2026版《金版教程》高考一轮复习数学第一章 考点测试3 不等式及其性质

高考总复习首选用卷数学考点测试3不等式及其性质基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号12345678910111213难度★★★★★★★★★★★★★★对点不等式的性质不等式的性质不等式的性质作差法比较大小由不等式的性质求取值范围作差法比较大小不等式的性质比较大小作差法比较大小由不等式的性质求最值作差法比较大小不等式的性质由不等式的性质求取值范围题号141516171819202122232425难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★对点由不等式的性质求取值范围不等式的实际应用不等式的性质比较大小由不等式的性质求取值范围不等式的性质不等式的综合应用由不等式的性质求取值范围由不等式的性质求最值不等式的新定义问题由不等式的性质求最值作差法比较大小高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，中、低等难度考点研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景3．掌握不等式的性质及应用1．下列说法正确的是()A．若ac＜bc，则a＜bB．若a＞b，c＜0，则ac＜bcC．若a2＜b2，则a＜bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＞b答案：B解析：对于A，当c＜0时，若ac＜bc，则a＞b，故A错误；对于B，若a＞b，c＜0，则ac＜bc，故B正确；对于C，当a＝2，b＝－3时，满足a2＜b2，但是a＞b，故C错误；对于D，若eq\r(a)＜eq\r(b)，则0≤a＜b，故D错误．故选B.2．已知实数x，y，z满足x＞y，xy≠0，z＞0，则下列不等式恒成立的是()A.eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＞0 B.eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＜0C．x2z－y2z＞0 D．xz＞yz答案：D解析：令x＝2，y＝1，z＝1，则eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＝－eq\f(1,2)＜0，所以A错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则eq\f(z,x)－eq\f(z,y)＝2＞0，所以B错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3＜0，所以C错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由x＞y，z＞0得xz－yz＞0，即xz＞yz，所以D正确．故选D.3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－mB．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<nD．m<－n<n<－m答案：D解析：解法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2，分别代入各选项检验，可知D正确．解法二：m＋n<0⇒m<－n，n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．故选D.4．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B答案：B解析：由题意，得B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B.5．(2025·江苏南通海安高级中学高三模拟)若变量x，y满足约束条件3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z＝x＋2y的最小值为()A．－7 B．－6C．－5 D．－4答案：B解析：设z＝x＋2y＝m(2x＋y)＋n(x－y)，故2m＋n＝1且m－n＝2，所以m＝1，n＝－1，故z＝x＋2y＝(2x＋y)－(x－y)，由于3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，所以3＋(－9)≤2x＋y－(x－y)≤9＋(－6)，即－6≤x＋2y≤3，故z＝x＋2y的最小值为－6，此时x＝4，y＝－5.故选B.6．(2024·湖南长沙周南中学高三模拟)设互不相等的三个实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a答案：D解析：由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得b＝1＋a2，于是b－a＝1－a＋a2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，即b>a，而c－b＝(2－a)2≥0，且三个实数a，b，c互不相等，因此c>b，所以a，b，c的大小关系是c>b>a.故选D.7．已知eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，则下列不等式中错误的是()A．|b|>|a| B．ac>bcC.eq\f(a－b,c)>0 D．lneq\f(a,b)>0答案：D解析：eq\f(c3,a)<eq\f(c3,b)<0，当c<0时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)>0，即b>a>0，∴|b|>|a|，ac>bc，eq\f(a－b,c)>0，此时0<eq\f(a,b)<1，∴lneq\f(a,b)<0.