湖南长沙市望城区第一中学2026届高三考前模拟考试（二）数学试卷

湖南长沙市望城区第一中学2026届高三考前模拟考试（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|y=lg(2−x)},N=x|A．(0,2) B．(0,3) C．(−∞,2) 2．已知复数z=1−1i，则A．2 B．−2 C．2i D．−2i3．设向量a，b满足a+b=15，A．1 B．2 C．3 D．54．若直线3x+4y+m=0与圆x−12A．21或−1 B．−21或1 C．5或−15 D．−5或155．已知函数fx=sinωx+π4ω>0A．-1 B．−12 C．16．已知数列an的前n项和为Sn,A．2n+1−2 B．a2n+1−2 7．定义在R上的函数fx满足：①对任意x∈R，都有f2+x=f1−f−x；②fA．fx+2是奇函数 B．fC．f−128．已知随机事件A，B，C发生的概率均为23，且A,B,CA．19 B．16 C．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9．若b>a>1，则（）A．12b>12a B．ab+1>a+b10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1A．甲从M到达N处的方法有15种B．甲从M必须经过A3C．甲、乙两人在A3处相遇的概率为D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为8111．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C:y2=2pxp>0绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、A．开口向上的抛物线的方程为y=B．ABC．直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长最大值为1D．阴影区域的面积大于4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知fx=x−2lnx，则曲线y=fx13．已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,3)14．如图1，已知球O的半径R=3．在球O的内接三棱锥D−ABC中．DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=2BC，BD=6．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面OBC与平面四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：思维任务类型信号同步性合计信号同步信号不同步逻辑推理4258100创造性想象2872100合计70130200（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．（2）根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？附：χ2α0.0500.0100.001x3.8416.63510.82816．在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB=1，（1）若AC1//平面A（2）若二面角B1−A1B−D17．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3sin（1）求A.（2）已知a=3.（i）若△ABC的面积为S△ABC（ii）若AB边上一点P满足BP=AC，点Q是AC的中点，求PQ的最小值.18．已知函数f(x)=1（1）若y=f(x)−ex在x=1处的切线方程为y=(2−e)x−1，求（2）当a=−4时，∀x1∈(0,6]，总存在x2∈[1,4]（3）当a=−4时，h(x)=f(x)+g(x)+16x19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1，F2，（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点B3,0的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（点M在点B，N（i）求S△OBM（ii）若Q为椭圆C上一点，且OQ=OM+

答案解析部分1．【答案】A【知识点】交集及其运算【解析】【解答】解：由y=lg(2−x)，

则满足2−x>0，

可得x<2，

所以由不等式x2−3x=x(x−3)<0，

解得0<x<3，

所以则M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故答案为：A.【分析】根据对数型函数的定义域得出集合M，再利用一元二次不等式求解方法得出集合N，再结合交集的运算法则，从而得出集合M∩N.2．【答案】C【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数【解析】【解答】解：因为z=1−1i=1+i，所以z=1−i，则z−z3．【答案】A【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：因为(所以a⋅故答案为：A.【分析】利用向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出a→4．【答案】D【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：因为圆x−12+y+2由题意，可得：3−8+m32+42=m−5故答案为：D.

【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切位置关系以及点到直线的距离公式得出实数m的值.5．【答案】D【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】【解答】解：由题意，显然fx由ω>0，可得ω=12，则12由0<φ<π，得φ=π所以fx则fφ=fπ2=sin12×6．【答案】A【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式【解析】【解答】解：由a1=a,a由an+2=2an，则an+3则a4+a3=2a2所以S2n故答案为：A.【分析】由题意结合递推公式变形，从而可得a1+a2=27．【答案】C【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值【解析】【解答】解：令x=−1，得f2−1=f1−f1=0，

