湖南省长沙市开福区2025-2026学年高一下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）（试卷及解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页湖南省长沙市开福区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（i为虚数单位），则（

）A． B． C．2 D．2．若，，，则实数（

）A．1 B． C．4 D．3．已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件 D．甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件4．在中，角，，的对边分别为，，．若，则（

）A． B． C． D．5．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为母线的中点，是的中点，，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（

）A． B． C． D．7．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（

）A． B． C． D．8．在四棱锥中，，，两两垂直，，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（

）A． B． C． D．二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）9．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．当时，在上的投影向量为10．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（

）A．该组数据的极差为B．该组数据的70%分位数为C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差11．在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（

）A．四面体的体积与点，的位置无关B．异面直线与所成的角的取值范围为C．三角形的面积的最大值为D．若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．某学生最近五次考试的数学成绩分别为125，133，117，135，120，则该学生最近五次考试的数学成绩的平均分为______．13．已知复数z满足，则的最小值为_____．14．若对任意的，都有，则称是完美集合．从集合的所有非空子集中任选1个，该集合不是完美集合的概率是__________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设，复数．(1)若为纯虚数，求实数a的值；(2)若复数是关于x的方程的一个根，求的值．16．在直三棱柱中，，，，M为中点，．(1)证明：平面；(2)求四面体的体积．17．某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组:第一组[45，55)，第二组[55，65)，第三组[65，75)，第四组[75，85)，第五组[85，95]，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数及中位数(保留一位小数)；(2)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自不同组的概率.18．已知，，，函数的最小正周期为．(1)求函数的单调递减区间；(2)在锐角中，角、、所对的边分别是、、，且满足，，求周长的取值范围．19．给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度.(1)当时，写出满足的A的所有可能情况；(2)甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由：(3)证明：对于任意，的值一定为偶数.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页湖南省长沙市开福区2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷数学试题（解析版）题号12345678910答案ADCADBBDACDAD题号11答案ACD1．A【详解】∵，∴.2．D【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解.【详解】，，，则有，所以.3．C【分析】结合非零向量共线的充要条件，分别验证充分性和必要性是否成立即可得.【详解】充分性验证：若存在实数使得，且向量，都是非零向量，根据向量数乘的几何意义，与方向相同（）或相反（），符合平行向量的定义，因此，充分性成立.必要性验证：已知均为非零向量，若，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得，必要性成立.因此甲是乙的充要条件.4．A【分析】利用正弦定理将边的等式转化为角的三角函数关系，结合三角形内角的取值范围求解角；【详解】已知在中，，由正弦定理（为外接圆半径），可得，代入原式得：，得，因为为三角形内角，即，故，化简得，即，又为三角形内角，即，因此，5．D【分析】根据异面直线所成角的定义结合边长运算求解.【详解】如图，连接，因为平面，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以直线与所成角为（或其补角），因为，所以.6．B【分析】根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.【详解】不超过的质数有共8个，任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，从8个质数中任选2个不同的质数有种，所以，所求概率为.7．B【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积.【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为.

正四棱台的侧面积为，一个侧面积.，解得.在正四棱台中，，即，8．D【分析】，，两两垂直，，得到，平分，设，，，，的长度参数，根据三角函数关系或余弦定理分别求出，，的表达式，根据，，的正负性判断，，均为锐角，根据同名三角函数值大小，即可得到角度的大小关系.【详解】，，两两垂直，，，；，平面.为与平面所成的角，即.同理可证得平面.在和中，，得；，.在和中，，得；.连接，，与相交于点，则垂直平分.，，，，.令，，，.则在中，，..，，.，，，.平面，平面，.，即.在中，.在中，.，即.联立，得.由，得.，即..在中，.，即.，，均为锐角，则.，，；，；..9．ACD【分析】根据向量共线的坐标运算求解判断A；根据向量垂直的坐标运算求解判断B；根据数量积的坐标运算求解判断C；根据投影向量公式求解判断D.【详解】由，得，解得，A正确；由，得，解得，B错误；由，得，解得，所以，C正确；当时，，，所以在上的投影向量为，D正确．故选：ACD．10．AD【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可.【详解】该组数据的极差为，A正确；因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误；原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误；剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确．11．ACD【分析】A.体积为定值，与位置无关，A正确；B.极端法，取、，此时异面直线与所成的角是，B错误；C.取临界位置：，，此时三角形的面积取得最大值；D.取是线段的中点时，则四面体的外接球半径取得最小值.【详解】A.底面即底面，，面积固定，点在直线上，直线平面，因此到平面（底面）的距离恒为正方体高；，体积为定值，与位置无关，A正确；B.极端法，取、，将，，此时异面直线与所成的角是直线与所成的角，存在夹角小于，因此区间不成立，B错误；C.取临界位置：，，显然此时三角形为等边三角形，面积达到最大值，；的面积故三角形的面积的最大值是，C正确；D.设四面体的外接球的球心为，设在底面的投影为，显然是的外接圆圆心，设，，四面体的外接球的半径为，显然当是线段的中点时，即三角形是等腰三角形时，四面体的外接球的半径取得最小值，过作，由，得，得，在直角中，，即

