人教版九年级下册“相似三角形”模型归纳课教案

人教版九年级下册“相似三角形”模型归纳课教案——A字型、8字型、母子型专题适用学段与学科：九年级数学

文档类型：专题复习教案/几何模型归纳课

教材版本：人教版（人民教育出版社）九年级下册第二十七章

核心亮点承诺：

这节课不是把相似三角形的判定定理重讲一遍，而是用三个基本模型——A字型、8字型、母子型——帮学生在脑子里建一张“相似模型地图”。你会看到我是怎么用一张“模型全家福”把课本上分散的习题串起来的，每个模型都配了标准图形、变式图形、判定路径和一道中考真题。教案里附了可直接复印的《三大模型速查卡》、《模型识别闯关单》（10道识图题）和五道配套练习（从基础到压轴逐级递进）。如果你正在准备“相似三角形”的复习课或者公开课，这份教案能帮学生从“看到相似题就懵”变成“一眼认出模型，三步写出比例”。使用说明与痛点解决这份材料最适合谁？

正在教或即将复习人教版九年级下册“相似三角形”的数学老师。如果你的学生已经学完了相似三角形的判定和性质，但一碰到综合题就不知道该证哪对三角形相似、比例式不知道怎么列，这份教案能帮他们打通“从模型到思路”的最后一公里。用来解决什么问题？

相似三角形学完之后，学生最大的痛苦是：定理背得滚瓜烂熟，但图一复杂就找不到相似三角形。根本原因在于，他们没有把零散的习题归纳成“模型”，没有建立起“看到什么图形结构，就想到哪种相似模型”的直觉。这节课用三个核心模型把最常见的相似图形一网打尽，让学生练出“模型之眼”。怎么用效果最好？

建议用两节课连上（或一节60分钟的大课）。第一段用20分钟快速过三个模型的基本图形和判定思路；第二段用25分钟做模型识别闯关和配套练习；最后15分钟做中考真题实战和课堂小结。如果课时实在紧张，可以把“模型识别闯关单”布置为课前预习，课堂直接进入练习讲评。本资料为经验分享，请根据本校、本班实际情况调整使用。正文一、教学设计总纲课题：相似三角形模型归纳——A字型、8字型、母子型

课型：专题复习课/模型归纳课

教材位置：人教版九年级下册第二十七章“相似”复习与提升教学目标：学完这节课，学生应该能够——准确识别A字型、8字型、母子型三种基本相似模型的标准图形和常见变式，说出每种模型的图形特征和判定依据。能根据模型中“对应顶点→对应边→比例式”的路径，快速写出正确的比例关系，并利用比例式求线段长度或证明线段关系。能在较复杂的图形中分离出基本模型（“抠图”），通过证明一次相似解决求线段比、证明等积式等问题。教学重点：三种模型的图形识别、判定路径及比例式的规范书写。教学难点：复杂图形中基本模型的分离与构造（“一线三等角”背景下的相似模型识别）；母子型中比例中项（射影定理）的灵活运用。教学准备：

教师：多媒体课件（含三种模型的静态图形和动态演示，展示A字型中平行线的移动、8字型中交叉点的旋转等）、导学案（含《三大模型速查卡》和配套练习）、彩色磁贴（用于黑板上的图形拼组）。

学生：三角板、铅笔、红色和蓝色水笔各一支（用于在图形中标记对应顶点）。二、教学过程环节一：温故知新——相似判定的“三把钥匙”（约5分钟）上课先不急着展示模型，而是用一分钟提问：“证明两个三角形相似，有哪几种方法？”学生齐答：两角对应相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）。我一边在黑板上写下AA、SAS、SSS，一边追问：“直角三角形相似还有哪个特殊的判定方法？”学生答：HL（斜边和直角边对应成比例）。紧接着我抛出一个关键问题：“在这四种判定方法里，哪一种在相似模型里用得最多？”这个问题很重要。学生想了一下，大多数会说“AA”。我说：“对，相似三角形的判定和全等三角形不一样。全等三角形里，SAS、ASA用得多；但在相似模型里，AA是绝对的‘主力’。为什么？因为在复杂的图形里，找到两对角相等比找到成比例的边容易得多。A字型、8字型、母子型——这三个核心模型，几乎全是用AA来判定的。”这个开场不超过五分钟，但作用很大：让学生带着“AA优先”的意识进入后面的模型学习。环节二：模型一——A字型（约8分钟）我在黑板上画出一个标准的A字型。作图步骤：

