初中数学九年级上册教学设计：用列举法求概率（第13课时）

初中数学九年级上册教学设计：用列举法求概率（第13课时）一、基本信息与教学目标本教学设计适用于人教版初中数学九年级上册第二十五章第二节《用列举法求概率》，共计3课时。本专题属于“统计与概率”领域，是学生首次系统性地学习概率计算的重要环节，对于培养随机观念、数据意识以及逻辑推理能力具有关键作用。【基础】教学目标1.知识与技能：理解列举法的基本原理，掌握直接列举法、列表法和画树形图法求等可能事件概率的方法。能准确区分一次试验中涉及的步骤数（因素个数），并会根据问题的具体情况选择合适、简洁的列举方法，做到不重不漏地列出所有等可能结果。2.过程与方法：通过经历分析游戏规则、模拟试验、解决实际问题等过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论的数学思想。在小组合作与探究中，提高分析问题、解决问题的能力以及数学表达的条理性。3.情感态度与价值观：通过对生活中概率问题的探究，感受数学的应用价值，增强学习兴趣。在游戏公平性的辨析中，培养科学严谨的理性精神和辩证唯物主义世界观。【重点与难点】1.教学重点：掌握列表法和画树形图法计算事件概率的步骤与方法。2.教学难点：理解并区分“放回”与“不放回”试验对概率结果的影响；能针对复杂情境（涉及两个以上因素）准确选择恰当的列举方法，并正确计算概率。二、教学准备多媒体课件（PPT），包含动态转盘、骰子模拟器；质地均匀的骰子、硬币、若干小球（颜色不同）；导学案。三、【核心环节】教学实施过程第一课时直接列举法与列表法（一）创设情境，引入新知上课伊始，教师通过多媒体展示一个联欢晚会的场景，提出一个富有挑战性的转盘游戏问题：“为活跃气氛，组织者设计了A、B两个转盘。A盘被分成三个面积相等的扇形，分别标有数字1、6、8；B盘也被分成三个面积相等的扇形，分别标有数字4、5、7。游戏规则是：两位同学分别转动两个转盘，指针停止后，数字较大的一方获胜。作为游戏者，你会选择A装置还是B装置？为什么？”1【设计意图】以贴近学生生活的游戏为切入点，迅速激发学生的好奇心和求知欲。问题直指“游戏公平性”，自然地将学生的思维引向对事件发生概率大小的比较，从而引出本节课的主题——用列举法求概率。（二）自主探究，构建模型1.问题转化：教师引导学生将实际问题抽象为数学问题——“比较P(A盘数字较大)与P(B盘数字较大)的大小”。关键在于求出这两个概率。2.尝试列举，发现局限：学生先独立尝试列举所有可能的结果。学生可能会发现，与之前学习的单步试验（如掷一个骰子）不同，此试验涉及两个因素（两个转盘），结果数目增多（3×3=9种），直接列举时很容易出现重复或遗漏。3.合作探究，引入列表：教师顺势引导：“当一次试验涉及两个因素时，如何能既不重复又不遗漏地列出所有结果呢？”组织学生分组讨论。在讨论的基础上，引导学生将问题分两步考虑：先确定A盘的结果（1，6，8），再依次搭配B盘的结果（4，5，7）。此时，教师指导学生构建一个表格，将A盘的结果作为行，B盘的结果作为列，在单元格中填入对应的数对。124.模型构建：学生独立完成表格填写，并计算概率。AB4571(1，4)(1，5)(1，7)6(6，4)(6，5)(6，7)8(8，4)(8，5)(8，7)通过观察表格，学生很容易数出总共有9种等可能结果，其中A盘数字大于B盘数字的结果有5种。∴P(A数较大)=5/9，P(B数较大)=4/9。由此得出结论：选择A装置获胜可能性更大。5.总结提炼：教师与学生共同总结出列表法的定义及适用条件：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法。25（三）例题精讲，深化理解【重要】例1（教材P151例5改编）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数的和是9；(3)至少有一个骰子的点数为2。师生互动分析：1.审题：明确试验涉及两个因素（第一个骰子和第二个骰子），且每个骰子结果有6种，总结果数较多，适宜用列表法。2.列表：引导学生构建一个6行6列的表格，行表头为第一个骰子的点数（16），列表头为第二个骰子的点数（16），表格内填写数对(x，y)。3.求解：在完整的表格基础上，引导学生分别找出满足条件的结果。1.4.【高频考点】点数相同的结果在表格的主对角线上，共6个。∴P(A)=6/36=1/6。2.5.点数和为9的结果有(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，共4个。∴P(B)=4/36=1/9。3.6.至少有一个点数为2的结果，即所有包含2的行和列（注意交点(2，2)不要重复计算），共11个。∴P(C)=11/36。127.【难点】辨析：教师强调，在列表法中，结果如(2，3)和(3，2)是不相同的，这体现了有序性。表格能直观地展示这种有序的全部结果。（四）分层练习，巩固提升【基础】练习1：一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球。两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，求第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率。【设计意图】通过此练习，让学生初步感知“不放回”试验与“放回”试验列表时的细微差别，为下一课时的深入学习埋下伏笔。3第二课时画树形图法及方法选择（一）复习回顾，唤醒旧知通过提问，引导学生回顾列表法的适用条件（两个因素）和操作步骤，并展示上节课的典型例题表格，巩固所学。（二）创设冲突，引入新知教师提出问题：“上节课的练习1（不放回摸球）如果用列表法解决，你们发现表格和放回试验有什么不同吗？”引导学生关注到“不放回”会导致对角线上的结果（如(红1，红1)）不存在，因此列表时需要特别注意。