2025-2026学年辽宁大连第一中学高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.2.设，，，则有（）A. B. C. D.3.下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（）A. B.C. D.4.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（）A. B. C. D.5.如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.9266.已知，且，则的最大值为（）A. B. C. D.7.已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（）A. B.C. D.8.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.是第三象限角B.若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9C.若，为第二象限角，且，则D.与值域相同.10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（）A.若，，，则三角形有两解B.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为C.若，，则的取值范围为D.若的外心为，且，，则.11.已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（）A.的值为B.函数的图象关于直线对称C.若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是D.若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________.13.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．14.已知，．则的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．（1）求的值．（2）若，求的值．16.已知，，且，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值．17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.18.已知函数.（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.（2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围.19.如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可.解答过程：因为，所以，故选：C2.设，，，则有（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：对分别用诱导公式及和差角公式，半角公式化简，再结合正弦函数的单调性判断可得.解答过程：由；由，因为，所以，故；再由，所以,所以，即.3.下列函数中，其图象与函数的图象重合的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：分别分析绝对值内为负值时各选项的解析式，对照分析，即可得答案.解答过程：由二倍角公式得，选项A：当时，，与不重合，故A错误；选项B：当时，，与不重合，故B错误；选项C：当时，，与不重合，故C错误；选项D：因为是偶函数，所以对于任意，都有，故，与的图象重合，故D正确.4.记的面积为S，的外接圆半径为1，且，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由正弦定理（R为的外接圆半径），且的外接圆半径为1，得，代入得.由余弦定理得，又，所以，化简得，因为，所以.5.如图所示，的三条边均与圆相切，其中，则圆的半径约为（）A.5.861 B.5.674 C.5.076 D.4.926答案：C解析：思路：作出辅助线，用圆半径的表示出，结合已知求出，再用三角恒等变化求解.解答过程：令圆切直线于点，连接，设圆半径为，依题意，，则，则，得，因此.故选：C6.已知，且，则的最大值为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据条件，利用正弦的和差角公式得到，从而得，再利用基本不等式，即可求解.解答过程：因为，即，所以，整理得到，又，，则，且易知，所以，且则，又，当且仅当时取等号，所以.7.已知函数在处取得最大值，若在处取得最大值，则与的关系可能为（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据题设有、且，再由已知得、，进而判断各项正误.解答过程：由，且，由题意，则，，则，所以，则或均不可能，，则不可能，时.故选：C8.在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案.解答过程：中设，，，因为，，所以，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，又因为，所以，又，所以，在中，，，，根据，所以，，，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，可得，，，所以，，为线段上的一点，则存在实数使得，设，，则，，所以，则，所以，，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，此时，所以的最小值为.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.是第三象限角B.若扇形的圆心角为，半径为3，则弧长为6，面积为9C.若，为第二象限角，且，则D.与值域相同.答案：AB解析：思路：根据终边相同的角可判断A项；利用扇形的弧长面积公式判断B项；举反例可判断C项；确定内层函数的值域，再结合外层三角函数的单调性分别求出两个函数的值域，可判断D项.解答过程：对于A，因，即与的终边相同，故是第三象限角，即A正确；对于B，依题意，该扇形的弧长为，面积为，故B正确；对于C，举反例：取，，二者都是第二象限角，满足，但，不满足，C错误；对于D，求值域：对：，因此，值域包含负数；对：，因此，值域全为正数，二者值域不同，D错误.10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（）A.若，，，则三角形有两解B.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为C.若，，则的取值范围为D.若的外心为，且，，则.答案：ACD解析：思路：根据题意求，可得，即可判断A；对于B，利用向量的数量积公式求解即可；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；对于D，根据，，化简即可求解.解答过程：对于选项A：由题意可得：，因，所以三角形有两解，故A正确；对于B：因为向量，，若与的夹角为锐角，则，即，解得：或，故B不正确；对于选项C：因为，则，可得，即，由正弦定理得，所以的取值范围为，故C正确；对于D，取的中点，则，所以，同理可得，所以，故D正确11.已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（）A.的值为B.函数的图象关于直线对称C.若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是D.若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是答案：ACD解析：思路：A选项，根据得到；B选项，由得到，再由得到，进而得到，，的图象不关于直线对称，B错误；C选项，整体法得到，得到C正确；D选项，先考虑临界情况，再得到的取值范围.解答过程：对于A选项，由题意得，即，，且在附近单调递增，又，故，A正确；对于B选项，由题意得，又，故，解得，又，且函数在附近单调递增，即，，解得，因为，故，解得，又，故，所以，，故，所以的图象不关于直线对称，B错误；对于C选项，，，若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则，解得，C正确；对于D选项，由于，由于，且，在的基础上，纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的，要想方程（，且）在内至少有3个不同的根，先考虑临界情况，如图，此时（，且）在内有2个不同的根，且满足时，成立，即，结合图象的单调性，可知，解得，当时，纵坐标不变，横坐标进一步进行缩短，此时满足方程（，且）在内至少有3个不同的根，实数的取值范围是，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知函数的单调递增区间为，则函数的最小正周期为___________.答案：##解析：思路：运用正切型函数的单调性得到，再根据正弦型函数的周期计算即可.解答过程：令，得，又的单调递增区间为，所以，于是，其最小正周期.故答案为.13.已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______．答案：解析：思路：根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可.解答过程：，，因为，所以，解得．所以，，所以在方向上的投影向量的坐标为．14.已知，．则的取值范围是______．答案：解析：思路：将化成关于的二次函数形式后，由题意可得，，则可得位于第一象限，结合三角恒等变换可得对称轴在区间内，即可得其，解出后与位于第一象限取交集即可得.解答过程：令，则，，故，则，，对称轴为，令，则，故，又，故使得最小的在区间内，故对，有，即有，则，即，又，取交集可得.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．（1）求的值．（2）若，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据任意角的三角函数定义求出，，根据诱导公式进行化简，代入求值即可.（2）根据诱导公式求解即可.（1）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，所以，．所以．（2）由于，，所以．16.已知，，且，求：（1）的值；（2）的值；（3）的值．答案：（1）（2）（3）解析：（1）且，．（2）且，，又，，又，，．（3）由（1）（2）知，，，又，．17.在中，角所对的边分别是，且.（1）求；（2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积；（3）若是的角平分线，，，求的长.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得；（2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可；（3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可.（1）解：因为，由正弦定理可得，所以，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，所以，故；（2）解：因为是边上靠近的三等分点，所以，所以，又因为，，，所以，化简得，即，解得或（舍去），所以；（3）解：已知平分，且，故，由得；将，代入得，解得∵∴18.已知函数.（1）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.（2）设，若方程在上有解，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据函数图象平移和伸缩变换的规则，先平移再伸缩，得到的表达式，由，结合的取值范围，分析方程根的情况，利用三角函数的对称性找到​与的关系，再代入求解。（2）先求出的表达式，再结合，将方程进行变形，利用换元法将方程转化为关于的方程，结合的范围确定的取值范围，进而求出的取值范围（1），将函数的图象向左平移个单位长度得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得，即由已知在上有两个不相等的实数根，，当时，，设，，可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，，即，那么，因为，所以，所以，所以.（2）方程在上有解，，所以方程变为，即方程在上有解，设，则，所以，因为上，所以，则，则原方程可化为在上有解，由题知，，故方程可化为在上有解，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，所以，所以，故，故实数的取值范围为.19.如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．（1）在仿射坐标系中，若，求；（2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；（3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值．答案：（1）1（2）（3）解析：思路：（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义