画△ABC。在AB边上取一点D，在AC边上取一点E，连结DE。条件是DE∥BC。“同学们，这个图形长得像不像字母A？”我在图旁边写一个大大的“A”。“因为DE平行于BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C。AA条件立刻就有了，△ADE∽△ABC。这就是最基本的A字型。”板书比例式：A然后我把DE这条线往上平移一点（画在AB和AC的延长线上），问：“如果DE不在三角形里面，而是跑到外面去了呢？”学生观察后发现：△ADE仍然和△ABC相似，比例式也不变。这就是A字型的第一个变式——外A型。接着我又画一个图：DE不平行于BC，但∠ADE=∠B（或∠AED=∠C）。问：“这时候DE和BC不平行了，但这两个角相等，相似还成立吗？”学生稍作思考，很快能回答：成立！因为加上公共角∠A，还是AA。这就是A字型的第二个变式——斜A型（也叫反A型）。这个变式很隐蔽，常出现在中考的综合题里，很多学生因为没看到“平行”这个条件就不敢判定相似，其实只要有一对角相等加上公共角，AA条件就满足了。最后我在黑板上用框图总结A字型：正A型：DE∥BC→△ADE∽△ABC外A型：DE在AB、AC的延长线上，且DE∥BC→△ADE∽△ABC斜A型：DE不平行于BC，但∠ADE=∠B或∠AED=∠C→△ADE∽△ABC（AA：一对相等角+公共角）环节三：模型二——8字型（约8分钟）我在黑板上画一个8字型。作图步骤：

画两条线段AD和BC相交于点O。条件是AB∥CD。“这个图形像什么？”学生说像8字，像蝴蝶结。“AB平行于CD，能得到什么角相等？”学生答：∠A=∠D（内错角），∠B=∠C（内错角）。AA条件满足，△AOB∽△DOC。板书比例式：A然后我把AB和CD画成不平行的，但加上条件∠A=∠D（或∠B=∠C）。问：“这时候平行没了，相似还成立吗？”学生思考后回答：还成立，因为∠A=∠D，再加上对顶角∠AOB=∠DOC，AA条件就齐了。这就是8字型的变式——反8型。这个变式在中考里经常出现，而且往往和平行线分线段成比例定理结合起来考。我跟学生强调：“8字型不一定要有平行。只要有一对角相等，加上对顶角，AA就成立。没有平行线的时候，更要警觉——是不是一个反8型藏在图里。”黑板上继续补充：正8型：AB∥CD→△AOB∽△DOC反8型：AB不平行于CD，但∠A=∠D或∠B=∠C→△AOB∽△DOC（AA：一对等角+对顶角）环节四：模型三——母子型（约10分钟）母子型是三个模型中最难的一个，也是中考压轴题的最爱。我先画一个直角三角形，斜边上的高。作图步骤：

