【全国二卷】2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页【全国二卷】2026年全国普通高等学校招生全国统一考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1−3i)2=A.−8+6i B.−8−6i C.8+6i D.8−6i2.已知向量a，b满足|a+b|=1，|aA.12 B.14 C.−13.已知集合A={0,1,3,6,9}，B={x|x=x}，则A∩B=A.{0,1} B.{3,6} C.{0,1,9} D.{0,3,9}4.双曲线C:x2a2−y2bA.y=±32x B.y=±23x5.梭台上下底面均为有一个内角是60∘的菱形，且上下底面边长分别为2和3，该棱台的高为3，则该棱台体积为(

)A.1912 B.196 C.1946.甲、乙、丙、丁等8人分成A，B两技术小组，要求每组4人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少分配方案(

)A.10 B.12 C.16 D.247.已知α为第二象限角，且3sin2αcosα=8sinA.34 B.32 C.128.已知f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x−2)=0，当x∈[32,3]时，f(x)=xA.a=−2，b=−3 B.a=−2，b=3

C.a=−4，b=−3 D.a=−4，b=3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知⊙O:x2+y2=1A.点A的坐标为(−3,−4)

B.k=9时，⊙A与x轴相切

C.当k=−11时，⊙A与⊙O相切

D.当⊙O与⊙A相交时，两交点所在直线的方程是6x+8y−k−2=010.等比数列an的公比q≠1，a1>0，2a3=a2A.q=−12 B.Sn>2a11.已知抛物线E:y2=8x，斜率为k(k>0)的直线l过点(−1,0)，△ABC为等边三角形，A在抛物线E上，B，C在l上，则A.抛物线准线方程为x=−2

B.l与抛物线E无交点时，k>2

C.若l与E相交于唯一点B，则抛物线焦点在直线AB上

D.k=2时，△ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知Sn为等差数列an前n项的和，若a1=−1，a4=513.若函数f(x)=2x+2−x−m有两个零点，则14.球O的体积为43π，A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC为等边三角形，DA=DB=DC=2.则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间(天)，绘制成如下的频率分布直方图：

(1)求第一四分位数和中位数；

(2)p为首次故障时间小于365天的概率估计值．

(i)求p；

(ii)工厂向某用户销售100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障小于365天的件数，则X～B(100,p)，求E(X)，D(X)．16.(本小题15分)

三棱锥A−BCD中，E在BD上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD．

(1)证明：CD⊥AB;(2)若DE=2，BE=1，AE=2，CD=23，求AD17.(本小题15分)在△ABC中，已知cosB=34(1)证明：△ABC为钝角三角形;

(2)若△ABC面积为74，求△ABC18.(本小题17分)已知椭圆E:x2a2+(1)求椭圆E的离心率;(2)设点A(x0,y0)在椭圆E上且y0≠0，过A作连接BM，AO，两直线交于点P，点P的轨迹记为M．(i)求轨迹M的方程;(ii)

当t取何值时，

轨迹M存在对称中心?

并将该曲线平移得到曲线M′，

使坐标原点O为M′的对称中心，判断M′是什么曲线?19.(本小题17分)已知函数f(x)=xex+ax+b，曲线y=f(x)在点(0,f(0))(1)求a，b;(2)

当x>0时，

f(x+m)−f(x)>m，求m的取值范围;(3)

当x>0时，

f(x+k)+f(k−x)>2f(k)，求k的最小值。

答案解析1.【答案】B

【解析】解：(1−3i)2=1−6i+9i22.【答案】C

【解析】解：由(a+b)2−(a−b)23.【答案】A

【解析】解：x=0或1时满足方程x=x，所以B={0,1}，

A∩B={0,1}．

故选4.【答案】B

【解析】解：将x=1y=0和x=72y=3代入双曲线方程得1所以该双曲线的渐近线方程为y=±bax，即y=±235.【答案】D

【解析】解：由题意得S上=2×所以该棱台体积V=13×(26.【答案】C

【解析】解：丙丁因为不在同一组，所以有一人会与甲乙同组，再从剩下的4人里选一个，

所以共有2×2×4=16种．

故选C．7.【答案】C

【解析】解：由题意，6sinαcos2α=8sinα(2cos2α−1)，α为第二象限角，sinα>0，cosα<0，

8.【答案】D

【解析】解：由f(x)为定义在R上的偶函数，且f(x)+f(x−2)=0，可得f(x)+f(2−x)=0，

所以函数f(x)关于点(1,0)中心对称，所以f(1)=0，

由f(x)+f(x−2)=0，f(x)=−f(x−2)，

f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

所以函数的周期T=4，

所以f(−1)=f(1)=f(3)=0，f(32)=f(−32)=f(52)，

当x∈[32,3]故选D．9.【答案】BC

【解析】解：由题得⊙A:(x−3)2+(y−4)2=25−k，故点A而当k=9时，r=4，进而⊙A与x轴相切，故B正确;当k=−11时，r=6，OA=9+16=5=6−1，故⊙A与⊙O当⊙O与⊙A相交时，其满足x2进而6x+8y−k−1=0，故D错误．

故选BC．10.【答案】ACD

【解析】解：对于A，由2a3=a2+a1，可得2a1q2=a1q+a1，即2q2=q+1，

解得对于C，2Sn+2−Sn+1−Sn=(Sn+2−Sn+1)+(Sn+2−Sn11.【答案】ABD

【解析】解：对于A项，抛物线准线方程为x=−2，故A正确；

对于B项，设直线l方程为y=k(x+1)，与抛物线方程联立，得：ky2−8y+8k=0，无交点，

则△=64−32k2<0，解得k>2，故B正确；

对于C项，若l与E相交于唯一点B，则由△=0得k=2，并且切点为B(1,22)，

若焦点F(2,0)在直线AB上，则直线BF的方程为y=−22(x−2)，

则直线l与直线AB夹角的正切值为−2则AM=|2(2所以S=12|AM|⋅23|AM|=1故选ABD．12.【答案】24

【解析】解：由已知公差d=a4−a1故答案为：24．13.【答案】(2,+∞)

