《高等数学（第三版）》课件 第六章 定积分

高等数学

第六章

定积分

定积分的概念与性质

目录Contents引例1定积分的定义2定积分的性质3引例1曲边梯形的面积

由连续曲线y=f(x)(f(x)

0),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积yoabxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，分割近似曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为求和取极限（1）分割（3）求和（4）极限（2）近似变速直线运动的路程定积分的定义2定积分的定义定义被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和说明：1.2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；3.可积的充分条件：规定:定积分的几何意义3定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo若要求阴影部分的面积,则为定积分的性质4定积分的性质

由定积分的定义，可以直接推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间都是可积的.性质1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即性质2两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即（这一结论可以推广到任意有限个多个函数代数和的情况！）性质3对任意点c，有性质4性质5性质6性质7例1解：利用定义计算定积分xyo11例2解：于是例3解：即f(x)单调下降，课堂小结1.定积分的定义—

乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式高等数学

第六章

定积分

微积分基本公式

目录Contents积分上限的函数及其导数1牛顿–莱布尼茨公式2知识回顾11.定积分的定义—

乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式积分上限函数2积分上限函数定义如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,x为[a,b]上任意一点,则引入一个新函数,称为变上限积分(积分变上限函数):

x

[a，b]的导数存在,且

即函数定理

若x为[a,b]上任意一点,则注:1)此定理证明了连续函数的原函数是存在的:2)积分变限函数求导:

在区间[a,b]上的连续函数f(x)的原函数一定存在.例1解：求原式牛顿——莱布尼茨公式3微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)若F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则-------(牛顿—莱布尼茨公式)定理拉格朗日中值定理函数的可微性不定积分、定积分积分中值定理例2解：

问题的关键是如何求一个函数的原函数.例3解：例4解：例5解：例6解：例7解：课堂小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式2.变限积分求导公式Thankyou高等数学

第六章

定积分

定积分的换元积分法

目录Contents定积分的换元积分法1定积分的分部积分法2知识回顾1则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式2.变限积分求导公式定积分的换元积分法2定积分的换元积分法定理则有

证注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；(2)(3)逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.例1解：例2解：例3解：计算原式例4解：计算令原式例5解：计算令原式例6解：计算令原式例7解：原式证利用函数的奇偶性简化计算.例8解：令例9解：课堂小结换元积分法换元必换限配元不换限边积边代限Thankyou高等数学

第六章

定积分

定积分的分部积分法

目录Contents定积分的换元积分法1定积分的分部积分法2知识回顾1换元积分法换元必换限配元不换限边积边代限定积分的分部积分法2定积分的分部积分法定理例1解：例2解：例3解：计算例4解：计算例5解：计算分部积分法与换元法结合.令原式例6解：计算例7解：计算积分其中采用分部积分的方法,例8解：课堂小结

基本积分法换元积分法分部积分法Thankyou高等数学

第六章

定积分

定积分的应用

目录Contents求平面图形的面积1求旋转体的体积2知识回顾1

基本积分法换元积分法分部积分法用定积分