画Rt△ABC，∠ACB=90°。作CD⊥AB于D。“这个图里，有几个三角形？”学生数出三个：△ABC、△ACD、△BCD。我在图上用彩色粉笔把这三个三角形分别圈出来：大三角形△ABC（母亲），小三角形△ACD和△BCD（两个孩子）。这就是“母子型”名字的由来。“哪两个三角形相似？为什么？”学生开始讨论。比较容易看出的是：△ACD∽△ABC（∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A公共角，AA）。△BCD∽△BAC（∠BDC=∠BCA=90°，∠B=∠B公共角，AA）。这时候我在黑板上写出由相似得出的重要结论——射影定理：由△ACD∽△ABC，得ACAB由△BCD∽△BAC，得BCAB由△ACD∽△CBD，得CDBD“这三条结论，不用死记，但要知道它们是怎么推出来的。中考里这个图形出现的频率极高——只要看到直角三角形斜边上的高，立刻想到母子型，想到射影定理。”接着我抛出一个问题：“如果∠ACB不是直角，而是一个普通的角，母子型还成立吗？”我画一个新的图形：在△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B。“这时候，∠A是公共角，∠ACD=∠B，所以△ACD∽△ABC。这是母子型的推广——不要求直角，只要有一个角等于另一个角，加上公共角，就能构成母子型相似。”这个推广非常重要。很多中考题的图形里并没有直角，但细看之下，有一个三角形内嵌在另一个三角形中，共享一个角，并且有一个非公共角相等——这就是广义的母子型。我把这个推广写在黑板上：狭义母子型（射影定理）：Rt△中斜边上的高→三对相似三角形广义母子型：△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B→△ACD∽△ABC（AA：公共角∠A+一对等角）环节五：模型识别闯关——从图形中“抠”出模型（约10分钟）学生知道了三个模型之后，最关键的一步是：能在复杂图形中一眼认出模型。这个环节我用PPT快速展示六幅图形，每幅图停留约40秒，让学生独立思考后在导学单上写出“这是哪种模型（或哪两种模型的组合）”，然后同桌交流，最后全班核对。这六幅图是精心设计的，从简单到复杂：标准A字型（DE∥BC）——全班都能认出。标准8字型（AB∥CD）——也没问题。斜A型（DE不平行于BC，但∠ADE=∠B，A、D、B共线，A、E、C共线）——开始有人犹豫。我提示：“有没有公共角？有没有一对等角？”学生恍然：“公共角∠A，∠ADE=∠B，AA！”母子型（直角三角形，斜边上的高）——大部分能认出。两个模型叠加（一个大A字型里面嵌套一个8字型）——难度加大。我让学生用红笔和蓝笔分别描出A字型和8字型。学生在描图的过程中，就学会了“抠图”——把复杂图形拆成基本模型的组合。反8型伪装在一组交叉线段中，没有平行线，但给了∠A=∠D——学生需要从对顶角和等角中判断出反8型。这个环节，我不讲太多，重点是让学生“看”和“描”。经验告诉我，相似模型的教学，老师讲一百遍不如学生自己动手描一遍图形。描图的本质是把注意力聚焦到关键的三角形上，排除干扰线段。环节六：配套练习分层实战（约15分钟）练习1（基础——A字型直接应用）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2。求EC的长。解答：由A字型，ADAB=AEAC这道题用时不到两分钟，但重点在于让学生口述解题思路：“先认模型——A字型，有平行；再找对应边——AD对AB，AE对AC；最后列比例式。”这个三步走的口诀要反复强化。练习2（基础——8字型与方程思想）如图，AB∥CD，AO=4，DO=6，BO=x，CO=x+1。求解答：由8字型，AODO=BOC这道题让学生体会：模型不仅用来证相似，更用来列方程。看到8字型，立刻翻译成比例式，然后解方程。练习3（变式——斜A型与分类讨论）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AB上，AD=3。点E在AC上，且△ADE与△ABC相似。求AE的长。思路引导：△ADE与△ABC相似，没有说对应顶点是谁，所以要分类讨论。情况一：△ADE∽△ABC（A字型，DE∥BC），则ADAB=AEAC，38=AE6，AE=这道题的陷阱在于：学生习惯性地按A字型列比例，忽略了对应顶点的变化。我在这里特别强调：“相似符号∽写出来，字母的对应关系就是答案的路线图。题目没说对应关系，就要自己分类讨论。”练习4（母子型——射影定理求线段）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=2，BD=8。求CD和AC的长。解答：由母子型（射影定理），CD2=AD⋅BD学生做完这道题，我问：“如果不告诉你射影定理，你怎么做？”引导学生回到相似本身——用△ACD∽△CBD列出CDBD=练习5（中考真题——模型组合）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，连结DE交AC于点F。求证：AF=13思路引导：平行四边形里有哪些模型？AB∥CD，所以8字型就出现了——△AEF和△CDF构成8字型（AE∥CD）。由E是AB中点，得AE=12AB=12CD。在8字型△AEF∽△CDF中，AFFC=AEC这道题让学生看到：中考题往往把模型“藏”在特殊四边形里。平行四边形、梯形、矩形——这些图形的对边平行，天然就是A字型和8字型的温床。看到平行，眼睛就要亮起来。环节七：课堂小结与模型思维导图（约4分钟）课结束前，我在黑板上画出本节课的思维导图：相似三角形三大模型

