2025-2026学年江西萍乡市高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.2.已知为平面内不共线的三点，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.4.已知是锐角三角形的一个内角，若，则（）A. B. C. D.5.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.6.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（）A.向右平移个单位得到 B.向右平移个单位得到C.向右平移个单位得到 D.向左平移个单位得到8.函数在区间恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则是等边三角形D.10.如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（）A.B.C.D.11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.的单调递增区间为D.为偶函数三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．13.已知，则__________．14.已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求的值；（2）求等式的解集．16.已知平面直角坐标系中不同的三点．（1）若，求实数的值；（2）若三点共线，求实数的值．17.已知中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，且，求的周长．18.在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点．（1）求的值；（2）求的最小值．19.在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，写出的“相伴向量”；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；（3）已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：．

数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数的最小正周期是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案.解答过程：解：由函数，则最小正周期.故选：B.2.已知为平面内不共线的三点，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程.3.已知向量，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助数量积的坐标公式计算即可得.解答过程.4.已知是锐角三角形的一个内角，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用同角三角函数的基本关系得出关于、的方程组，解之即可.解答过程：因为为锐角三角形的一个内角，则，，由同角三角函数的基本关系得，解得，.5.已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由扇形的弧长为，圆心角为，得该扇形所在圆半径（cm）所以该扇形的面积为（）.6.在中，内角所对的边分别为，若，则（）A. B. C. D.或答案：D解析：解答过程：由，，则，故，由正弦定理，可得，又，则，故或，若，有，符合题意；若，有，符合题意；综上：或.7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（）A.向右平移个单位得到 B.向右平移个单位得到C.向右平移个单位得到 D.向左平移个单位得到答案：A解析：解答过程：将函数的图象上各点向右平移个单位得到，即，则，解得，故选项A正确.8.函数在区间恰有三条对称轴与三个对称中心，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到，求解即可.解答过程：因为，所以.由的性质，要使函数的图象在区间内恰有三条对称轴、三个对称中心，则，解得，即.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在中，内角所对的边分别为，下列说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则是等边三角形D.答案：ABD解析：思路：利用正余弦定理依次进行判断即可.解答过程：对于A，由正弦定理得，其中为外接圆的半径，由此可得，因此，故A正确；对于B，若，由正弦定理，可得，又因为，所以sinB>0，因此，故B正确；对于C，若，展开并化简得，由余弦定理得，由于，所以，此时角还不能确定，因此不能保证是等边三角形，故C错误；对于D，由正弦定理可得，代入余弦定理，化简得到，故D正确.10.如图，点是正八边形的中心，，下列说法正确的是（）A.B.C.D.答案：AC解析：解答过程：对于A选项，由正八边形的几何性质可得，，，，故，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，连接、，如下图所示：因为，，则为、的中点，故四边形为平行四边形，所以且，由相等向量的定义可得，，C对；对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则，又因为，故平行四边形为正方形，所以，即，D错.11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.的图象关于点对称B.的图象关于直线对称C.的单调递增区间为D.为偶函数答案：BCD解析：思路：先由图象信息求出表达式，从而根据对称性即可判断AB；根据单调性结合值域即可判断C；按平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断D.解答过程：由图可知，又，所以，所以，又函数图象最低点为，所以，所以，解得，由题意，所以只能，所以，所以，但，从而函数的图象关于直线对称，故A选项错误；故B选项正确；，令，即得，所以函数的单调递增区间为，故C选项正确；函数，所以为偶函数，故D选项正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则______．答案：解析：解答过程.13.已知，则__________．答案：解析：解答过程.14.已知在平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上靠近点C的四等分点，点F在线段BE上，若，则__________．答案：解析：解答过程：因为三点共线，则，而，故，整理得，而，不共线，故，故，故.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求的值；（2）求等式的解集．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据正弦函数周期，求出即可；（2）列出方程，根据换元法，求出结果即可；（1）由题知，可知，所以，解得；（2）由题知，则或，，解得或，，故的解集为或．16.已知平面直角坐标系中不同的三点．（1）若，求实数的值；（2）若三点共线，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由点坐标写出向量坐标，根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求出结果即可；（2）根据向量共线基本定理，列出方程组，求出参数值即可.（1）由题知，因为，所以，即，解得；（2）设存在唯一的实数，使得，即，解得或，当时，与重合，舍去，故．17.已知中，内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，且，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理边化角求解即得.（2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解.（1）在中，及由正弦定理得，则，而，所以.（2）由（1）及余弦定理得，即，又，因此，而，解得，，所以的周长为．18.在边长为的等边三角形中，为线段上的动点（不含端点），于点，且交于点．（1）求的值；（2）求的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）应用数乘运算，再根据数乘的模长计算求解；（2）先建系，再写出点的坐标，最后应用数量积坐标运算结合二次函数计算求解最小值.（1）取的中点，的中点，连接，则，所以，则；（2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，因为，所以，已知，，得，设，则，，则，当且仅当时，取得最小值为．19.在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，写出的“相伴向量”；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；（3）已知，将（2）中的函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，试问的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考公式：．答案：（1）（2）（3）存在点使得解析：思路：（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果.（2）首