则f1又∵f2x的图象关于直线x=1对称，

所以f2x=f22−x=f因为fx=f4−x=−f对于A，fx+2的图象是将fx的图象向左平移2个单位，

则fx+2的图象关于y轴对称，

对于B，fx+1的图象是将fx的图象向左平移1个单位，

则fx+1的图象关于原点对称，

对于C，由f2+x+f−x=0，

得f−12+f5∴f−对于D，依题意，

得f12=−22,f1=0,f3故答案为：C．

【分析】根据函数的图象的对称性和已知条件以及周期函数的定义，从而可得fx的图象关于点1,0对称和直线x=28．【答案】C【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：由A,B,C两两相互独立得到PAB设PABC则P=23×3−又考虑PA解得x∈29,1，综上得x∈【分析】由独立事件得定义可得PAB=PA9．【答案】B,C,D【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小【解析】【解答】解：对于A，由b>a>1且函数y=12x在R对于B，由b>a>1，则ab+1−a−b=a−1b−1>0对于C，由b>a>1，且函数y=logax在0,+对于D，由对勾函数的性质，可知函数y=x+1x在因为b>a>1，所以a+1故答案为：BCD.【分析】根据b>a>1和指数函数的单调性，则判断出选项A；根据作差比较大小的方法和不等式的基本性质，则判断出选项B；根据对数函数的单调性判断出选项C；根据对勾函数的单调性判断出选项D，从而找出正确的选项.10．【答案】A,C,D【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，需要走6步，2步向上，4步向右，共有C6对于B，第一步，甲从M到A3，有C第二步，从A3到N，有C31=3种走法，对于C，由选项B可知，甲、乙经过A3的走法都有9种，

所以在A3处相遇共有而甲、乙两人的总走法有C62C62=15×15=225种，对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，所以，相遇时走过的路程相等，

则两人只能在A3故答案为：ACD.

【分析】根据已知条件和组合数公式，则可判断选项A；根据分步乘法计数原理和组合数公式，则可判断选项B；根据选项B和分步乘法计数原理、组合数公式以及古典概率公式，则可判断选项C；利用选项C和已知条件，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.11．【答案】A,B,D【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为C:y因为顶点在原点，焦点为F1(1又因为焦点为F2(0,12)，则其方程为x对于B，根据选项A分析，由y2=2xx2=2y则xA=2，代入可得yA=2，由图象对称性，可得对于C，如图，设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N，由y=−x+ty2=2x，解得xM=t+1−2t+1y则M(t+1−2t+1所以，弦长为：|MN|=2由图知，直线x+y=t经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，则在第一象限部分满足0<t<4，不妨设u=2t+1，则1<u<3，且t=代入得：|MN|=2|u由函数的图象知，当u=2时，|MN|取得最大值为22对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，

则可先求18在抛物线y=12x2,(x≥0)上取一点P因为kOA=2−02−0=1，设切线为又因为lOA:x−y=0，所以，两直线的距离为则S△OPA=12×所以，原图中的阴影部分面积必大于8×1故答案为：ABD.