├──A字型：有一个公共角，DE∥BC或∠ADE=∠B→△ADE∽△ABC

│└──比例式：AD/AB=AE/AC=DE/BC

├──8字型：对顶角，AB∥CD或∠A=∠D→△AOB∽△DOC

│└──比例式：AO/DO=BO/CO=AB/CD

└──母子型：公共角+一组等角（或直角+斜边高）

├──狭义：Rt△斜边上的高→射影定理（AC²=AD·AB等）

└──广义：点D在AB上，∠ACD=∠B→△ACD∽△ABC最后我送给学生三句话：“看到平行，想A字8字。”

“看到直角和斜边上的高，想母子型。”

“看到复杂图形，先抠图再找模型。”配套工具/模板配套工具一：三大模型速查卡（可直接复印，学生人手一份）模型名称标准图形特征判定条件比例式常见变式A字型共角∠A，DE∥BCAA（∠ADE=∠B,∠AED=∠C）A外A型（DE在延长线上），斜A型（DE不∥BC，但∠ADE=∠B）8字型对顶角∠AOB=∠DOC，AB∥CDAA（∠A=∠D,∠B=∠C）A反8型（AB不∥CD，但∠A=∠D或∠B=∠C）母子型共角∠A，点D在AB边上，∠ACD=∠BAA（∠A公共,∠ACD=∠B）A直角三角形斜边上的高（射影定理）配套工具二：模型识别闯关单（10道识图题）题号图形简要描述你识别出的模型判定依据（哪对角相等？）1△ABC，D在AB上，E在AC上，DE∥BC2线段AD、BC交于O，AB∥CD3Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D4△ABC，D在AB上，E在AC上，∠ADE=∠C5线段AD、BC交于O，∠A=∠D，AB不平行于CD6梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC、BD交于O7△ABC，D在AB上，∠ACD=∠B8平行四边形ABCD，E在AB上，DE交AC于F9线段AB、CD交于O，∠A+∠D=180°（暗示……）10正方形ABCD中，E在BC上，F在CD上，∠EAF=45°，找相似配套工具三：五道配套练习参考答案速查练习模型核心思路答案练习1A字型DE∥BC→比例式EC=4练习28字型AB∥CD→比例式→方程x=2练习3A字型+斜A型分类讨论对应顶点AE=9/4或4练习4母子型射影定理或相似三角形对应边成比例CD=4,AC=2√5练习58字型（组合）平行四边形提供平行→8字型→比例求线段比AF=1/3AC常见误区与避坑指南错误做法背后原因正确策略A字型和8字型混淆，比例式列错学生只看图形大概形状，没有确认对应顶点。A字型的公共角在“尖”上，8字型的对顶角在交叉点，对应关系完全不同。教学生一个动作：在列比例式之前，先在两个相似三角形中用相同的符号（如小圆圈、小三角）标记对应顶点。标记完了再列比例，错误率能降一大半。母子型只记住射影定理的三个公式，忘了它们来自相似老师为了省时间，直接让学生背结论。结果图形稍变（如∠ACB不是直角），学生就无从下手。母子型教学必须从“公共角+一对等角→AA→相似→比例式”这个完整链条讲起。射影定理是“推论”，不是“起跑线”。每次做母子型的题，先让学生口头说出“△ACD∽△ABC，因为……”，再写比例式，最后再推导线段平方关系。在复杂图形中看到一对角相等，就急于判定相似，忽略了判定条件不完整学生急于套模型，看到∠A=∠D就认为是8字型，忘了还需要第二对角相等（或对顶角）。训练学生“判定相似之前，先默念AA——找齐两对角”。只找到一对角，相似不成立，可能还需要利用其他条