同理，当c>0时，D错误．故选D.8．(2024·北京西城一模)设a＝t－eq\f(1,t)，b＝t＋eq\f(1,t)，c＝t(2＋t)，其中－1<t<0，则()A．b<a<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a答案：C解析：由－1<t<0，得eq\f(1,t)<－1，故a＝t－eq\f(1,t)>0，由对勾函数的性质，可得b＝t＋eq\f(1,t)<－(1＋1)＝－2，由二次函数的性质，可得－1<c＝t(2＋t)<0.综上所述，有b<c<a.故选C.9．(2024·浙江金华第一中学领军班6月模拟)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a>b>c，则()A．N<P B．P<MC．N<M D．M＋N<2P答案：B解析：根据题意，得M＝eq\f(a＋b＋c,3)，N＝eq\f(a＋b,2)，P＝eq\f(N＋c,2)＝eq\f(\f(a＋b,2)＋c,2)＝eq\f(a＋b＋2c,4).对于A，N－P＝eq\f(a＋b,2)－eq\f(a＋b＋2c,4)＝eq\f(a＋b－2c,4)，∵a>b>c，∴a－c>0，b－c>0，∴a＋b－2c>0，∴N－P＝eq\f(a＋b－2c,4)>0，∴N>P，故A错误；对于B，M－P＝eq\f(a＋b＋c,3)－eq\f(a＋b＋2c,4)＝eq\f(a＋b－2c,12)>0，∴M>P，故B正确；对于C，M－N＝eq\f(a＋b＋c,3)－eq\f(a＋b,2)＝－eq\f(a＋b－2c,6)<0，∴M<N，故C错误；对于D，∵M>P，N>P，∴M＋N>2P，故D错误．故选B.10．(2024·江苏南通海安高级中学、宿迁中学高三模拟)设实数a，b，c满足a2＋b2≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为()A.eq\f(\r(2),2)－1 B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D．－1答案：B解析：由a2＋b2≤c≤1，得a＋b＋c≥a＋b＋a2＋b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)≥－eq\f(1,2)，当a＝b＝－eq\f(1,2)时取等号，所以a＋b＋c的最小值为－eq\f(1,2).故选B.11．(多选)若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是()A.eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)答案：AD解析：a＞b＞0，则eq\f(b,a)－eq\f(b＋1,a＋1)＝eq\f(b（a＋1）－a（b＋1）,a（a＋1）)＝eq\f(b－a,a（a＋1）)＜0，故eq\f(b,a)＞eq\f(b＋1,a＋1)一定不成立；a＋eq\f(1,a)－b－eq\f(1,b)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,ab)))，当ab＞1时，a＋eq\f(1,a)－b－eq\f(1,b)＞0，故a＋eq\f(1,a)＞b＋eq\f(1,b)可能成立；a＋eq\f(1,b)－b－eq\f(1,a)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))＞0，故a＋eq\f(1,b)＞b＋eq\f(1,a)恒成立；eq\f(2a＋b,a＋2b)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,b（a＋2b）)＜0，故eq\f(2a＋b,a＋2b)＞eq\f(a,b)一定不成立．故选AD.12．(多选)(2025·吉林白城高三阶段考试)若实数x，y满足|x|>y>0，则()A．x－y<y2 B．x2024>y2024C.eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)>2 D.eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)答案：BD解析：当x＝3，y＝1时，x－y>y2，故A错误；因为|x|>y>0，所以|x|>|y|，所以x2024>y2024，故B正确；当x<0时，因为y>0，所以eq\f(x,y)与eq\f(y,x)都是负数，所以eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)<0，故C错误；因为eq\f(1,x)－eq\f(1,x－y)＝eq\f(－y,x（x－y）)＝eq\f(y,x（y－x）)，当x>0时，由|x|>y>0，得x>y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0；当x<0时，由|x|>y>0，得x<y，两边同乘x，得x2>xy，即x(y－x)<0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,x－y)，故D正确．故选BD.13．已知－1＜a＜3且2＜b＜4，则2a－b的取值范围是________．答案：(－6，4)解析：因为－1＜a＜3且2＜b＜4，所以－2＜2a＜6，－4＜－b＜－2，所以－6＜2a－b＜4，即2a－b的取值范围是(－6，4)．14．(2024·河北石家庄二模)若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x－y＋z＝5，则M＝4x＋3y＋5z的取值范围是________．