【分析】由开口向上的抛物线C:y2=2x关于直线y=x对称，从而得出开口向上的抛物线的方程，则判断出选项A；求出交点A、点B的坐标，利用两点距离公式得出AB的长，则判断出选项B；联立x+y=t与y2=2x得出两点M,N12．【答案】3x+2y−5=0【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：函数fx=x−2lnx，f'则y=fx在点1, f1处的切线方程为y−1=−32x−1，即3x+2y−5=0【分析】求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可.13．【答案】1【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式；平面向量的投影向量【解析】【解答】解：因为a在b方向上的数量投影为：a→又因为x∈0,π2，所以x−π6∈−【分析】利用数量积求数量投影的公式，再利用辅助角公式，从而将a在b方向上的数量投影转化为三角型函数，再利用x的取值范围以及正弦型函数性质求解.14．【答案】15【知识点】球内接多面体；二面角及二面角的平面角【解析】【解答】解：因为DB⊥平面ABC，AC,AB⊂平面ABC，所以DB⊥AC，DB⊥AB，因为AC⊥BC，又BD∩BC=B，所以AC⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AC⊥CD，易知在Rt△ACD和Rt△ADB中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，即AD为球O的直径，设BC=aa>0，因为AC⊥BC，AC=所以AB=3a，AC=2a，因为所以Rt△ADB中，AB=6=3以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C0,0,0，A0,2,0，B2,0,0，D2由题可知P0,1,0，Q22,0,0，则CO⃗=22,1,设平面OBC的一个法向量为m=则m⋅BC=−2x设平面GPQ的一个法向量为p=则p⋅PQ=22设平面OBC与平面GPQ的夹角为θ．因为cos=5令s=26t+1，则s∈1,13，t=可得26当且仅当s=3，即t=6此时cosθ=55×1+故答案为：155【分析】本题求解两个平面夹角余弦值的最大值，核心思路是通过建立空间直角坐标系，利用向量法来处理，先合理设定坐标系，确定相关点坐标，再求出两个平面的法向量，最后依据向量夹角公式结合最值求解方法（如基本不等式）得出结果.15．【答案】（1）解：逻辑推理任务中信号同步的频率42÷100=0.42，创造性想象任务中信号同步的频率28÷100=0.28，思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即0.42≠0.28；（2）解：零假设H0根据表中数据可得χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0因此可以认为H0【知识点】独立性检验的应用；用频率估计概率【解析】【分析】（1）根据列联表数据分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率判断即可；（2）先进行零假设，再计算χ2（1）逻辑推理任务中信号同步的频率42÷100=0.42，创造性想象任务中信号同步的频率28÷100=0.28，思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即0.42≠0.28；（2）零假设H0根据表中数据可得χ2根据小概率值α=0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0因此可以认为H016．【答案】（1）解：连接AB1交A1B于点∵AC1//平面A1BD，AC1∴DE//AC又∵E是AB1的中点，故D是B1C（2）解：因为二面角B1−A所以二面角B1−A法一：几何法过点B1在平面AA1B1B内作BF⊥A∵B1C1⊥A1B1，B∴B1C∵BA1⊂平面AB又∵B1F⊥BA1，B1F∩B1C1又∵DF、C1F⊂平面B1FC∴二面角B1−A1B−D和二面角B分别记作2θ和θ，则θ为锐角，且tanθ>0因为A1B1=AB=1，BB所以B1F=A即2tanθ1−tan2又tanθ=DB1B1法二：空间向量法在直三棱柱ABC−A1B1C1中，以B为原点，BA、BB1、BC分别为x、y、则B0,0,0、B10,3,0、A则BA1=1,3易知平面A1BB设平面A1BD与平面A1BC设二面角B1−A1B−D与二面角B1−则m⋅BA1=n⋅BA1则cosα=cosm,由cosβ=cos2α=2cos2α−1，即13=2【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题【解析】【分析】本题围绕直三棱柱的线面平行与二面角问题展开：（1）利用线面平行的性质，构造辅助线找到线线平行关系，结合棱柱的特征（侧面是平行四边形）及中位线性质，建立λ与线段比例的联系求解。（2）提供几何法与空间向量法两种思路，解法一：几何法通过作垂线找到二面角的平面角，利用二倍角关系结合三角函数求解；

解法二：空间向量法通过建系，用向量表示相关点与平面法向量，依据二面角的向量公式及二倍角余弦关系列方程求解.（1）连接AB1交A1B于点∵AC1//平面A1BD，AC1∴DE//AC又∵E是AB1的中点，故D是B1（2）因为二面角B1−A所以二面角B1−A法一：几何法过点B1在平面AA1B1B内作BF⊥A∵B1C1⊥A1B1，B∴B1C∵BA1⊂平面AB又∵B1F⊥BA1，B1F∩B1C1又∵DF、C1F⊂平面B1FC∴二面角B1−A1B−D和二面角B分别记作2θ和θ，则θ为锐角，且tanθ>0因为A1B1=AB=1，BB所以B1F=A即2tanθ1−tan2又tanθ=DB1B1法二：空间向量法在直三棱柱ABC−A1B1C1中，以B为原点，BA、BB1、BC分别为x、y、则B0,0,0、B10,3,0、A则BA1=1,3易知平面A1BB设平面A1BD与平面A1BC设二面角B1−A1B−D与二面角B1−则m⋅BA1=n⋅BA1则cosα=cosm,由cosβ=cos2α=2cos2α−1，即17．【答案】（1）解：由3sinA+cosA=2，可得：因为0<A<π，所以π6<A+π6<7π6（2）解：（i）根据三角形面积公式，可得12bcsinπ3=9再根据余弦定理，可得32=b2+由bc=9，可得b=9c，

代入b2+c2=18解得c2=9，则（ii）因为a=3，且A=π3，点Q是在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2如图，在△APQ中，设BP=AC=b，

则AQ=12AC=b2令t=cb>1，则c=tb代入b2+c2−bc=9，

得设f(t)=9t2−52t+741+t当1<t<1+32时，f'(t)<0当t>1+32时，f'(t)>0则当t=1+32时，f(t)min所以PQ的最小值为33【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简已知等式，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角A的值.（2）（i）利用已知条件和三角形面积公式，从而求出bc的值，再由余弦定理得出b2+c2的值，解方程得出c的值.

