液体运动的流场理论课件

液体运动的流场理论

12.1流速、加速度

描述液体的运动有两种方法：拉格朗日法和欧拉法。在水力学中应用广泛的是欧拉法。

一般情况下同一时刻不同空间点(x,y,z)上液体的运动要素是不同的，即使在同一空间点上运动要素也是随时间t而变化的。所以各种运动要素是空间位置(x,y,z)和时间t的连续函数。

在时刻t，某一液体质点通过渐变段上的A点，经过时间dt该液体质点运动到新的位置。在时刻t，A点流速为，点的流速为。在时刻t+dt，A点的流速变为，而点的流速则变为

因此该液体质点通过A点时的加速度应为

式中第一项叫做时变加速度，第二项叫做位变速度。

恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。

由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应为时变加速度和位变加速度之和。这种概念同样适用于液体的密度与压强。，流场中液体质点通过任一空间点时所有运动要素都不随时间而改变叫恒定流。如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。12.2流线、迹线及其微分方程

拉格朗日法研究液体中各个质点在不同时刻运动的变化情况；欧拉法则是在同一时刻研究不同质点的运动情况。前者引出了迹线的概念，后者建立了流线的概念。

在右图流线AB上取微分

段ds，其方向余弦为

即可得流线方程某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。根据定义有由此得到迹线微分方程式恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式表示12.3液体质点运动的基本形式

在液体中取一个微分平行六面体，各边长dx,dy,dz取一角点P（x，y，z），令该点在各坐标轴上的分速度为ux，uy，uz。由泰勒级数，Q角点速度为沿x方向

沿y方向沿z方向同理可写出微分平行六面体每个角点的分速度。

平行六面体的整个变化过程可看作是由下列几种基本运动形式所组成。1、位置平移。2、线变形。3、边线偏转：(1)角变形；(2)旋转运动。2、线变形

3、边线偏转同理（1）角变形（2）旋转运动12.4无涡流与有涡流

无涡流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，也就应满足下列条件：

流场中所有液体质点的旋转角速度都等于零，即无涡流，则必有流速势函数存在，所以无涡流又称为势流。有涡流可用旋转角速度的矢量来表征，引用所谓涡线、涡束等概念。涡线是某一瞬时在涡流场的一条几何曲线，在这条曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度的矢量都与该曲线相切。涡线的作法与流线相似。

与流束相类似，任意取一微小面积，通过该面积各点作出一束涡线，称为微小涡束。类似于流量，若微小的涡束的横断面积为，旋转角速度为，则称为微小涡束的涡旋通量，或称为涡旋强度。称为沿封闭周线C的速度环量。

速度环量可写成：若液体的运动是无涡的，必有流速势函数存在当流速势为单值时，沿无涡流空间画出的任意封闭周线的速度环量都等于零。12.5液体运动的连续性方程式现设想在流场中取一空间微分平行六面体取如图所示。经一微小时段dt自左面流入的液体质量为：自右面流出的液体质量为dt时段内流进与流出六面体的液体质量之差：

故在dt时间内流进与流出六面体总的液体质量的变化为故经过dt时段后六面体内质量总变化为在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。可压缩液体非恒定流的连续性方程式。对不可压缩液体，常数，因此得连续性方程式为或写作divu＝0，式中divu叫速度散量。12.6理想液体运动微分方程式及其积分12.6.1理想液体动水压强的特性第一，理想液体的动水压强总是沿着作用面的内法线方向。第二，在理想液流中，任何点的动水压强在各方向上的大小均相等。12.6.2理想液体运动微分方程式－欧拉方程式液体平衡微分方程式是表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的关系式。在理想液体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。左表面动水压力右表面动水压力

假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为故所有作用于六面体上的力在x轴上的投影的代数和应等于六面体的质量与加速度在x方向的投影之积。有：化简之得同理

对静止液体，

上式即为静水力学欧拉平衡方程式。12.7实际液体运动时所产生的内应力

实际液体具有粘滞性，有相对运动的各层液体之间将产生切应力。1、切应力的性质和大小牛顿内摩擦定律可写成下列形式

因此由此可得最后可综合写成2、动水压强的性质和大小

在运动的理想液体中，任意点的动水压强各方向都是相等的，那么在实际液体中任意点的动水压强的性质是否也一样呢？，即在实际液流中任一点的动水压强各方向是不相等的。所以在实用上均采用任意三个正交方向的动水压强的平均值来表示此平均动水压强是与方向无关的。将以上三式相加，整理后可得

对于不可压缩液体，连续性方程式为，代入上式得由此可知，常数p为在同一点上沿三个正交方向的动水压强的平均值。而式中理想液体时，故在同一点上各方向的动水压强是相等的。12.8实际液体运动微分方程式根据牛顿第二定律写出x方向动力平衡方程式

化简之得1、纳维－斯托克斯（Navier-Stokes）方程对于不可压缩液体来说，，故上式括符内可以写成拉普拉斯算式，故上式可写成或

上两式就是适用于不可压缩粘滞性液体的运动微分方程式，一般通称之为纳维－斯托克斯方程式。如果液体没有粘滞性（即理想液体）则，于是纳维－斯托克斯方程式就变成理想液体的欧拉运动方程式。如果没有运动，则均等于零，于是纳维－斯托克斯方程式就变成静水力学欧拉平衡方程式。所以纳维－斯托克斯方程式是不可压缩液体的普遍方程式。

例12.5

试用纳维－斯托克斯方程式求直圆管层流运动的流速及流量表达式（见图）

解：层流运动时，液体质点只有沿轴向的流动而无横向运动，若取圆管中心轴为x

轴，则。现取纳维－斯托克斯方程组中第一式来看恒定流时，。质量力只有重力时，因，所以。由连续方程式，可知。

由此可得，。将以上各值代入纳维－斯托克斯方程组第一式，可简化为因，所以并不沿x方向而变化，由上式可知与x无关，即动水压强沿x轴方向的变化率是一个常数，可写成

式中为沿x

方向长度为L的管段上的压强降落。由于压强是沿水流方向下降的，所以应在前加一负号。因为圆管中的液流是轴对称的，相同，而且y与z

都是沿半径方向的，故变数y，z可换成变数r。而与x

无关，仅为

r

的函数，所以对

r

的偏导数可以直接写成全导数。或将上式积分利用轴心