2025-2026学年广东深圳实验学校高中部高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.15 B. C.2 D.32.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）A.B.C.D.4.如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（）A.2 B. C. D.5.如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（）A.8 B.16 C. D.6.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（）A.1 B. C.2 D.7.如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（）米A. B. C. D.8.已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.B.的实部为C.D.若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数10.如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（）A. B.C. D.的最小值是11.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.13.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________．14.如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.（1）求五面体的体积；（2）若在线段上，平面，求的长度.16.是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．（1）用，来表示和；（2）若的面积为3，求的面积；（3）若BC=26，求17.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求角的值．（2）若的面积为，求线段长度的最小值．18.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.19.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.（1）当时，①求三角形的面积.②若，求m、n.（2）若，求的最小值.数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A.15 B. C.2 D.3答案：C解析：解答过程：因为，，所以，所以.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据复数的运算法则和模长公式计算可得.解答过程：因为，所以，所以.故选：D.3.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（）A.B.C.D.答案：B解析：思路：以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可.解答过程：以所在平面作为下底面还原，则重合，重合，还原成如图正方体:对于A，由图可得异面不平行，故A错误；对于B，显然，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，由图可得异面不平行，故D错误.4.如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：利用面面平行得到轨迹的长度求解即可.解答过程：取的中点，的中点，连接，，，根据正方体的结构特征，易得，，因为平面，平面，故平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，且面，所以平面，即点在平面与平面的交线上，由题知，所以动点的轨迹长度为.故选：B.5.如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（）A.8 B.16 C. D.答案：B解析：思路：取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值.解答过程：取线段的中点，连接、、，如下图所示：因为，所以，因为四边形为矩形，则，因为，所以，当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为.6.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（）A.1 B. C.2 D.答案：A解析：思路：根据题意转化为两圆锥的体积比，进而求得相似比，得到高的关系式，解之即可得解.解答过程：根据题意，沙漏是由两个圆锥组成的几何体，两部分体积相等，则两部分圆锥的高分别为3，设沙漏下半部分圆锥的体积为，沙子上方圆锥的体积为，因为沙子体积占该沙漏容积的，即，可得，设沙子堆积成的圆台的高为，所以，解得，所以沙子堆积成的圆台的高为.故选：A.7.如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（）米A. B. C. D.答案：D解析：思路：将实际问题抽象出几何图形，在多个三角形中解三角形，从而得出实际问题的解.解答过程：如图，过作，垂足为，过作，垂足为.由题意可知，，，，，，在中，，即，；在中，，且，由正弦定理得，，即，即，在中，，又，.由余弦定理得，，解得.8.已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面，后由几何知识可得截面面积.解答过程：解析：延长，且与相交于，连接EG，并与相交于，连接FD，则四边形AEDF为所求的截面.在中，由，，得.在中，由，，得.因为为的中点，所以由平面几何知识可知，.所以，，即为AG的中点，所以.又由，可得，又，，所以.在中，由，，得，所以.所以在中，有，，，即，所以.又注意到，，则四边形AEDF的面积为.故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A.B.的实部为C.D.若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数答案：AC解析：思路：对A，利用复数的运算及模长的计算公式，即可判断正误；对B，根据题设定义可得的实部为，即可求解；对C利用共轭复数的定义及复数的运算，即可求解；对D，根据题设可得，再分取奇和偶，即可求解.解答过程：对于A，因为，，则，所以，又，所以，故A正确，对于B，令，则，所以的实部为，故B错误，对于C，令，则，所以，故C正确，对于D，若时，则，当为偶数时，设，，所以且为奇数时，为纯虚数；且为偶数时，为实数，故D错误.10.如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（）A. B.C. D.的最小值是答案：ABD解析：思路：利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.解答过程：对于A，由，得，则，A正确；对于B，令，在等边中，，由选项A得，，，，，因此，B正确；对于C，由选项A知，，而，，则，而共线，因此，即，C错误；对于D，由选项C知，，，当且仅当时取等号，D正确.故选：ABD11.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（）A. B.C. D.的最大值为答案：ABC解析：思路：根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断.解答过程：由切线长定理易得，A正确；由勾股定理知，解得，B正确；因为，，所以正确；因为，当且仅当时，等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.答案：##解析：思路：把平方，利用向量的运算法则可得答案.解答过程：由于

，

，

均为单位向量，故

，

，

.给定

，对两边取模的平方得：代入

，得：，解得：

，.故13.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________．答案：解析：思路：先设边长应用正弦定理得出，再应用余弦定理得出即可求解．解答过程：在中，，又，则，设，则，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，即，又，解得，则.14.如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________．答案：222解析：思路：根据给定条件，利用有孔立方体的表面积的意义，结合棱柱侧面积公式计算得解.解答过程：依题意，正方体表面去掉每个面上的两个边长为1的正方形后，面积，6个直通的正四棱柱去掉6个交汇处的小正方体后的侧面积为，所以这个有孔立方体的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.（1）求五面体的体积；（2）若在线段上，平面，求的长度.答案：（1）（2）解析：思路：（1）将五面体拆成三棱锥和四棱锥，根据正方体的结构特征，以及锥体的体积公式，即可求解；（2）设，，证得，在矩形中，求得的长，根据，得到为平行四边形，结合.（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，在三棱锥中，可得，又由正方体中，平面，，且为的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，在四棱锥中，可得，又由正方体中，平面，且为的中点，所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，所以五面体的体积.（2）解：设，，则平面平面，又因为平面，且平面，所以，在矩形中，由，可得，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以.16.是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．（1）用，来表示和；（2）若的面积为3，求的面积；（3）若，求的值．答案：（1），（2）（3）解析：（1）由已知AP=为重心，所以.GP=（2）由（1），所以GP→//所以.（3）为的外心，设中点，则，=51217.已知分别为三个内角的对边，且．（1）求角的值．（2）若的面积为，求线段长度的最小值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得，可求；（2）由三角形面积公式可求得，利用向量数量积的运算律可求得，结合基本不等式可求得的最小值.（1）因为，所以.因为，所以，所以，所以，即，即.因为，所以，所以.（2）由（1）得，因为的面积为，即，所以.因为，所以，所以．当且仅当，即时，等号成立，所以线段长度的最小值为.18.几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.答案：（1）证明见解析（2）存在，解析：思路：（1）先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面；（2）先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值.（1）记为的中点，连接，如图1，因为分别为的中点，故，因为平面平面所以平面，又因为为正三角形，所以，，又为等腰三角形，，所以,所以，即，所以，又平面平面所以平面，又，平面，故平面平面，又因为平面，故平面.（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，因为平面，平面，平面平面，所以，此时四点共面，由（1）可知，，得，故，又因为，所以，则有，故.19.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.（1）当时，①求三角形的面积.②若，求m、n.（2）若，求的最小值.答案：（1）①