2025-2026学年广东深圳高级中学（集团）高一下册期中测数学试题 含解析

/数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.1 B.2 C. D.2.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则m，n是异面直线D.若m，n是异面直线，，，，，则3.如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.4.在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.45.在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.6.深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动，深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度，他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，又在沙滩上选择了观测点B（A，B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端位于点B的北偏西，已知A，B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西，则愿望塔的高度约为（）（参考数据：，）A.60米 B.71米 C.85米 D.100米7.在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（）A. B. C. D.8.O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第三象限B.若复数，则z的虚部为C.若，则的最大值为2D.若，则10.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（）A.若，则B.在锐角△ABC中，不等式恒成立C.若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是D.若，则11.已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为C.若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为D.若，E为线段AC上的动点，则的最小值为三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________.13.已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________.14.在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12.（1）求此棱台的侧面面积；（2）若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比.16.已知等腰梯形ABCD中，，，E为DC边上的中点.（1）若与共线，求k的值；（2）若P为AD边的中点，PB与AE交于F，求；（3）若P为AD边上的动点，求的最小值.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积.18.如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，.（1）若平面交平面于直线l，求证：；（2）当直线时，求三棱锥的体积；（3）是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由.19.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，.（1）求A；（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；（3）若为锐角三角形，O为△ABC的垂心，且满足（m，），求的最小值.

数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A.1 B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：复数，所以.2.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则m，n是异面直线D.若m，n是异面直线，，，，，则答案：D解析：解答过程：对于A，由，得平行、相交或者是异面直线，A错误；对于B，由，得或，B错误；对于C，由，得平行、相交或者是异面直线，C错误；对于D，由，得存在过的平面，则，而，是异面直线，则是相交直线，又，不在内，则，又，是内的两条相交直线，因此，D正确.3.如图所示是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设圆台的上下底面圆的半径分别为.因为扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，所以，，解得，，所以该圆台的表面积为.4.在三棱柱中，E是棱的中点，D是棱BC上一点，，若平面ADE，则实数的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：连接，利用线面平行的性质及平行线分线段成比例定理列式求解.解答过程：在三棱柱中，E是棱的中点，连接，连接，由平面，平面平面，平面，得，所以.5.在平行四边形ABCD中，，，，，用向量，来表示，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用向量的线性运算，结合共线向量定理及推论求解即得.解答过程：依题意，，由在上，得，由在上，得，解得，则，所以.6.深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动，深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度，他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，又在沙滩上选择了观测点B（A，B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端位于点B的北偏西，已知A，B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西，则愿望塔的高度约为（）（参考数据：，）A.60米 B.71米 C.85米 D.100米答案：B解析：解答过程：作出示意图如图所示：，因为点B位于点A的南偏西，所以，又因为愿望塔底端位于点B的北偏西，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以，又因为点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，所以，所以，所以.7.