2025-2026学年山东临沂市兰山区高一下册普通高中学科素养水平监测数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.2.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.下列关于空间几何体的论述，正确的是（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.圆台的轴截面不可能为直角梯形4.若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.5.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.6.已知点是的外心，，若，，则实数的值为（）A. B. C. D.17.已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（）A.4 B.6 C. D.8.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（）A. B.1 C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线分别交于点，且，则（）A.圆锥的表面积为B.圆台的高为C.圆锥的体积为D.从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为510.若平面向量，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若在上的投影向量为，则C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为211.在中，内角的对边分别为，已知，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足z⋅z+2z13.已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________．14.已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，且，．（1）求与的值；（2）若，，求向量，的夹角的大小.16.设内角所对的边分别为，已知，且．（1）求的面积；（2）若为角的平分线，交于，求的长度．17.如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．（1）以为基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．18.定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，．（1）若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且；①求的长；②若，求的值．（2）若，求四边形面积的最大值．19.设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为．定义伪叉积：．规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的、、、，满足，．（1）设，，计算和；（2）设，，求证：；（3）在锐角中，角的对边分别是，若，，且，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则的虚部为（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：化简，再求出即得解.解答过程：由，得，从而，所以的虚部为1．故选：A2.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设与的夹角为，则，代入得，化简得，解得，，．3.下列关于空间几何体的论述，正确的是（）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C.连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D.圆台的轴截面不可能为直角梯形答案：D解析：思路：作出满足选项条件的几何体即可判断A和B考虑连线是否平行于旋转轴可判断C；根据圆台的定义，即可判断D．解答过程：图1图2对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，故A错误；对于B，如图2，该多面体有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形，但该几何体不是棱台，故B错误；对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台是由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，故D正确．故选：D．4.若斜二测画法的直观图是边长为2的正三角形，则原图形的面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法求出原三角形的高后可得其面积.解答过程：如图，直观图是边长为的正三角形，则其高，过作轴，交于，则，则在原中，，边上的高为，故的面积为，故选：D.5.一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为，正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则，侧面积为：，解得，或（舍去），，设棱台的高为，则，上底面积，下底面积，该正四棱台的体积：．6.已知点是的外心，，若，，则实数的值为（）A. B. C. D.1答案：D解析：思路：取边的中点，则.由题中条件分析可知点与点重合，为的中点.根据点是的外心，可得，利用向量垂直的坐标表示即可求解.解答过程：取边的中点，则.∵，∴，即，∴点与点重合，为的中点.又∵点是的外心，∴是以为斜边的直角三角形，∴.∵，，∴，解得.故选：D.7.已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（）A.4 B.6 C. D.答案：B解析：思路：先根据余弦定理计算圆锥的轴截面三角形顶角的余弦值，判断得出其为钝角，再根据三角形的面积公式可知，当截面顶角为直角时截面面积最大.