答案：[15，19]解析：因为x＋y＝4－z，2x－y＝5－z，故x＝3－eq\f(2z,3)，y＝1－eq\f(z,3)，由x，y，z≥0，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)≥0，,1－\f(z,3)≥0，,z≥0，))解得0≤z≤3，故M＝4x＋3y＋5z＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2z,3)))＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(z,3)))＋5z＝eq\f(4z,3)＋15∈[15，19]．15．(2024·浙江杭州高三期末)小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则()A．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D．两次购买葡萄的平均价格无法比较答案：A解析：设两次葡萄的单价分别为a元/千克和b元/千克，且a≠b，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为eq\f(3（a＋b）,6)＝eq\f(a＋b,2)元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为eq\f(100,\f(50,a)＋\f(50,b))＝eq\f(2ab,a＋b)元/千克．因为eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(（a＋b）2－4ab,2（a＋b）)＝eq\f(（a－b）2,2（a＋b）)>0，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选A.16．(2024·四川成都模拟)已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ln(a＋1)>ln(b＋1)C．a3>b3>0 D.eq\r(a－1)>eq\r(b－1)答案：B解析：对于A，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，不能推出a>b>0，如eq\f(1,－3)>eq\f(1,－2)，反之a>b>0，则有eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b)是a>b>0的既不充分也不必要条件，故A不符合题意；对于B，由ln(a＋1)>ln(b＋1)，得a＋1>b＋1>0，即a>b>－1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>－1，因此ln(a＋1)>ln(b＋1)是a>b>0的必要不充分条件，故B符合题意；对于C，a3>b3>0⇔a>b>0，a3>b3>0是a>b>0的充要条件，故C不符合题意；对于D，由eq\r(a－1)>eq\r(b－1)，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1，因此eq\r(a－1)>eq\r(b－1)是a>b>0的充分不必要条件，故D不符合题意．故选B.17．(2025·安徽芜湖阶段练习)若正实数a，b，c满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)c<a＋b<\f(4,3)c，,a<b＋c<\f(7,6)a，,2b<c＋a<\f(11,4)b，))则a，b，c的大小关系为()A．b<a<c B．b<c<aC．c<b<a D．c<a<b答案：B解析：因为正实数a，b，c满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)c<a＋b<\f(4,3)c，,a<b＋c<\f(7,6)a，,2b<c＋a<\f(11,4)b，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(11,5)<\f(a＋b＋c,c)<\f(7,3)，,2<\f(a＋b＋c,a)<\f(13,6)，,3<\f(a＋b＋c,b)<\f(15,4)，))所以eq\f(a＋b＋c,b)>3>eq\f(7,3)>eq\f(a＋b＋c,c)>eq\f(11,5)>eq\f(13,6)>eq\f(a＋b＋c,a)，所以b<c<a.故选B.18．(2024·安徽滁州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(a,b＋c)＝eq\f(c－b,b)，则eq\f(a＋b＋c,b)的取值范围为()A．(1，6) B．(4，6)C．(2，6) D．(2，7)答案：C解析：由eq\f(a,b＋c)＝eq\f(c－b,b)，得a＝eq\f(c2－b2,b)，c>b，在△ABC中，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b>c，,b＋c>a，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c2－b2,b)＋b>c，,b＋c>\f(c2－b2,b)，))于是b<c<2b，即1<eq\f(c,b)<2，因此eq\f(a＋b＋c,b)＝eq\f(\f(c2－b2,b)＋b＋c,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)))eq\s\up12(2)＋eq\f(c,b)∈(2，6)，所以eq\f(a＋b＋c,b)的取值范围为(2，6)．