2025-2026学年广东广州市某校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则A.8 B.7 C.6 D.42.已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.4.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A. B. C. D.5.已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（）A. B. C.和 D.和6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.7.下列命题正确的有（）个①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列；②若数列为等差数列，则为等比数列；③数列满足：，则④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（）A.B.第2025行的第1013个数和第1014个数相等C.在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D.记杨辉三角中第行的第个数为，则二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为10.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.数列是递增数列C.数列中的最小项为 D.、、成等差数列11.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（）A.B.C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等比数列满足如下条件：①；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式______.13.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．14.设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．16.现有只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？请用数字作答（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，，，共有多少种分堆的方法？请用数字作答（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的方法数．请用数字作答17.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.18.已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；（3）若，求证.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则A.8 B.7 C.6 D.4答案：A解析：思路：根据排列数，组合数的公式，求得，即可求解，得到答案．解答过程：由题意，根据排列数、组合数的公式，可得，即，解得，故选A．方法提示：本题主要考查了排列数，组合数的应用，其中解答中熟记排列数，组合数的计算公式，准确化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2.已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则该质点在末的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：瞬时速度是位移对时间的导数，即vt=s′t，求导得：s故质点在末的瞬时速度为7m/3.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用等差数列前项和公式及等差数列下标的性质求解.解答过程：已知等差数列的前项和为，则，得，因为，所以公差，所以.4.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.解答过程：记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.故选：B.5.已知的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为（）A. B. C.和 D.和答案：C解析：思路：由奇数项的二项式系数之和是64，可求得，可得中间项为第4项与第5项，利用通项公式，即得解解答过程：由已知，可得，解得，的展开式中共有8项，中间项为第4项与第5项，，故选：C6.函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用函数零点排除选项A，根据函数值的符号排除选项C，利用导数求解单调递增区间排除选项D，即可得解.解答过程：由可得，解得或，排除A；由时，，排除C；因为，令，可得，解得或所以的单调区间为和，排除D．故选：B7.下列命题正确的有（）个①若数列为等比数列，为其前项和，则成等比数列；②若数列为等差数列，则为等比数列；③数列满足：，则④已知为数列的前项积，若，则数列的前项和A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：B解析：思路：根据特例判断A，由等比数列的定义判断B，根据特例判断C，根据等差数列的定义及求和公式判断D.解答过程：对于①：设等比数列的公比为，若，则，可得，则，故不是等比数列，①错误；对于②，设等差数列公差为，则，则是个常数，所以为等比数列，故②正确；对于③，依题意，，它不满足，③错误；对于④，，当时，，即，解得，当时，，于是，即，数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的前项和，④正确.故选：B8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表．数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．下列结论不正确的是（）A.B.第2025行的第1013个数和第1014个数相等C.在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D.记杨辉三角中第行的第个数为，则答案：D解析：思路：根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD.解答过程：对于A，，A正确；对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确；对于C，第行所有数字的平方和，第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而，又展开式中项的系数为，因此，C正确；对于D，因为，所以，D不正确.故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（）A.若任意选择三门课程，则选法总数为B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为答案：ABD解析：思路：根据排列和组合的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.解答过程：A选项，若任意选择三门课程，则选法总数为，所以A选项错误.B选项，若物理和化学至少选一门，则选法总数为，所以B选项错误.C选项，若物理和历史不能同时选，则选法总数为，所以C选项正确.D选项，只选物理、不选化学和历史，选法为；只选化学、不选物理，选法为；物理化学同时选、不选历史，选法为.所以选法总数是，所以D选项错误.故选：ABD10.已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.数列是递增数列C.数列中的最小项为 D.、、成等差数列答案：AB解析：思路：根据可知数列为等差数列，根据通项公式和求和公式结合选项逐个判断.解答过程：因为，所以数列为等差数列，公差为3，因为，所以，；对于A，因为，所以是递增数列，A正确；对于B，因为，所以数列是递增数列，B正确；对于C，因为，所以数列中的最小项为，C不正确；对于D，当时，，显然不是等差数列，D不正确.故选：AB.11.现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记表示第号箱子有奖品，表示主持人打开第号箱子.则下列说法正确的是（）A.B.C.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大D.若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变答案：BC解析：思路：根据给定条件，利用古典概率公式，结合条件概率和全概率公式及逐项判断即可.解答过程：对于A，甲选择1号箱，奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，即，A错误；对于B，，，，，则，因此，B正确；对于CD，若继续选择1号箱，获得奖品的概率为，主持人打开了无奖品的箱子，若换号，选择剩下的那个箱子，获得奖品的概率为，甲换号后中奖概率增大，C正确，D错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.等比数列满足如下条件：①；②单调递增，试写出满足上述所有条件的数列的一个通项公式______.答案：(答案不唯一)解析：思路：根据等比数列的性质直接求解即可.解答过程：满足上述所有条件的一个数列的通项公式.故(答案不唯一)13.某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．答案：0.785解析：思路：根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.解答过程：记A为事件“植物没有枯萎”，W为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知，，，，因此．故0.785．14.设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______．答案：①.增②.##解析：思路：由题意可知，令，求导利用导函数的正负即可判断单调性，由可求得，再根据可知，进而得出，利用的单调性解不等式即可.解答过程：解：已知，则，令，，则，所以在为增函数，即函数在定义域内是增函数；，，又，，可得，由于在为增函数，所以，解得，即的最小值为，故增；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数．(1)请列出X的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．答案：（1）X

0

1

2

3

4

P

（2）解析：解答过程：试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．（2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果．解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．16.现有只球，其中只不同的红球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）将这只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？请用数字作答（2）将这只球分成三堆，三堆的球数分别为：，，，共有多少种分堆的方法？请用数字作答（3）现取只球，求各种颜色的球都必须取到的方法数．请用数字作答答案：（1）种（2）种（3）种.解析：（1）将只红球看成个整体，内部有种排法；将只白球看成个整体，内部有种排法；将只黑球看成个整体，内部有种排法.个整体全排列，有种排法，总排列数.故有种排列方法.（2）由题意知，将只球分成三堆，球数分别为，，.先从只球中选只作为一堆，有种；然后从剩余只球中选只作为一堆，有种；最后剩余只自动成堆.因为有两堆都是只球，分堆时会产生重复，需除以，所以.故有种分堆方法.（3）取只球，各种颜色都必须取到，设红球取只，白球取只，黑球取只，则；，，，.令，，，则.非负整数解为：，，三种情况：第一种情况：红只，白只，黑只：；第二种情况：红只，白只，黑只：；第三种情况：红只，白只，黑只.总方法数.故有种取法.17.已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.（1）求函数的极值；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.答案：（1）极大值是，极小值是；（2）解析：思路：（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值；（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围.（1），由导数的几何意义可知，，且，得，所以，，得或，，得或，，得，所以的增区间是和，减区间是，所以的极大值是，极小值是；（2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，所以在区间的最大值为，，若存在，使得不等式成立，则，所以.18.已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.解析：思路：(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.解答过程：(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n为奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得.因此，.所以，数列的前2n项和为.方法提示：本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若两个不相等的正实数a，b满足，求证：；（3）若，求证.答案：（1）的单调递减区间是，单调递增区间是（2）证明见解析（3）证明见解析解析：思路：（1）利用导数求函数单调性；（2）由函数的单调性求其值域，从而不妨设，从而将证明转化为证明，方法一：设，，借助导数研究函数的单调性从而得值域，求得恒成立，得证；方法二：由，设，，利用导数可知在单调递增