2025-2026学年广东省茂名市高二下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.若1，，，，4成等比数列，则（）A.16 B.8 C. D.4.曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为A.2 B.3 C. D.5.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.46.若，则（）A.4 B.6 C.7 D.87.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）A.1 B. C. D.8.已知等比数列满足若，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列问题属于排列问题的是（）A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳B.从10人中选2人去游泳C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数10.如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（）A.的取值范围是B.函数有两个极值点C.当时先减后增且恒为负D.11.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（）A.若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法B.若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法C.若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________13.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.14.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围.16.随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（）乘坐站数票价（元）246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．（1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？17.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18.若数列的首项，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求的通项公式；（3）求的前项和.19.已知函数．（1）求证：；（2）设函数．①若时，函数单调递增，求的取值范围；②若函数无零点，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：函数的定义域为，..2.（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用组合数性质，即可求出结果．解答过程：由组合数性质，得，．故选：A．3.若1，，，，4成等比数列，则（）A.16 B.8 C. D.答案：B解析：思路：根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.解答过程：因为1，，，，4成等比数列，，，(负不合题意，奇数项符号相同)，则，故选：B.4.曲线（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）在点处的切线的斜率为A.2 B.3 C. D.答案：A解析：解答过程：试题分析：，故选A考点：导数的几何意义5.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.解答过程：由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；所以f(x)的极小值点的个数为1，故选：A方法提示：本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.6.若，则（）A.4 B.6 C.7 D.8答案：D解析：思路：根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果.解答过程：由得，解得.故选：D.7.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（）A.1 B. C. D.答案：D解析：思路：求出导函数后，由余弦函数性质得结论．解答过程：小球的瞬时速度为，，，因此首次达到最大值时，．故选：D．8.已知等比数列满足若，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数证出，再利用等比数列的通项公式即可得出结果.解答过程：构造函数（），则，令，解得；令，解得；令，解得；所以函数在上单调递增；在上单调递减；所以，则，所以，即，因为，所以等比数列的公比，若，则，此时，这与矛盾；若，，，，即.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列问题属于排列问题的是（）A.从6人中选2人分别去游泳和跳绳B.从10人中选2人去游泳C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D.从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数答案：AD解析：思路：根据给定的条件，利用排列的定义逐项判断作答.解答过程：对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选：AD10.如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（）A.的取值范围是B.函数有两个极值点C.当时先减后增且恒为负D.答案：ACD解析：思路：构造，利用导数去确定的单调区间，再判断每个选项的正确性.解答过程：由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解.令，则，令，.极大值又，，的取值范围，A选项正确.，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误.由，得.当，，单调递减；时，，单调递增.是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确.在递增，在递减，，又.，，同理，.，D正确.11.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（）A.若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法B.若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法C.若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法D.若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法答案：ABC解析：思路：利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性.解答过程：若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确；若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确；因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的，所以共有种不同的安排方法，故C正确；添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况，共有种不同的安排方法，故D错误.故选.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________答案：10解析：思路：根据组合数的性质,即可求得的值.解答过程：根据组合数的性质所以故答案为:10方法提示：本题考查了组合数的简单性质,属于基础题.13.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.答案：解析：解答过程：由题意，，解得或者，而数列是递增的等比数列，所以，即，所以，因而数列的前项和，故答案为.考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前项和公式.14.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．答案.解析：思路：构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.解答过程：设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若方程恰有一个实数解，求实数的取值范围.答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为（2）.解析：思路：（1）对进行求导，然后利用导数去求的单调区间和极值.（2）根据（1）大致作出的图象，由图象确定的取值范围.（1），.令，解得或.递增极大值递减极小值递增的单调递增区间为和，单调递减区间为，的极大值为，的极小值为.（2）由（1）可知的极大值为，的极小值为.当，，作出的大致图象如下：要使恰有一个实数解，则的图象与的图象有且仅有一个交点，由图象可得的取值范围为.16.随着经济科技的发展，地铁作为绿色出行的交通工具不仅方便而且环保，很受市民的喜爱.某城市地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过15站的地铁票价如下表：（）乘坐站数票价（元）246现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过15站．（1）若甲、乙两人共付车费6元，则甲、乙下地铁的方案共有多少种？（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的方案共有多少种？答案：（1）40种.（2）34种．解析：思路：（1）根据分步乘法计数原理可求出结果；（2）根据分类加法计数原理可求出结果.（1）若甲、乙两人共付车费6元，则其中一人乘坐地铁站数不超过4站，另外一人乘坐地铁站数超过4站且不超过9站，共有（种），故甲、乙下地铁的方案共有40种.（2）若甲、乙两人共付车费8元，则甲比乙先下地铁的情形有两类：第一类，甲乘地铁站数不超过4站，乙乘地铁站数超过9站且不超过15站，有（种）；第二类，甲、乙两人乘地铁站数都超过4站且不超过9站，记地铁第五站至第九站分别为，，，，，易知甲比乙先下地铁有以下四种情形：①甲站下，乙下地铁方式有种；②甲站下，乙下地铁方式有种；③甲站下，乙下地铁方式有种；④甲站下，乙只能从下地铁，共有1种方式，共有10（种），依据分类加法计数原理，得24+10=34（种），故甲比乙先下地铁的方案共有34种．17.在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和满足．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．答案：（1）,（2）解析：思路：（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质可得；（2）根据（1）得到数列的表达式，采用错位相减法即可得.（1）设等差数列的公差为，且，因为，且，，成等比数列，所以，即，解得(舍)，所以；数列的前n项和满足①，所以当时，，当时，②，所以由①②得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1）可得，所以③，④，由③④得，.18.若数列的首项，且满足．（1）求证：是等比数列；（2）求的通项公式；（3）求的前项和.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）先结合已知递推式变形得到与的关系式，再构造相邻两项比值为常数，结合首项情况依等比数列定义证明.（2）由（1）得到的通项公式，将其变形即可解出的表达式.（3）将的通项拆分为两个可求和的数列，分别用等比数列前项和公式计算两部分的和，再相加得到.（1）已知，则，整理得：，即，又因为首项，因此

是首项为、公比为的等比数列，得证.（2）由（1）的结论可知，等比数列通项为：，整理得.（3）由（2）可知，，所以，，相加整理得.19.已知函数．（1）求证：；（2）设函数．①若时，函数单调递增，求的取值范围；②若函数无零点，求的取值范围．答案：（1）证明见解析（2）①；②解析：思路：（1）利用导数分析函数的单调性，从而求得的最大值，证得；（2）①根据当时，函数单调递增，可得在上恒成立，分离参数，得在上恒成立；构造函数，利用导数分析函数的最值，可得的