2025-2026学年江西省南昌市南昌中学三经路校区高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.2.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位3.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.4.已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.5.如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，（）A.2 B.4 C. D.6.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形7.已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数的最小正周期为，则（）A. B.C.的图象关于点对称 D.在上的最小值为10.下列说法中正确的是（）A.已知向量与单位向量同向，且，，则B.若是钝角三角形且，，，则实数的取值范围为C.已知，，则在上的投影向量的坐标为D.是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍11.如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（）A.的最大值为4B.C.D.当取最大值时，三点共线三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则不等式的解集为_______________．13.在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________.14.在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤）15.已知平面内三个向量，，.（1）若，求实数的值；（2）已知，求的最小值.16.已知中，，，分别为内角，，的对边，且；（1）求角的大小；（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且.（1）求角；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.18.如图，已知函数的图象过点和，且满足.（1）求的解析式；（2）求的递增区间和对称轴方程；（3）当时，求函数值域.19.如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.（1）在斜坐标系中，，求；（2）在斜坐标系中，，，且与的夹角.①求；②，分别在射线，上，，，为线段上两点，且，，求的最小值.

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由余弦定理，.由为三角形内角，所以.2.要得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位答案：A解析：解答过程：易知，故要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位长度.3.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.解答过程：因为是的中点，所以，因为是的靠近的三等分点，所以，所以．4.已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解.解答过程：由，得，即，所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为,因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为.5.如图，在边长为2的正五边形ABCDF中，（）A.2 B.4 C. D.答案：A解析：思路：利用投影向量求解易得.解答过程：连接，作于点E，那么即在方向上的投影向量，由于，所以，，.6.在中，若，，则形状为（）A.等边三角形 B.等腰但不等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形答案：A解析：解答过程：因为，且，所以.因为，由正弦定理得，因为sinB>0，所以因为，所以，所以.故为等边三角形．7.已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由正弦函数建立方程求解，按照大小顺序列举出方程的解，根据题意建立不等式，可得答案.解答过程：由，解得或，化简可得或，当时，；当时，；当时，；当时，，由题意可得，解得.故选：A.8.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段的函数，当线段取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值.解答过程：因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量，根据平行四边形法则，所以所在直线是的角平分线，又，所以的角平分线与边垂直，所以是等腰三角形，，取中点，则有，因为，所以，又因为，所以，所以，所以根据勾股定理，根据极化恒等式，，要使得取得最小值，即线段最小，此时，在直角三角形中，由等面积法，得到，所以的最小值为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数的最小正周期为，则（）A. B.C.的图象关于点对称 D.在上的最小值为答案：AC解析：解答过程：对于A，因为的最小正周期为，所以，解得，故A正确.对于B，因为，所以，故B错误.对于C，因为，故C正确.对于D，因为，所以，所以，故D错误.10.下列说法中正确的是（）A.已知向量与单位向量同向，且，，则B.若是钝角三角形且，，，则实数的取值范围为C.已知，，则在上的投影向量的坐标为D.是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍答案：ACD解析：思路：对于A，计算单位向量即可；对于B，注意构成三角形的基本条件，两边之和大于第三边，利用大角对大边，找到最大角其余弦值小于零；对于C，利用投影向量公式计算即可；对于D，设，利用三点共线求出的值，然后判断出，寻求其面积的比例关系进行求解.解答过程：对于A，因为，，所以，所以，所以，故A正确.对于B，因为是钝角三角形，且，，，显然是最大角，所以，所以，解得，又因为两边之和大于第三边，所以，解得综上，故B错误.对于C，在上的投影向量为，故C正确.对于D，延长交于于点，设因为点三点共线，所以，解得，所以，所以，整理得，所以，，所以，故D正确.11.如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点是外接圆上一点，则（）A.的最大值为4B.C.D.当取最大值时，三点共线答案：ABC解析：思路：对于A，由外接圆直径为的最大值可判断；对于B，由向量投影与数量积的关系可判断；对于C，由等边三角形重心的向量性质可判断；对于D，由的几何意义与点的位置可判断.解答过程：对于A，因为的边长为，外接圆的半径，所以的最大值为，故A正确；对于B，由题意知，所以，故B正确；对于C，等边三角形的外接圆圆心也是重心，所以，所以，故C正确；对于D，当取最大值时，点是圆的最右边的点，即过点O的水平线与圆在右侧的交点，此时在上的投影向量的模最大，显然不满足，三点共线，故D错误.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则不等式的解集为_______________．答案：解析：思路：依题意可得，结合正弦函数的性质计算可得.解答过程：由，即，所以，又，所以，即不等式的解集为.故13.在中，，，，若满足条件的有两个，则的取值范围是________.答案：解析：思路：运用正弦定理得到关于的解析式，运用两个函数的交点解决解的个数问题.解答过程：由正弦定理得，所以考虑直线，与函数的图像有两个交点如图所以14.在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______．答案：##解析：思路：根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可.解答过程：

如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则：、不妨设则∴，∴的最小值为，当且仅当时取得.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤）15.已知平面内三个向量，，.（1）若，求实数的值；（2）已知，求的最小值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用平面向量的线性坐标运算求得和的坐标，然后利用平面向量共线的坐标运算列式求解即可.（2）先利用平面向量的线性坐标运算求得的坐标，然后利用向量模的坐标运算列式，利用二次函数性质求解最值即可.（1）因为，，又，所以，即，解得.（2）因为，所以，所以当时，取最小值.16.已知中，，，分别为内角，，的对边，且；（1）求角的大小；（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可；（2）首先需列出，代入已知条件即可得出.（1）在中，由正弦定理及得：，化简可得：，由余弦定理得，又，所以.（2）是的角平分线，则，由可得，因为，，即有，故.17.已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且.（1）求角；（2）若，，求的面积；（3）若，求周长的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值；（2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得；（3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值.（1）因为向量，，且，所以.又由正弦定理得，因为，所以又因为，所以.（2）因为中，，，由（1）知，由余弦定理，即，所以，解得或（舍去）.所以的面积.（3）由（1）知，且，由余弦定理，得，即，，当且仅当时等号成立.所以的最大值为8.又的周长取值范围为18.如图，已知函数的图象过点和，且满足.（1）求的解析式；（2）求的递增区间和对称轴方程；（3）当时，求函数值域.答案：（1）（2）递增区间为，；对称轴为，（3）解析：（1）由，，，得，，则又，即，得，由，得，根据图象可知，解得.（2），的递增区间为，令解得，因此函数的对称轴为，（3），，故，，即的值域为.19.如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.（1）在斜坐标系中，，求