解答过程：如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形，则，，则，则在中利用余弦定理可得，，则为钝角，设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则，则截面三角形的面积为，则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为.故选：B8.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深菨的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中为正八边形的中心，则（）A. B.1 C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用正八边形的结构特征，结合数量积的定义计算即得.解答过程：在正八边形中，连接，则，而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与圆锥母线分别交于点，且，则（）A.圆锥的表面积为B.圆台的高为C.圆锥的体积为D.从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5答案：ABD解析：思路：根据已知条件，结合圆锥的性质，利用圆锥的表面积公式计算判断选项A；利用三角形的性质及相关比例关系计算，判断选项B；利用圆锥体积公式计算判断选项C；数形结合判断选项D．解答过程：选项A：已知截面是面积为的正三角形，设边长为，则，解得，则底面半径，母线长，侧面积，底面积，，故A正确；选项B：，，，，则，故B正确；选项C：底面半径，，，故C错误；选项D：圆锥的侧面展开图是圆心角为的半圆，设的中点为，连接，则，，，故D正确．10.若平面向量，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若在上的投影向量为，则C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为D.若，则的最小值为2答案：BD解析：解答过程：选项A：已知a=m,2,b=1,此时a=12故与不平行，故A错误；选项B：在上的投影向量为a⋅bb2⋅∴b=1,2投影向量的系数满足a⋅bb2=2则，解得，，故B正确；选项C：当时，，若与的夹角为锐角，需满足：，且与不共线，，解得，若与共线，则，解得，此时夹角为0，已知与夹角为锐角，故，综上，的取值范围为−2,2∪2,+选项D：若，则，，当且仅当，即，结合得时等号成立，故D正确．11.在中，内角的对边分别为，已知，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：由余弦定理，即①，由正弦定理得：，代入①得，故A正确；1tan，则，由选项A知，，代入得，，故B错误；，∴cos已知，由正弦定理得，则，故C正确；sinAsinB两式相减等号右边为2sin∵cos则②化为，，，故sinA−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数满足，则___________．答案：解析：解答过程：设，则，，代入原式得，∴a2+b2．13.已知直角梯形，，，，，绕直角边旋转一周，则所得几何体的侧面积为___________．答案：##解析：解答过程：因为，，，所以，绕直角边旋转一周，所得几何体为圆台，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，所以圆台的侧面积.14.已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________．答案：4解析：解答过程：由余弦定理得，故，解得，结合得，中线满足向量关系：，则，，∴7=14c∵AB代入①可得，解得或（舍去），．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，且，．（1）求与的值；（2）若，，求向量，的夹角的大小.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量平行，垂直坐标关系运算得解；（2）求出向量的坐标，利用向量夹角公式求解.（1）由，可得，解得，由，可得，解得.（2）由（1），，，，设的夹角为，则，又，.所以向量的夹角为.16.设内角所对的边分别为，已知，且．（1）求的面积；（2）若为角的平分线，交于，求的长度．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由，，结合余弦定理化简得，再根据三角形面积计算公式计算即可；（2）根据及，化简计算即可.（1）由余弦定理可得：，即，因为，，所以，所以；（2）因为为角的平分线，所以因为，所以，而，所以.17.如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点．（1）以为基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）结合图形，根据平面向量的线性运算即可求解；（2）由三点共线及三点共线，结合平面向量共线定理列出方程组求解即可；（3）设，，再用表示出求得和，得出，结合即可得出．（1）．（2）连接，则，因为，，所以，，因为三点共线，三点共线，所以，解得．（3）设，，则，，所以，解得，所以，，又因为，所以，即，所以．18.定义平面凸四边形为没有内角度数大于的四边形．如图，已知平面凸四边形中，．（1）若四边形被对角线分为面积相等的两部分，且；①求的长；②若，求的值．（2）若，求四边形面积的最大值．答案：（1）①；②（2）解析：思路：（1）①根据已知条件，利用余弦定理和三角形面积公式求解；②建立坐标系，求出相关点和向量坐标，进而求出向量的数量积；（2）利用余弦定理和三角形面积公式，结合两角和的余弦公式及三角函数的性质求面积最大值．（1）①中，已知，由余弦定理得：BD2=∴S由题意知，在中，，由，解得，，，由凸四边形性质，，故，则∠CBD=60由余弦定理得：，故．②以为坐标原点建立平面直角坐标系如图，则B0,0,D∵AM=2∴BM∴BM（2）四边形的面积，则S△在中，由余弦定理得：BDS△在中，由余弦定理得：BD，化简得，S=S△∴S=2−2cos当且仅当，即时，取等，则，故．19.设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为．定义伪叉积：．规定零向量与任意向量的伪叉积为零．已知对任意的、、、，满足，．（1）设，，计算和；（2）设，，求证：；（3）在锐角中，角的对边分别是，若，，且，求的取值范围．答案：（1），（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值；（2）不妨设射