，所以，所以的周长为.17.记的内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，且的周长为，求边上的高.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意，得到，结合正弦、余弦定理，求得，即可求解；（2）根据题意得到，结合（1）得到，联立方程组求得，再由余弦定的值，利用，即可求解.（1）解：由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.（2）解：由，且的周长为，可得，又由（1）可知，，即，所以，联立方程组，解得，所以，则，所以边上的高为.18.如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知.（1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）；（2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理计算可得；（2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得.（1）依题意可得，，，在中由余弦定理，即，即，解得（舍去）或，所以线段的长度约为.（2）在中，，∴，∴，在中，，∴，，∴．又，在中由正弦定理，即，解得，所以线段的长度约为.19.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）若，D为BC中点，求线段AD长；（3）若