【解析】解：由已知得2x+2−x≥22x·2−x=2，当且仅当x=0时等号成立，

易知函数y=2x+2−x为偶函数，

又y=2x+2−x=2x+12x，

设2x=t14.【答案】5【解析】解：设等边三角形△ABC的边长为a，H为其中心，则AH=32a×23=33a．

因为DA=DB=DC=2，所以点D在平面ABC内的射影是△ABC的外心H，且DH=2−a23<2．

又因为球O的体积为43π，所以由4315.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，组距为10，

∴[345,355)的频率为0.005×10=0.05，[355,365)的频率为0.01×10=0.10，[365,375)的频率为0.02×10=0.20，[375,385)的频率为0.025×10=0.25，[385,395)的频率为0.015×10=0.15，

设第一四分位数为Q，中位数为M，

∵[345,365)的频率为0.05+0.10=0.15，[345,375)的频率为0.05+0.10+0.20=0.35，[345,385)的频率为0.35+0.25=0.70，

∴Q在[365,375)，M在[375,385)，

∴Q=365+0.25−0.150.2×10=370(天)，M=375+0.5−0.350.25×10=381(天)；

(2)(i)首次故障时间小于365天，即落在[345,365)，频率为0.15，

∴p=0.15，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】16.【答案】解析：(1)因为AE⊥CE，AE⊥DE，

又CE⊂平面BCD，DE⊂平面BCD，且CE∩DE=E，

所以AE⊥平面BCD，

因为CD⊂平面BCD，

所以AE⊥CD，

又因为CD⊥AD，AE、AD⊂平面ABD且AE∩AD=A，

所以CD⊥平面ABD，

因为AB⊂平面ABD，

所以CD⊥AB．(2)过D作DH⊥平面ABC，连接DH，

则∠DAH即为直线AD与平面ABC所成角，其正弦值为sin∠DAH=DHAD，

因为AE⊥DE，且DE=2，AE=2，所以AD=6，

由体积公式知VD−ABC=13S△ABC⋅DH，

等体积转换得VD−ABC=VA−DBC，即13S△ABC⋅DH=13S△DBC⋅AE，

由(1)中得CD⊥平面ABD，

所以CD⊥BD，

则S由AB=3，BC=21，AC=AE2+CE2=32得AC⊥AB，

则S△ABC=12AB⋅AC=

【解析】略17.【答案】解：(1)由cos所以cos2B+sinAsinC=1得cosA⋅所以A或C为钝角，即证△ABC为钝角三角形．(2)由cosB=34得sinB=1−由正弦定理asinA=bsinB=csinC

所以ac=sinAsin所以△ABC周长为a+b+c=3+

【解析】略18.【答案】(1)设椭圆x2a2+y2=1的右焦点为(c,0)，其中c=a2−1，那么过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c，

代入椭圆得c2a2+y2=1，即y2=1−c2a2=1−a2−1a2=1a2，

所以y=±1a，由于截线段长为2a=2，解得a=2，

故c=2−1=1，

离心率e=ca=12=22．

(2)(i)方法一：由(1)知椭圆方程为x22+y2=1，由于点A(x0,y0)满足x022+y02=1，且y0≠0，

过A作y轴的垂线，交y轴于点B(0,y0)，

那么当x0=0时，点A(0,±1)，点P与点A(0,±1)重合;

当x0≠0时，直线AO方程为：y=y0x0x，直线GB方程为：xt0+yy0=1，即y=−y0t0x+y0

联立y=y0x0xy=−y0t0x+y0，解得x=x0x0+t0y=yt0x0+t0即点P(x0t0x0+t0,y0t【解析】略19.【答案】(1)

求a,b的值已知函数f(x)=xef根据导数的几何意义，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率等于f′由切线方程y=−2x+1可知，切线斜率为f′(t)=(t+1)et−3又因为切点(0,f(0))在切线上，将x=0代入切线方程得y=1，即f(0)=1。代入f(x)得：f(0)=0⋅e0+a⋅(2)

求m的取值范围由

(1)

得f(x)=xe当x>0时，不等式(x+m)展开并化简：(x+m)ex+m−3x−3m+1−xe令g(x)=(x+m)ex+m−xex−4m，对g(x)求导得：g①

当m≥0时将g′g′(x)>0

因为x>0，m≥0，所以因此g(x)在(0,+∞)上由函数的连续性可知：g(x)>limx→0+g(x)=g(0)=mem(em−4)≥0

结合m≥0，得e(注：m=0时g(x)=0，不满足严格大于，故排除)②

当m<将g(x)变形为：g(x)=xex(em−1)+mex+m−4m

因为m<0因此存在足够大的x使得g(x)<综上，m的取值范围为

[2(3)

求k的最小值令D(x)=f(k+x)+f(k−x)−2f(k)，题目要求x>0时对D(x)求导得：D′(x)显然D(0)=f(k)+f(k)−2f(k)=0，D′由

(1)

得f′f″(t)=(t+2)et

f‴(t)=(t+3)et>0(∀t①

必要性证明(k≥−2)假设k<−D″(0)=f″(k)+f″(k)=2因此D′(x)>