（ii）在△APQ中，利用余弦定理结合b2+c（1）由3sinA+cosA=2，可得：因为0<A<π，所以π6<A+π6<（2）（i）根据三角形面积公式，可得12bcsinπ3再根据余弦定理，可得32=b由bc=9可得b=9c，代入b2+c解得c2=9，则（ii）a=3，且A=π3，点Q是在△ABC中，由余弦定理a2=b即b2如图，在△APQ中，设BP=AC=b，则AQ=12AC=b2令t=cb>1，则c=tb代入b解得b2=9设f(t)=9t2则f'(t)=272t当1<t<1+32时，f'(t)<0当t>1+32时，f'(t)>0故当t=1+32时，f故PQ的最小值为3318．【答案】（1）解：由函数f(x)=12x2+ax−2b则y'=x+a−ex，因为y=f(x)−ex在x=1处的切线方程为可得1+a−e=2−e，

解得a=1，将x=1代入切线方程y=(2−e)x−1，

可得y=1−e，则12+1−2b−e=1−e，

解得b=14，​​​​​​​（2）解：当a=−4时，f(x)=1因为函数fx的图像象开口向上，对称轴为x=4所以f(x)又因为g(x)=3lnx−16x当1≤x<3时，g'(x)>0，当3<x≤4时，g'(x)<0，因为g(1)=b−16,g(4)=3ln4−所以g(x)min=g(1)=b−16，

则b−所以b的取值范围为−∞​​​​​​​（3）解：当a=−4时，可得h(x)=1因为hx=0有三个不同零点，

所以则y=b与φ(x)=1设φx=12x当0<x<1时，φ'(x)>0，当1<x<3时，φ'(x)<0，当x>3时，φ'(x)>0，由φ(1)=−72,φ(3)=3ln3−152，

且当x→0因为y=b与φ(x)=12x2−4x+3则实数b的取值范围为3ln【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系【解析】【分析】（1）先根据函数f(x)的解析式得出函数y=f(x)−ex的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式得出函数y=f(x)−e（2）当a=−4时，f(x)=12x2−4x−2b，利用二次函数的单调性和开口方向，从而得出f（3）先利用a的值和函数f(x)、函数g(x)的解析式得出函数h(x)的解析式，再利用函数的零点与方程的根的等价关系和已知条件，从而转化为b=12x2−4x+3lnx有三个不相等实根，设φx=（1）由函数f(x)=12x则y'=x+a−e因为y=f(x)−ex在x=1处的切线方程为可得1+a−e=2−e，解得a=1，将x=1代入切线方程y=(2−e)x−1，可得y=1−e，即12+1−2b−e=1−e，解得b=1（2）当a=−4时，f(x)=1因为函数fx的图像象开口向上，对称轴为x=4所以f(x)又因为g(x)=3lnx−1当1≤x<3时，g'(x)>0，当3<x≤4时，g'(x)<0，因为g(1)=b−16,g(4)=3所以g(x)min=g(1)=b−16所以b的取值范围为−∞（3）当a=−4时，可得h(x)=1因为hx=0有三个不同零点，所以即y=b与φ(x)=1设φx=1当0<x<1时，φ'(x)>0，当1<x<3时，φ'(x)<0，当x>3时，φ'(x)>0，又由φ(1)=−72,φ(3)=3ln3−152，且x→0因为y=b与φ(x)=12x所以实数b的取值范围为3ln19．【答案】（1）解：设P(x0,y0)，则−b≤y0≤b，

∵S当y0取最大值时，S∵−b≤y0≤b，

∴y0=±b时，

则∴S△F1PF2的最大面积为所以cb=3，此时∠F1PF∵F1P=a,F又∵a2=b2