故选C.19．(多选)(2024·山东济南高三模拟)已知非零实数a，b满足|a|>|b|＋1，则下列不等关系一定成立的是()A．a>b＋1 B．lna2>ln(b2＋1)C．a2>4b D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))>1答案：BCD解析：对于A，|－5|>|2|＋1，而－5<2＋1，故A错误；对于B，∵|a|>|b|＋1，∴|a|2>(|b|＋1)2，即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，∴a2>b2＋1>0，又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，∴lna2>ln(b2＋1)，故B正确；对于C，由B项分析得，a2>b2＋2|b|＋1，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b，∵|b|≥b，∴a2－4b>b2＋2|b|＋1－4b≥b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴a2>4b，故C正确；对于D，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＝eq\f(|a|,|b|)>eq\f(|b|＋1,|b|)＝1＋eq\f(1,|b|)>1，故D正确．故选BCD.20．(多选)(2025·湖北武汉高三期末)已知a<b<c(a，b，c∈R)，且a＋2b＋3c＝0，则()A．a<0<c B．∃a，c，a2－25c2＝0C．a＋c可能大于0 D.eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)答案：AD解析：对于A，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得6a＝a＋2a＋3a<a＋2b＋3c＝0，所以a<0，又0＝a＋2b＋3c<c＋2c＋3c＝6c，所以c>0，故A正确；对于B，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得a＋2c＋3c>0，所以a＋5c>0，得c>－eq\f(a,5)>0，所以c2>eq\f(a2,25)，得a2－25c2<0，故B错误；对于C，由a<b<c及a＋2b＋3c＝0，得3a＋3c<a＋2b＋3c＝0，所以a＋c<0，故C错误；对于D，由a＋2b＋3c＝0，得a＋c＝－2(b＋c)，所以eq\f(b＋2c,a＋c)＝eq\f(b＋c＋c,a＋c)＝eq\f(b＋c,a＋c)＋eq\f(c,a＋c)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(c,a＋c).因为a＋c<0，c>0，所以eq\f(c,a＋c)<0，所以eq\f(b＋2c,a＋c)<－eq\f(1,2)，故D正确．故选AD.21．已知f(x)＝ax2＋bx，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围为________．答案：[5，10]解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1，))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.22．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使eq\f(8,15)<eq\f(n,n＋k)<eq\f(7,13)成立．这样的n的最大值是________．答案：112解析：由eq\f(8,15)<eq\f(n,n＋k)<eq\f(7,13)，得eq\f(13,7)<1＋eq\f(k,n)<eq\f(15,8)，即eq\f(6,7)n<k<eq\f(7,8)n.又由整数k的唯一性知，eq\f(7,8)n－eq\f(6,7)n≤2，解得n≤112，而当n＝112时，eq\f(6,7)n＝96，eq\f(7,8)n＝98，满足eq\f(6,7)n<k<eq\f(7,8)n的整数k只有97，所以n的最大值为112.23．(2025·江西宜春开学考试)设m，n∈R，定义运算“Δ”和“”如下：mΔn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m，m≤n，,n，m>n，))mn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n，m≤n，,m，m>n，))若正数m，n，p，q满足mn≥4，p＋q≤4，则()A.mΔn≥2，pΔq≤2B.mn≥2，pq≤2C.mΔn≥2，pq≤2D.mn≥2，pΔq≤2答案：D解析：对于A，C，不妨取m＝1，n＝5，则mΔn＝1，A，C错误；对于B，取p＝1，q＝3，则pq＝3，B错误；对于D，假设m<2且n<2，则mn<4(矛盾)，故m，n至少有一个大于等于2，所以mn≥2.假设p>2且q>2，则p＋q>4(矛盾)，故p，q至少有一个小于等于2，故pΔq≤2，D正确.故选D.24．(2024·河北邯郸三模)记min{x，y，z}表示x，y，z中最小的数．设a>0，b>0，则mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))的最大值为________．答案：2解析：若a≤eq\f(1,b)，则ab≤1，此时mineq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,b)，\f(1,a)＋3b))＝mineq\b\lc\{\rc