（1），过点作，为靠近的四等分点，过点作，则，在直角中，，即

（2），（1）（2）两式相减得，此时，此时所以的最小值是，D正确.12．126【详解】该学生最近五次考试的数学成绩的平均分.13．2【分析】几何法思路：根据复数模的几何意义，对应复平面以为圆心、为半径的圆，表示圆上点到原点的距离，原点到圆心距离为，用圆心距减去半径即可得到最小值．代数法思路：设，将转化为圆的方程，把用含的代数式表示，结合的取值范围求出的最小值．【详解】方法一：几何法

复数在复平面内对应的点为，表示点在以为圆心、半径的圆上，表示点到原点的距离．圆心到原点的距离为，因为圆上点到原点的最小距离圆心到原点距离半径，即．方法二：代数法设，由得，即，所以，由圆的范围，得，当时，．14．【分析】首先确定非空子集的个数；根据“完美集合”的定义，可列举出所有“完美集合”，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】集合共有9个元素，则集合有个非空子集.根据“完美集合”的定义，若对任意的，都有.若中含有元素，由于无意义，不满足定义，故不是完美集合；若中含有元素，则要求，但不在原集合中，故不满足定义；同理，含有或的集合也不是完美集合，因此，完美集合只能是集合的非空子集，其中满足完美集合的有、、、、、、，共7个，所以集合的所有非空子集中不是完美集合的个数为个，所以非空子集中不是完美集合的概率是.15．(1)或．(2)1或-1【分析】（1）根据复数的乘法和虚数的概念进行求解即可.（2）将复数代入方程中得到关于的等式，然后可求得，进而求出结果.【详解】（1）由题意知，又为纯虚数，所以，解得或．（2）因为复数是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得，或，所以，或．16．(1)证明：在直三棱柱中，连接交于点O，连接，由为矩形，得O为中点，又M为中点，则，而平面平面，所以平面.(2)【分析】（1）连接交于点O，利用线面平行的判定定理推理得证.（2）求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解.【详解】（1）略（2）在平面内过点作于，由平面，得，而平面，则平面，在中，，，则，，由M为中点，得点到平面的距离，又，所以四面体的体积为.17．(1)，；平均数：；中位数约为.(2)【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，结合题设条件可得的值，根据频率分布直方图中平均数和中位数计算公式即可求解；（2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，则，解得，又因，解得.故候选者面试成绩的平均数为：；因前2组的频率之和为，前3组的频率之和为，故中位数在第3组，设为，依题意，，解得；（2）由图知，第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，从这5人中选出2人，所有情况有共10种，其中选出的两个来自不同组的情况有共4种，故选出的两个来自不同组的概率为.18．(1)，(2)【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的周期公式可求出的值，然后利用正弦型函数的单调性可求得函数的减区间；（2）由结合角的取值范围可得出角的值，由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，再利用正弦型函数的基本性质可求得周长的取值范围.【详解】（1）因为，，，则，故．因为的最小正周期为，所以，所以，故．由，，解得，，所以的单调递减区间为，．（2）由（1）知．又，则，所以，得．又为锐角三角形，所以，即，解得．由正弦定理可得，又，所以，所以，所以，故，所以周长的取值范围为．19．(1)、、；(2)不可能，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用列举的方法，一一验证，即可确定答案