2025-2026学年广东惠州大亚湾经济技术开发区第一中学高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算中，正确的一项是（）A. B.C. D.2.已知，，则（）A. B. C. D.3.若函数，则（）A.3 B.6 C. D.4.在的展开式中，常数项为（）A. B.15 C. D.305.甲､乙､丙､丁､戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（）A.120 B.48 C.24 D.126.高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（）A. B. C. D.7.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.8.已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数有三个极值点 B.C.函数在上单调递增 D.是的极小值点10.已知为正整数，且，下列等式正确的是（）A..B.C.D.11.已知，则下列描述正确的是（）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程式：，则__________.13.过点作函数图像的切线，则切线方程为__________.14.若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间中的最大值．17.在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）奇数项的二项式系数和；（3）求系数绝对值最大的项．18.已知函数（且）（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．19.定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”.（1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由.（2）已知函数，，与为“二阶相似函数”，，称为与的“二阶相似点”.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.

数学本试卷共1页，19题，满分150分.考试用时120分钟.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列求导运算中，正确的一项是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：利用求导公式逐项求解判断.解答过程：对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D2.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件概率的计算公式计算即可.解答过程：．故选：C．3.若函数，则（）A.3 B.6 C. D.答案：B解析：思路：根据导数运算求得正确答案.解答过程：由，得，所以，解得.故选：B4.在的展开式中，常数项为（）A. B.15 C. D.30答案：B解析：思路：由二项展开式通项公式求解．解答过程：，令，得，∴常数，故选：B．5.甲､乙､丙､丁､戊5人排成一排，甲和乙相邻，丙和丁也相邻的排列共有多少种（）A.120 B.48 C.24 D.12答案：C解析：解答过程：甲、乙相邻有种排法，丙、丁相邻有种排法，把甲、乙看成一个整体，丙、丁看成一个整体与戊排列有种排法，故甲、乙相邻，丙和丁也相邻的排法有种方法.6.高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：用事件A表示“甲被安排到了长跑”，以A为样本空间，利用古典概率公式即可求解.解答过程：用事件A表示“甲被安排到了长跑”，B表示“乙被安排到了长跑”，在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑就是在事件A发生的条件下，事件B发生，相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数，事件A发生的样本点数，所以在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率为.故选：A.7.函数在上的图象大致为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断.解答过程：，所以在上为偶函数，图象关于轴对称，排除CD.又，，令，，则，，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递增，故排除B.8.已知函数，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将问题转化为求函数最值问题，分别求出的最小值列不等式求解.解答过程：对任意x1∈0,2，存在，等价于ff'x=1x−1当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，fxmin=gx=x2−2所以−12≥2所以实数的取值范围是.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数有三个极值点 B.C.函数在上单调递增 D.是的极小值点答案：BCD解析：思路：根据的图象确定函数在各区间的符号，进而判断的单调性，依次判断各项的正误即可.解答过程：由图知，时，即在上单调递增，时，即在上单调递减，故，时，即在上单调递增，易知在上单调递增，所以有两个极值点，其中是极大值点，是极小值点，综上，A错，B、C、D对.故选：BCD.10.已知为正整数，且，下列等式正确的是（）A..B.C.D.答案：CD解析：解答过程：对于A，，故A错误；对于B，由AnAn则An对于C，n+1对于D，，故D正确.11.已知，则下列描述正确的是（）A.B.C.D.答案：ABD解析：思路：应用赋值法计算判断A，C，由通项公式计算判断B，应用导函数结合赋值法判断D.解答过程：对于A，将代入，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，将代入，，，故C不正确；对于D，对求导，，将代入得到，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.方程式：，则__________.答案：2解析：思路：根据组合数的性质列方程求解即可.解答过程：由题意知，或，解得或.当时，，不符合组合数定义，故舍去.因此.13.过点作函数图像的切线，则切线方程为__________.答案：解析：思路：设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程.解答过程：设切点坐标为x0,x所以1+4x0所以切线斜率k=所以切线方程为，即.14.若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为__________.答案：解析：思路：由题意得出，由此得出，于是得出，然后对实数的取值进行分类讨论，结合极大值点的定义进行验证即可.解答过程：因为，所以，由题知，则，令可得或.若，即当时，由可得或，由可得，此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，此时，函数在处取得极小值，不合乎题意；若，即当，则对任意的恒成立，此时，函数在上单调递增，无极值点；若，即当时，由可得或，由可得，此时，函数在、上单调递增，在上单调递减，此时，函数在处取得极大值，合乎题意.故实数的取值范围是.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.结合排列组合，解决下列问题结果用数字作答（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？答案：（1）81；（2）36；（3）解析：思路：（1）根据分步乘法计数原理可解；（2）根据题意将4封信分成1，1，2三组，再分到3个信箱即可；（3）确定一组序号相同，而其余的全部不同均有2种情况，从而可解．（1）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有种放法；（2）将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，则将4封信分成1，1，2三组，有组，再分给三个信箱，有种放法；（3）将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，先确定一组序号相同有种情况，其余的全部不同均有2种情况，则共有种情况．16.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间中的最大值．答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）4解析：思路：（1）求出函数的导数后判断其符号可得函数的单调性；（2）根据（1）的单调性可得函数在上的最大值.（1）由题可得：，·令，得，，所以与的情况如下：02正0负0正增极大值减极小值增所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）由（1）知：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．又，，所以，·所以在区间中的最大值为．·17.在的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）奇数项的二项式系数和；（3）求系数绝对值最大的项．答案：（1）二项式系数为，第3项的系数为（2）（3）解析：思路：（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数；（2）由二项式系数的性质可得；（3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得.（1）二项式的通项．第3项的二项式系数为，第3项的系数为；（2）奇数项的二项式系数和；（3）设系数绝对值最大的项为第项，当时，由，解得，又，所以，此时；当时，；当时，；综上可知，系数绝对值最大的项为．18.已知函数（且）（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围．答案：（1）答案见解析（2）解析：思路：（1）求出，分、、、讨论可得答案；（2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案．（1）因为，当时，时，所以在单调递减；时，，所以在单调递增；当时，时，，所以在和单调递增，时，在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，，所以在和上单调递增，时，在单调递减；（2）当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点；，所以在上有唯一零点，符合题意；当时，由（1）可知为极大值点，且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意．综上所述，.方法提示：方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围.19.定义：若函数与在公共定义域内存在（互不相等，），使得，则称与为“阶相似函数”，称为与的“阶相似点”.（1）已知，函数，，判断函数与是否为“三阶相似函数”，并说明理由.（2）已知函数，，与为“二阶相似函数”，，称为与的“二阶相似点”.（i）求实数的取值范围；（ii）证明.答案：（1）函数与为“三阶相似函数”，理由见解析（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）令，求导判断函数的零点个数可得结论；（2）（i）在上有两个不相等的实数根，变形两边取对数，进而构造