接着，教师进一步加大难度：“如果将上题中的‘两个人依次摸球’改为‘三个人依次摸球’，要求列举出所有可能的结果，我们还能用列表法轻松解决吗？”学生陷入沉思，发现表格是二维的，无法同时容纳三个因素的所有组合。此时，认知冲突产生，极大地激发了学生学习新方法的欲望。2（三）新知探索，模型构建1.典例解析：【重要】例2（教材P152例6）：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个小球。(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？22.合作探究，学习画图：1.3.教师引导学生分析：本次试验涉及三个因素（三个口袋），步骤较多。2.4.教师示范，带领学生一起画树形图。1.3.5.第一步：画出第一层，表示从甲口袋取球的结果（A，B）。2.4.6.第二步：从第一层的每个分支再分出第二层，表示从乙口袋取球的结果（C，D，E）。3.5.7.第三步：再从第二层的每个分支分出第三层，表示从丙口袋取球的结果（H，I）。6.8.数出所有可能的结果：沿着树从根到梢的每一条路径，都对应一个结果。总共2×3×2=12种。7.9.学生对照树形图，分别找出满足条件的结果，计算概率。10.归纳总结：教师引导学生总结树形图法的定义及适用条件：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树形图法。25（四）方法思辨，优化选择【难点】小组辩论：列表法和树形图法各有什么优缺点？什么时候用列表法方便，什么时候用树形图法更好？通过讨论，师生共同达成共识：1.列表法：优点在于清晰、简捷地呈现两个因素的所有组合，特别适合求特定和、特定积等问题。局限性在于只能处理两个因素。2.树形图法：优点是能够直观展示多步骤试验的整个过程，适用范围更广（两个、三个或更多因素皆可）。当因素较多时，画图可能较为繁琐，但思路清晰，不易出错。2（五）分层练习，巩固新知【基础】练习2：经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：(1)三辆车全部直行；(2)两辆车向右转，一辆车向左转；(3)至少有两辆车向左转。2第三课时专题精讲与中考真题演练（综合课）（一）高频考点突破1.【高频考点】考点一：放回与不放回问题教师通过两组变式题，引导学生对比分析。1.2.变式1：从1，2，3中随机抽取一个数字（放回），再抽取一个，求两次数字之和为偶数的概率。2.3.变式2：从1，2，3中随机抽取一个数字（不放回），再抽取一个，求两次数字之和为偶数的概率。学生通过列表或画树形图，会发现总结果数和满足条件的结果数均发生变化，从而深刻理解“放回”与“不放回”对样本空间的影响。这是中考的高频易错点。34.【难点】考点二：游戏公平性问题1.5.例题：小明和小红玩一种游戏，他们用两个骰子同时投掷，若点数之和为奇数，则小明胜；若点数之和为偶数，则小红胜。这个游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏规则。2.6.解析：学生需先利用列表法计算出P(和奇数)=18/36=1/2，P(和偶数)=18/36=1/2，因此游戏是公平的。此环节重点在于“设计”部分，鼓励学生发散思维，只要保证双方获胜概率相等即可。1（二）【热点】中考真题演练【非常重要】选取近三年全国各地区中考数学真题中涉及“用列举法求概率”的典型题目进行限时训练。1.真题1（2023年北京）：不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别。随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个。求两次都摸到相同颜色小球的概率。2.真题2（2024年上海）：甲、乙、丙三位同学站成一排拍照，求甲、乙两位同学相邻的概率。3.真题3（2023年广州）：从一副扑克牌中取出两组牌，分别是方块1，2，3和梅花1，2，3。将它们背面朝上，分别从两组牌中各摸出一张。求摸出的两张牌数字之差的绝对值为1的概率。【设计意图】通过真题演练，让学生熟悉中考的考查形式与难度，增强应考信心。讲评时，重点关注学生方法的选择（列表还是树图）以及书写的规范性。5（三）课堂小结，构建网络引导学生从以下三个方面进行总结：1.知识层面：回顾了直接列举、列表、画树形图三种求概率的方法。2.方法层面：列表法适用于两步试验，树形图法适用于两步及两步以上试验。选择方法的关键是看试验的步骤数（因素个数）。3.思想层面：分类讨论、数形结合、模型思想。四、作业布置与难度分层【基础必做题】（面向全体学生）1.完成教材课后练习题，巩固列表法和树形图法的基本步骤。2.一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球，求下列事件的概率：（1）两次摸取的数字之和为5；（2）两次摸取的数字之积为奇数。8【拓展选做题】（面向学有余力的学生）1.【培优精编】请你设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。要求游戏涉及两个或两个以上因素，且游戏规则对双方公平。2.研究性课题：调查生活中一个涉及概率的游戏（如商场抽奖、彩票等），分析其规则，并运用所学概率知识评价其公平性或中奖可能性，撰写一份简短的分析报告。1五、板书设计专题：用列举法求概率一、等可能事件概率公式P(A)=事件A包含的结果数m/所有等可能结果总数n二、列举法1.直接列举法：适用于结果总数较少的情况。2.列表法：1.3.适用：涉及两个因素，结果较多。2.4.步骤：选因素→作表格→填数对→数结果→算概率。5.画树形图法：1.6.适用：涉及两个或两个以上因素。2.7.步骤：定步骤→逐层画→列路径→数结果→算概率。三、关键辨析1.“放回”vs“不放回”：样本空间不同。2.