2026年湖南岳阳市岳阳县第一中学高二下册4月月考试数学试题 含解析

/数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.2.若，则复数（）A. B. C. D.3.某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（）附：若，则，.A.130 B.228 C.260 D.15874.若函数是奇函数，则实数（）A. B.1 C. D.25.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.6.过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（）A. B. C. D.7.已知，，则（）A. B. C. D.8.是函数的极值点，则a的值为（）A. B. C. D.二、多选题（每题5分，共15分）9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（）A. B.变量x，y线性负相关且相关性较强C.相应于点的残差约为 D.当时，y的估计值为14.410.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（）A.直线和的斜率之积为定值B.的最小值为-1C.若的面积为5，则D.若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为11.已知均为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值是2B.若，则的最小值为8C.若，则的最小值为16D.若，则的最小值为三、填空题（每题5分，共15分）12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.13.若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________14.一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________．四、解答题（共80分）15.在中，角，，所对的边分别为，已知，．（1）求的值；（2）若，求边上的高．16.国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：体质情况组别合格良好及以上合计爱好运动不爱好运动

合计

（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．17.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，（ⅰ）求切线，的方程：（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.18.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；（3）记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.19.已知函数，其中a为常数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）设，求证：当时，.

数学一、单选题（每题5分，共40分）1.已知集合，那么（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用集合的交集运算即可求解.解答过程：因为，所以．2.若，则复数（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由得.3.某种植园种植的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有10000个该种植园种植的脐橙，估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为（）附：若，则，.A.130 B.228 C.260 D.1587答案：B解析：思路：由条件求出和值，依据正态分布的对称性可得质量不低于210g的概率，即可得解.解答过程：由可知，，故估计其中单果质量不低于210g的脐橙个数为.故选：B.4.若函数是奇函数，则实数（）A. B.1 C. D.2答案：A解析：思路：由奇函数得，解出，根据奇函数的定义验证即可求解.解答过程：因为函数是奇函数，定义域为，所以，所以，解得．当时，验证得是奇函数．5.某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件根据题目条件可知，，，，根据全概率公式，可得，解得.6.过直线上的动点向圆引切线，切点为，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分析可知当与直线垂直时，取最小值，利用点到直线的距离公式可求出的最小值，结合勾股定理可求得的最小值.解答过程：连接，则，如下图所示：圆的圆心为坐标原点，半径为，由勾股定理可得，所以当取最小值时，取最小值，故当与直线垂直时，取最小值，即的最小值为，所以.故选：B.7.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据同角的三角函数关系及两角和与差的余弦公式求解即可.解答过程：由题意得，所以，即，又，所以，，所以．8.是函数的极值点，则a的值为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：求导得：，因为是极值点，所以，即，代入​得，在左右导数符号改变，确实是极值点，符合条件，因此的值为.二、多选题（每题5分，共15分）9.市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（）A. B.变量x，y线性负相关且相关性较强C.相应于点的残差约为 D.当时，y的估计值为14.4答案：BD解析：思路：A选项，计算出样本中心点，代入回归直线方程得；B选项，随着的增大而减小，又，B正确；C选项，当时，，从而计算出残差约为0.4；D选项，代入，得到答案.解答过程：A选项，，，将代入回归直线方程得，，解得，A错误；B选项，从表可以看出，随着的增大而减小，又，接近于1，所以变量x，y线性负相关且相关性较强，B正确；C选项，回归直线方程为，当时，，，故相应于点的残差约为0.4，C错误；D选项，当时，y的估计值为，D正确.故选：BD10.已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（）A.直线和的斜率之积为定值B.的最小值为-1C.若的面积为5，则D.若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为答案：ACD解析：解答过程：由题可得，，，.设，则，，A正确；，，，B不正确；若的面积为5，则，根据对称性，不妨令位于第一象限，可得，则，，，由，得，C正确；由点可得，，因为平分，所以；又，所以，，在中，以为底，点到的距离为，所以的面积为，设内切圆的半径为，则，解得，D正确.11.已知均为正实数，则下列说法正确的是（）A.的最小值是2B.若，则的最小值为8C.若，则的最小值为16D.若，则的最小值为答案：BCD解析：思路：利用基本不等式即可判定ABC，设，利用导数研究单调性得，进而利用基本不等式即可判定D.解答过程：对于A：，当且仅当时取等号，但不成立，故A错误；对于B：x，y均为正实数，满足，因为，所以，又因为，解得，同理，，当且仅当时取等号（此时），所以的最小值为8，故B正确；对于C：因为，，，所以，当时，即，即，时等号成立，所以的最小值为16，故C正确；对于D：由题意可得，设，则在上恒成立，则在上单调递增，且，由的单调性可得，，则，又因为，则有，当且仅当时等号成立，即因此的最小值为，故D正确．三、填空题（每题5分，共15分）12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______.答案：解析：解答过程：由余弦定理可得，，因为，所以，故的面积为.13.若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________答案：解析：思路：由恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得的取值范围即可.解答过程：依题意知，因为函数在单调递增，所以，即对任意恒成立，所以对任意恒成立，又因为（当且仅当时取“”），所以.故14.一个袋子里有大小和质地相同的5个球，标号为1，2，3，4，5，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取5次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有4个不相同的数的概率为________．答案：解析：思路：求得总的取法数及符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解.解答过程：由题知是有放回地取球，所以每次都有5种不同取法，总取法有种，而这列数中恰有4个不相同的数的取法有种，故这列数中恰有4个不相同的数的概率为．四、解答题（共80分）15.在中，角，，所对的边分别为，已知，．（1）求的值；（2）若，求边上的高．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可．（1）在中，，，由余弦定理得，得到，故.（2）由（1）可知，因为，所以，，设边上的高为h，则，可得，故边上的高为．16.国民体质是国家和社会发展的重要基础．为贯彻落实《“健康中国2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展．《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：体质情况组别合格良好及以上合计爱好运动不爱好运动

