《高等数学（第三版）》课件 第二章 极限与连续

高等数学

第二章

极限与连续

极限的概念

目录Contents数列极限1函数极限2极限的性质3自变量趋于无穷大时自变量趋于某个值时数列极限1知识引入“一尺之棰，日截其半，万世不竭”第一天截下的木棒长为第二天截下的木棒长为………第n天截下的木棒长为

庄子截丈问题：知识引入结论：观察数列随着增大，数列值有什么变化？当无限增大时，无限接近于0.把0称为数列的极限.知识引入

割圆术

我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何上的应用.

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失.知识引入正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积——数列的极限…用圆内接多边形的面积去逼近圆的面积:圆的面积说明：当n的取值无限增大时，面积

无限接近一个确定的常数

S.数列极限对于数列

，若当自然数

无限增大时，

能无限地趋近于一个确定的常数A，则称数列

为收敛数列，常数A称为它的极限，记作反之，如果数列

的极限不存在，则称数列

发散.例1判断下列数列的极限是否存在

123无限增大，极限不存在

结论：解：例2

由等比数列求和公式可知由于

，所以当

无限增大时，

无限趋近于零，所以

无限趋近于

，因此函数极限2

对于

，自变量的变化过程有两种形式：自变量趋于无穷大时函数的极限函数的极限自变量趋于有限值

时函数的极限观察当

时,函数

的变化趋势.当

时，函数

无限趋近于常数0；当

时，函数

也无限趋近于常数0.对于函数,如果当自变量

的绝对值无限增大时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称常数

为函数

当

时的极限,记作

定义设

讨论该函数当

时的极限.例3解：观察函数

图像可看出，当

从1的左、右两侧无限趋近于1时，曲线

上的点

与

都无限趋近于点

，即函数

的值无限趋近于常数2，所以

定义对于函数,如果当自变量

从左、右两侧无限趋近于

时,函数

无限趋近于一个确定的常数,称函数在

处的极限为,记作

左、右极限定义当自变量

时，函数

无限趋近于一个确定的常数,则称常数

为

时的左(右)极限,记作

的充分必要条件是

即左、右极限存在并相等.

定理1——判断分段函数在分界点处的极限方法.例4观察当

时，函数

的变化趋势，并求

时的极限.从图像可看出，当

从的左、右两侧同时无限趋近于-1时，函数

的值无限趋近于-2，故当

时并不要求函数

在点

处有定义.例5设

求当

时的极限.解：函数极限的性质3性质1（唯一性）性质2（局部有界性）性质3（保号性）函数极限的性质性质4

则例6解：课堂小结数列极限的概念、求简单数列的极限；当自变量趋近于无穷大和有限值时函数极限的概念、左、右极限的概念、判断分段函数在分界点处极限的方法；极限的性质.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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极限与连续

极限的四则运算

目录Contents极限的四则运算法则1几种特殊形式的极限2

极限的四则运算1四则运算法则注：1.定理中的(1)、(2)都可推广到有限个函数的情形；2.在(3)除法运算中,要求分母的极限不为零;3.表示该定理对于自变量的各种变化趋势都成立，

但是运算前后极限过程需保持一致.推论1推论2推论3例:例:例:例1：

求解：几种特殊形式的极限2例2：

求分析：这两个题分母的极限为0，分子的极限为不等于0的常数，不能直接使用四则运算法则，通过对分子分母进行分析可以知道整个分式的极限为.解：例3：

求分析：这两个题分母、分子的极限都为0，不能直接使用四则运算法则.解决方法：(1)分子、分母有公因子，需约分之后进行计算；

（2）分子含有根式，先将分子有理化再求极限.解：练习

例4：

求分析：当

时，分子与分母的极限为

，极限不存在，不能直接使用四则运算法则来计算.解决方法：考虑到分子与分母都是多项式，可以先将分子、分母同时除以(其中

为分子、分母中自变量的最高次幂)，然后利用法则求极限.解：

总结型的函数极限的一般规律：练习

例5：

求解决方法：(1)可以先通分转化为分式再求极限;（2）可以先有理化再求极限.分析：(1)当

时，括号中两项极限为

，极限不存在，故不能直接用极限的减法计算;解：练习答案：-1、1课堂小结

总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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极限与连续

两个重要极限

目录Contents第一重要极限1第二重要极限2第一重要极限1

即整理，得证明

作单位圆,同时除以sinx，取倒数，得圆扇形AOB的面积△AOB

的面积＜＜△AOD的面积——第一个重要极限注意：(2)式中带有三角函数；例1解：例2解：例3解：例4解：例5解：练习计算下列极限答案：3/2、3、-1第二重要极限2证明极限存在.考虑x=n的情形，由于类似地，比较可知由于根据单调有界准则可知,数列有极限，记为e,即——第二个重要极限第二个重要极限第二个重要极限另一种形式：注意：在利用求函数极限时，要注意使用条件：的变量一致，且括号内例6解：

求求例7解：例8解：例9解：求练习计算下列极限答案：(1)(2)(3)课堂小结熟练掌握并灵活运用第一、第二重要极限公式；计算极限时注意自变量的变化趋势.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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极限与连续

无穷小与无穷大

目录Contents无穷小与无穷大1无穷小的比较2概念性质无穷小与无穷大关系高阶、低阶、同阶、等价无穷小概念等价无穷小替换定理无穷小与无穷大1无穷小量的定义例如：注：1.无穷小不是很小的数.3.描述一个函数是无穷小，一定要指明自变量的变化趋势.2.0是唯一的无穷小常数.

