《高等数学（第三版）》教案 第6章 定积分

第六章定积分§6.1定积分的概念教学目的：1.了解定积分的实际背景2.理解定积分的定义3.了解定积分的近似计算4.掌握定积分的性质教学重点：1.定积分的性质及定积分中值定理教学难点：1.定积分的概念2.积分中值定理教学内容：一、引例：1、曲边梯形的面积在初等数学中，我们学习了一些简单的平面封闭图形(如三角形、圆等)的面积的计算.但实际问题中出现的图形常具有不规则的“曲边”，我们怎样来计算它们的面积呢？下面以曲边梯形为例来讨论这个问题.a=x0x1x2xi-1xixn-1xna=x0x1x2xi-1xixn-1xn=biOn12y=f(x)xy由于函数上的点的纵坐标不断变化，整个曲边梯形各处的高不相等，差异很大.为使高的变化较小，先将区间分成个小区间，即插入分点.在每个分点处作与轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成个小曲边梯形，其中第个小区间的长度为.由于连续，故当很小时，第个小曲边梯形各点的高变化很小.在区间上任取一点，则可认为第个小曲边梯形的平均高度为，因此,这个小曲边梯形的面积.用这样的方法求出每个小曲边梯形面积的近似值,再求和,即得整个大曲边梯形面积的近似值.可以看出：对区间所作的分划越细，上式右端的和式就越接近.记，则当时，误差也趋于零.因此，所求面积.(1)二、定积分定义定义设函数在区间上有定义，任意用分点将分成个小区间，用表示第个小区间的长度，在上任取一点，作乘积，.再作和.若当时，上式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在上的定积分，记作.即.其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，分别称为积分下限和上限.三、定积分的基本性质性质1．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2（为常数）．性质3．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4若在区间上，，则．推论1若在区间上，，则．推论2．例１比较下列定积分和的大小.解令．故，即．故从而原不等式成立.注＜0,＞＞0.性质5(估值定理)设函数在区间上的最小值与最大值分别为与，则．例2估计定积分的值解，由此有，于是由估值定理有．例3估计定积分的值．解设,得又所以在［1,2］内的最大值为最小值为0，于是，由估值定理有．性质6(定积分中值定理)如果函数在区间上连续，则在内至少存在一点，使下式成立：,．第六章定积分§6.2微积分基本公式教学目的：1.理解积分上限的函数及其导数2.熟练掌握牛顿——莱布尼茨公式教学重点：1.熟练运用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分教学难点：1.理解积分上限的函数教学内容：一、变上限的积分：设函数在区间上连续，，则在上连续，故积分存在，称为变上限的积分.为避免上限与积分变量混淆，将它改记为.显然，对上任一点，都有一个确定的积分值与之对应(图5－6)，所以它在上定义了一个函数，记作．即.（1）函数具有如下重要性质：定理1如果在区间上连续，则由(1)式定义的积分上限的函数在上可导，且有.推论若函数在区间连续，则变上限的函数是在上的一个原函数．由推论可知：连续函数必有原函数.由此证明了上一章给出的原函数存在定理．例1求下列函数的导数：(1);(2).解(1).(2).例2求极限.解此极限为型，用洛必达法则求解，故二、牛顿－莱布尼茨公式定理2牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则(4)牛顿－莱布尼茨公式是17世纪后叶由牛顿与莱布尼茨各自独立地提出来的，它揭示了定积分与导数的逆运算之间的关系，因而被称为微积分基本定理.这个定理为定积分的计算提供了一种简便的方法.在运用时常将公式写出如下形式：(5)例3计算.解.例4计算.解.例5计算.解.第六章定积分§6.3定积分的计算教学目的：1.熟练掌握定积分换元积分法教学重点：1.熟练运用换元积分法计算定积分教学难点：1.定积分换积分法变限教学内容：一、定积分的换元积分法：定理假设(1)函数在区间上连续；(2)函数在区间上有连续且不变号的导数；(3)当在变化时，的值在上变化，且，则有．(1)例1计算．解令，则．当时，；当时，．例2计算．解法一令，则．当时，；当时，，于是．解法二也可以不明显地写出新变量，这样定积分的上、下限也不要改变．即．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例3计算．解注：去绝对值时注意符号．===．例4设在上连续，证明：(1)若为奇函数，则；(2)若为偶函数，则．证由于,对上式右端第一个积分作变换，有．故．(1)当为奇函数时，，故．(2)当为偶函数时，，故．利用例4的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如．．第六章定积分§6.3定积分的计算教学目的：1.熟练掌握定积分分部积分法教学重点：1.熟练运用分部积分法计算定积分教学难点：1.定积分分部积分法教学内容：一、定积分的分部积分法：．(2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中与是自变量的下限与上限．例1计算．解令，则．故．例2计算．解．例3计算．（）例4计算．解．故．例5计算．第六章定积分§6.4定积分的应用教学目的：1.了解定积分的微元法2.掌握平面图形的面积求法教学重点：1.熟练运用定积分计算直角坐标系下平面图形的面积教学难点：1.极坐标系下平面图形的面积2.会求旋转体的体积教学内容：一、平面图形的面积：1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成则面积元素为[f上(x)f下(x)]dx于是平面图形的面积为类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在x轴上的投影区间:[01](3)确定上下曲线(4)计算积分例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在y轴上的投影区间:[24](3)确定左右曲线(4)计算积分例3求椭圆所围成的图形的面积解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0a]因为面积元素为ydx所以椭圆的参数方程为:xacostybsint于是二、旋转体的体积：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体设过区间[ab]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)当平面左右平移dx后体积的增量近似为V[f(x)]2dx于是体积元素为dV[f(x)]2dx旋转体的体积为例4连接坐标原点O及点P(hr)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体