在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式列式求解.解答过程：在中，，由余弦定理得，解得，又，由，得，则，所以.8.O为平面内的定点，，，的夹角为120°，，，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：利用向量的模的运算求得，利用配方法和基本不等式可求得的范围，进而可求得的最大值.解答过程：因为，，的夹角为120°，所以.因为，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，，所以，所以的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数z的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（）A.若复数，则在复平面内对应的点在第三象限B.若复数，则z的虚部为C.若，则的最大值为2D.若，则答案：AC解析：解答过程：对于A，在复平面内对应的点在第三象限，A正确；对于B，复数的虚部为2，B错误；对于C，表示复数对应点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，而圆心到原点距离为1，因此的最大值是该圆上的点到原点距离最大值，它是，C正确；对于D，取，满足，而，D错误.10.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，以下结论正确的是（）A.若，则B.在锐角△ABC中，不等式恒成立C.若，，且△ABC只有一解，则b的取值范围是D.若，则答案：ABD解析：思路：利用正弦定理边角互化，结合二倍角余弦公式推理判断AD；利用正弦函数单调性推理判断B；利用正弦定理，结合三角形解的情况求出范围判断C.解答过程：对于A，，A正确；对于B，在锐角△ABC中，，而正弦函数在上单调递增，因此，即，B正确；对于C，由及正弦定理，得，而△ABC只有一解，因此或且，解得或，C错误；对于D，由，得，而，则，D正确.11.已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（）A.圆锥SO的侧面积为B.过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为C.若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为D.若，E为线段AC上的动点，则的最小值为答案：ACD解析：思路：对于A，直接代公式即可求解；对于B，截面为等腰三角形且腰长确定，由基本不等式即可求解；对于C，利用向量法表示出中线长，结合余弦定理，即可求解；对于D，将三角形展开，即可求解.解答过程：对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确；对于B，如图截面为，，设，的高为，则，可得，当且仅当时取等号，故B错误；对于C，如图，设，而，即，即，又，所以可化为，而，当且仅当时取得等号.故的周长为，即的周长的最大值为，故C正确，对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为，如图，另作出平面图形如下，易得，，且，由两角和的余弦公式得，在中，.可得的最小值即为，故D正确.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________.答案：6解析：解答过程：依据斜二测画法可知，所以，又因为，，所以，，可得，那么原周长是.13.已知向量，（），若在上的投影向量为，则与的夹角为__________.答案：##解析：思路：根据给定条件，结合投影向量的意义求出，进而求出向量夹角.解答过程：由向量，，得，由在上的投影向量为，得，解得，因此，而，则，所以与的夹角为.14.在中，角所对的边分别是，已知，.若存在最大值，则正数的取值范围是__________.答案：解析：思路：利用正弦定理角化边，并利用余弦定理求出，再利用正弦定理及三角恒等变换，结合正弦函数性质求出范围.解答过程：由及正弦定理，得，由余弦定理，得，而，则，由正弦定理，得，因此，其中，而，要使存在最大值，则有解，即，因此，解得，所以正数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知正四棱台两底面边长分别为10和20，高为12.（1）求此棱台的侧面面积；（2）若截去三棱锥，求截去的三棱锥和剩余的几何体的体积之比.答案：（1）（2）解析：思路：（1）取的中点，的中点，可得四边形为直角梯形，利用勾股定理求得斜高，进而可求侧面积；（2）利用棱台的体积公式和锥体的体积公式计算求得，，进而可求三棱锥和剩余的几何体的体积之比.（1）在正四棱台中，，取的中点，的中点，则为侧面底边上的高，设分别是上、下底面的中心，，则四边形为直角梯形，在直角梯形中，，所以，所以；（2）该正四棱台的体积为，，所以几何体的体积，所以三棱锥和剩余的几何体的体积之比为.16.已知等腰梯形ABCD中，，，E为DC边上的中点.（1）若与共线，求k的值；（2）若P为AD边的中点，PB与AE交于F，求；（3）若P为AD边上的动点，求的最小值.答案：（1）（2）（3）5解析：思路：（1）建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标运算可求得k的值；（2）利用向量夹角的坐标运算公式可求得；（3）设，利用向量数量积的坐标运算可求得，结合二次函数的最值的求法可求得的最小值.（1）如图建立直角坐标系，则，，又因为与共线，所以，解得；（2）若P为AD边的中点，则，，所以，，，所以；（3）设，，所以，，又，所以当时，的最小值为.17.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且AB边上一点P满足.（1）求角A的大小；（2）若，，求的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，进而可求得角A的大小；（2）由已知可得是等边三角形，进而可得，在中，利用正弦定理可求得，由余弦定理求得，进而可求得的面积.（1）因为，由正弦定理得，即，所以，所以，因为，所以，所以，又因为，所以；（2）由（1）知，又，所以是等边三角形，所以，又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，由余弦定理可得，所以，解得，故，所以.18.如图所示，在正方体中，点分别是棱的中点，P为线段上一动点，.（1）若平面交平面于直线l，求证：；（2）当直线时，求三棱锥的体积；（3）是否存在一点P，使得直线平面？若存在，求出此时线段与的比值；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.解析：思路：（1）利用面面平行的性质，结合正方体的结构特征推理得证.（2）根据给定条件，确定点的位置，再利用等体积法计算得解.（3）作出几何图形，再借助线面平行的性质确定点并求出比值.（1）在正方体中