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文档简介

高等数学

第七章

微分方程

一阶微分方程

目录Contents一阶微分方程的形式1一阶微分方程的解法2可分离变量的方程一阶线性齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程一阶微分方程的形式1一阶微分方程的形式或下面介绍几种特殊类型的一阶微分方程的解法.一阶微分方程的解法2可分离变量的微分方程形如的微分方程称为可分离变量的微分方程.求解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步

分离变量，得第二步

两边积分，得第三步

求出积分，得其中，

分别是

的原函数，C为任意常数.这就是方程（1）的通解.例1

解：原方程可改写为分离变量，得两边积分，得即

所以，微分方程的通解为例2

解：分离变量，得两边同时积分，得积分后得

化简得练习求下列微分方程的通解.一阶线性微分方程形如的方程，称为一阶线性微分方程.一阶线性齐次微分方程：(上式中)一阶线性非齐次微分方程：一阶线性齐次微分方程的解法分离变量，得两边积分，得

所以，通解一阶线性非齐次微分方程的解法将得到的一阶线性齐次微分方程通解

中的常数

换为函数

，设

是一阶线性非齐次微分方程的解，为待定系数.代入一阶线性齐次微分方程，得即则所以因此，一阶线性非齐次微分方程的解为因为，它含有一个任意常数，微分方程为一阶方程，所以，为一阶线性非齐次微分方程的通解.说明：一阶线性非齐次微分方程的通解为这表明：一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应于它的一阶线性齐次微分方程的通解加上该非齐次方程的一个特解.例3解：求微分方程因为

代入通解公式得例4解：原方程可改写为

求微分方程

满足初始条件

的特解.上式为一阶线性微分方程，且将

代入通解公式，得把条件

代入

中，得解得故微分方程的特解为说明：代入通解公式前，必须将方程化为一阶线性

方程的标准形式.否则，计算会出错.练习1.求下列微分方程的通解.2.求下列微分方程满足初始条件的特解.课堂小结一阶微分方程的形式；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程的形式；

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