合计

（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，其中．答案：（1），体质情况与爱好运动有关.（2）的分布列为：012.解析：思路：（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断；（2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求.（1）由表中数据可得，表格完善如下：体质情况组别合格良好及以上合计爱好运动不爱好运动合计设：体质情况与爱好运动无关，则，根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，故的所有可能取值为0，1，2，，，，即所求分布列为012所以的期望.17.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，点T是椭圆C上位于第四象限内的任意一点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P作椭圆C的两条切线，，过点T作椭圆C的切线l，l与，的交点分别为M，N，（ⅰ）求切线，的方程：（ⅱ）问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.答案：（1）（2）（ⅰ），；（ⅱ）为定值，定值为90°.解析：思路：（1）根据离心率、焦点坐标确定椭圆的参数，即可得；（2）（i）设过点P的直线方程为，联立椭圆并结合相切关系得求直线的斜率，即可得；（ii）利用相切关系求得，结合（2）所得，求交点坐标，再应用向量数量积的坐标运算求得，即可得.（1）由题意得，，解得，，所以椭圆C的标准方程为.（2）（ⅰ）由题意，设过点P的直线方程为，联立，消去y并整理得，由，即，解得，.所以切线方程分别为，.（ⅱ）设且，则且，联立，所以，则，由相切关系知，则，所以，则，由，则，所以，则，得，所以，即，由，联立直线得，则，由，联立直线得，，则，因为，，，所以，即，故为定值，且定值为90°.18.设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）若在定义域内恰有2个零点，求的取值范围；（3）记点，当时，曲线在点处的切线与轴交于点，求三角形面积的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用导数的几何意义求出方程组即可解得；（2）转化为与有2个交点，然后利用判断单调性、得出极值和值域，最后得出的取值范围；（3）求出切线方程并求得三角形面积，再构造函数利用导数求出的最大值即可；（1）因