2025-2026学年广东惠州市博罗县高一下册阶段性教学质量检测数学试题 含解析

/数学本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.第一部分（选择题，共58分）一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则为（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.4.在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（）A.30° B.60°C.30°或60° D.60°或120°5.已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（）A.0 B.1 C.8 D.46.在中，，，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.钝角三角形7.某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（）A. B. C. D.8.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为A.4 B. C. D.6二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知为复数，则下列说法一定正确的是（）A.和在复平面上所对应的点关于实轴对称B.C.D.若为纯虚数，则为实数10.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）.A.该三棱台的侧面积为 B.该三棱台的高为C.该三棱台的体积为 D.若点在棱上，则的最小值为11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则C.若，且，则为直角三角形D.若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形第二部分（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上）12.已知向量，，且，则______．13.在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________；14.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量．（1）求与的夹角余弦值；（2）若，求实数的值．16.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且．（1）求的值；（2）求的面积．17.如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，.（1）求四面体的表面积和体积；（2）求四面体的体积.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.对于平面向量，定义“变换”：，（）（1）若向量，，求；（2）已知，，且与不平行，，，证明：；（3）若向量，求．

数学本试卷共19小题，满分150分.考试时间120分钟.第一部分（选择题，共58分）一、单选题（本小题共有8个小题，每小题5分，共40分）1.已知复数满足，则为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据条件，利用复数的运算，得到，再利用模长的计算公式，即可求解.解答过程：由，得到，所以，故选：C.2.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.3.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（）A.12 B.24 C. D.答案：A解析：思路：利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积.解答过程：由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形，且，，故原图的面积为：，故选：A.4.在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（）A.30° B.60°C.30°或60° D.60°或120°答案：A解析：解答过程：由正弦定理，代入已知条件

，，，可得，由三角形"大边对大角"的性质，

，因此

.5.已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（）A.0 B.1 C.8 D.4答案：C解析：思路：根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案.解答过程：由于向量在向量上的投影向量为，故可得，即，所以，故选：C6.在中，，，则一定是（）A.等边三角形 B.等腰非等边三角形C.直角三角形 D.钝角三角形答案：A解析：思路：由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，然后由余弦定理及已知求得，结合角大小得三角形形状．解答过程：在中，对于，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，又，所以，又，所以由余弦定理可得，所以，即，所以，结合，可得一定是等边三角形.7.某舞台道具厂需定制一批圆锥形灯罩，要求灯罩的母线长度固定为（骨架支撑长度），同时为了保证灯光折射角度均匀，要求将灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，那么该规格的圆锥形灯罩的外接球的表面积是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由圆锥的侧面展开图为半圆得，再计算圆锥的外接球半径即可求得表面积.解答过程：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，因为灯罩侧面沿母线剪开后展开图为一个半圆，所以，即，故所以圆锥的高为，设圆锥形灯罩的外接球的半径为，球心为，如图，，，，所以，即，解得所以圆锥形灯罩的外接球的半径为，表面积为故选：D8.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为A.4 B. C. D.6答案：C解析：解答过程：，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C.【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.二、多选题（共3小题，每小题满分6分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.部分选对得部分分，有选错的得0分.）9.已知为复数，则下列说法一定正确的是（）A.和在复平面上所对应的点关于实轴对称B.C.D.若为纯虚数，则为实数答案：ACD解析：思路：设，根据共轭复数的概念，复数的几何意义，复数的四则运算以及模的运算即可逐一判断各选项.解答过程：设.对于A，因，则和在复平面上所对应的点分别为和，显然关于实轴对称，故A正确；对于B，，，因，故，即B错误；对于C，，，故C正确；对于D，因为纯虚数，故可设，则，故D正确.故选：ACD.10.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）.A.该三棱台的侧面积为 B.该三棱台的高为C.该三棱台的体积为 D.若点在棱上，则的最小值为答案：ACD解析：思路：根据正棱台的性质求侧面积、高、体积判断ABC，把等腰梯形与展开置于同一平面，用平面的性质求解判断D．解答过程：对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E，在中，A1所以等腰梯形的面积为，所以，所以A正确；对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，，连接，，，则，，高，所以B错误；对于C，因为S上=1所以三棱台的体积V=对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结，易知，，，而边的中点到点的距离，因此当点为线段与的交点时，的最小值为，所以D正确.11.在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则为钝角三角形B.若，则C.若，且，则为直角三角形D.若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形答案：AD解析：思路：对于A，由正弦定理、余弦定理得即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由三线合一结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断；对于D，由重心和外心重合即可判断.解答过程：对于A，由，可得，由正弦定理可得，所以，因为，所以，则为钝角三角形，故A正确；对于B，若，当，时，则，故B不正确；对于C，因为，分别为单位向量，所以的角平分线与垂直，所以，．又因为，即，因为，所以，故，所以为等边三角形，故C错误；对于D，因为，所以为的重心，由知为的外心，故为等边三角形，故D正确.故选：AD.第二部分（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡相应横线上）12.已知向量，，且，则______．答案：解析：解答过程：因为，所以，解得，所以，故．13.在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________；答案：解析：思路：设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解.解答过程：由题意可得,设的坐标为，解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同，所以，解得，故点对应的复数是.解法二：由于，可得，故，故点对应的复数是.14.如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则的余弦值为______．答案：##解析：思路：根据题意建立直角坐标系，从而得到各点坐标，进而利用向量夹角余弦的坐标表示即可得解.解答过程：依题意，以为原点，所在直线为轴，过作的垂线为轴，如图所示，因为，，，所以，则，，即为向量与的夹角，，，，.故答案为.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量．（1）求与的夹角余弦值；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可.（2）根据向量共线的坐标公式求出参数的值.（1）由已知，，所以.（2）由已知，，因此由，可得，解得．16.如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛A，B，C，D，小岛B与小岛A，小岛C相距都为5海里，与小岛D相距为海里，角A为钝角，且．（1）求的值；（2）求的面积．答案：（1）；（2）15平方海里．解析：思路：(1)求：放在中解三角形，由题意可得、的值以及的正弦值，即两边及一边的对角已知，求另一边对角的正弦值，可利用正弦定理求解；(2)求的面积，利用面积公式，已知边、长；利用圆内接四边形的性质可知角与互补，由此得到；已知两边一角可用余弦定理求出第三边长，因此面积可用公式：，求出的面积．（1）由题意知：在中，，，；由正弦定理得：，即，解得．（2）因为A、B、C、D四点共圆，所以，又A为钝角，故为锐角；所以，故．在中，，；由余弦定理得：，即，整理得：，解得（海里）（负值已舍去）；所以的面积为：（平方海里）．17.如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，.（1）求四面体的表面积和体积；（2）求四面体的体积.答案：（1）表面积为；（2）解析：思路：（1）根据几何体表面图形的特点可求表面积，结合体积公式可求体积；（2）利用几何体的体积比例关系可求答案.（1）因为四面体为正四面体，所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形，且，所以四面体的表面积为；设正四面体的高为h，三角形的重心为O，则，∴.（2）因为是的中点，∴.因为，即点为的四等分点，∴.因为，即点为的三等分点∴所以，∴.综上所述，.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由余弦定理计算即可求解；（2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解；（3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.（1）因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以当时，周长有最小值为；（3）由正弦定理可得，所以，，因为，所以，则，因为是锐角