无穷小的性质：性质1,2只针对有限项成立，无穷多项是不成立的。1.有限个无穷小的代数和是无穷小；2.有限个无穷小的乘积是无穷小；3.无穷小与有界变量的乘积是无穷小.

例1：求

解：解：无穷大量的定义例如：注：1.描述一个函数是无穷大，一定要指明自变量的变化趋势；2.无穷大不是一个数,不可与很大的数混为一谈；

无穷小与无穷大的关系例如：对无穷大的研究往往归结为对无穷小的研究.解：例2：求练习1.判断题（1）非常小的数是无穷小；

（）（2）零是无穷小；

（）（3）无穷小是一个函数；

（）（4）两个无穷小的商是无穷小；（）（5）两个无穷大的和一定是无穷大；（）2.指出下列哪些是无穷小，哪些是无穷大.答案：1.×、√、×、×、×

2.（1）、（2）是无穷小；（3）为无穷大无穷小的比较2引入比值极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.无穷小的比较

例3解：等价无穷小替换定理该定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小来替换.例4：求解：解：解：注：用等价无穷小代换求极限时，一般只适用于乘、除，不能在加、减中使用.如上题若对分子的每项作等价替换，则会产生错误的结果.×练习答案：3/5、2、1/2求下列极限课堂小结无穷小与无穷大的概念；无穷小的性质；无穷小与无穷大的关系；无穷小的比较；等价无穷小替换定理.总结本节课所学知识，完成学习通平台的习题.课后任务Thankyou高等数学

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极限与连续

函数的连续性

目录Contents函数连续的概念1函数的间断点2初等函数的连续性3闭区间上连续函数的性质4函数的连续性1函数的增量定义1

在某过程中,变量

u由初值

u1

变为终值u2

,则称差

u2

u1

称为变量u的增量,注：

u是一个整体记号,它可以取正值、负值或零.当初值大于终值时，增量就是负的.

u=u2－u1.记为定义2自变量由x0变化到x，则称

x=x

x0

为自变量

x在x0点处的增量.=f(x0+

x)

f(x0)

y=f(x)

f(x0)

x

yOx0xxyy=f

(x)

f(x)在点

x0点处有函数增量

y：函数连续的概念当自变量x在这根据这一特点，给出函数y=f(x)在x0处连续的概念.

x

yOx0x+

xxyy=f

(x)定义3如果连续,则称函数f(x)在x0处称x0为函数f(x)的连续点.定义4则称函数f(x)在x0处连续.设

f(x)在U(x0)内有定义,若函数

f(x)在点

x0处连续,应该满足以下三点：(1)f(x)在

x0处有定义；

例2：讨论函数处连续.由连续性的定义知，解：

左连续：

右连续：左连续；右连续.左连续右连续注：此定理判定分段函数在分段点处的连续性.定理1函数在点x0

连续的充要条件是它在点x0

处既左连续又右连续.

例3：解：不右连续.所以左连续,

例4：解：定义5设函数f(x)在开区间(a,b)内有定义.(1)若

x0

(a,b),f(x)在点x0

处连续,则称

f(x)在开区间(a,b)内连续,记为f(x)

C(a,b).(2)若

f(x)

C(a,b),

在右端点

x=b处左连续,且

f(x)在左端点

x=a处右连续,

则称f(x)在闭区间[a,b]上连续,记为f(x)

C[a,b].函数的间断点2定义6函数的不连续点叫做函数的间断点.f(x)在点x0

处出现如下三种情形之一:无定义;不存在;则称函数f(x)在点

x0

处间断.下面举例函数间断的例子.因此x=0是此函数的间断点.由于

x=0是此函数的间断点.从上面的例子看出，函数在x0处虽然都是间断，但产生间断的原因各不相同.根据这一特点，下面对间断点进行分类:函数间断点的分类第二类间断点：第一类间断点:及均存在,若称为可去间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.若其中有一个为振荡,称为振荡间断点.称为跳跃间断点.若与至少有一个不存在,可去型第一类间断点跳跃型无穷型无穷次振荡型第二类间断点为其无穷间断点

.为其振荡间断点

.为可去间断点

.例如