2025-2026学年河南省新乡市新誉佳高级中学等校高二下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.“，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.在中，角所对的边分别为．若，则=（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.25 C.30 D.335.有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.24 D.126.已知函数的大致图象如图所示，则（）A. B. C.1 D.7.已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.58.已知函数，，若恰有个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、多选题9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A. B.在上单调递减C.的值域为 D.的解集为11.已知点是圆上一动点，点，点，则（）A.点到直线的距离的最大值为B.满足的点有2个C.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为D.的最小值是三、填空题12.过点且与直线垂直的直线的方程是_____________．13.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）14.已知事件，相互独立，，，则______.四、解答题15.在中，已知：（1）求角；（2）若，，求边及的面积．16.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和.17.已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面（1）求该棱柱的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求（1）的分布列；（2）的期望与方差；（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.19.已知函数．（1）若在时取极值，求的值和的极小值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

数学一、单选题1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，，所以.2.“，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：结合共线向量的定义、充分条件、必要条件的定义即可判断.解答过程：当时，，满足；当时，因为，使得，所以共线，即；综上，由，使得，可得，即充分性满足；当时，若，则不存在，使得，故必要性不满足；所以“，使得”是“”的充分不必要条件.3.在中，角所对的边分别为．若，则=（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由余弦定理得.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.19 B.25 C.30 D.33答案：B解析：解答过程：法1：设的公差为，由，得，即.由，得，所以.所以，所以.法2：设的公差为，由题意，得，即，解得，.所以.5.有3封不同的信投入4个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（）A.81 B.64 C.24 D.12答案：B解析：解答过程：解：根据题意，不同的投入方法种数有种．6.已知函数的大致图象如图所示，则（）A. B. C.1 D.答案：C解析：思路：结合函数图象过定点求解，再结合导数和极值点的性质建立关于的一元二次方程，根据韦达定理求解即可.解答过程：由图象可知，，，解得，所以，则，由图象可知是函数的两个极值点，令，则，是方程的两个不同实数根，故．7.已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（）A.8 B.7 C.6 D.5答案：D解析：思路：画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值．解答过程：由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1，过点作直线，垂足为，如图所示，由抛物线定义可知，，所以，当点在同一直线时，可取到最小值，因为点到直线的距离为6，所以，即的最小值为5．8.已知函数，，若恰有个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件

恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论.解答过程：当时，，则，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数的取值范围为．作出的大致图象，如图所示．由，得，由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点，即恰有2个零点．所以的取值范围是.二、多选题9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：解答过程：A选项，设，即，故，无解，故不共线，所以可以作为基底，A正确；B选项，，故共线，不能作为基底，B错误；C选项，设，则，故，无解，不共线，能作为基底，C正确；D选项，，故共线，不能作为基底，D错误.10.已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A. B.在上单调递减C.的值域为 D.的解集为答案：ACD解析：思路：利用奇函数定义求出判断A；由指数函数单调性确定单调性判断B；求出值域判断C；利用性质求出解集判断D.解答过程：A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：，验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即，因为在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以B选项错误；C选项，令，则，，因为，所以，，，则：，的值域为，所以C选项正确；D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以，原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增，所以需满足，解得：，所以D选项正确.11.已知点是圆上一动点，点，点，则（）A.点到直线的距离的最大值为B.满足的点有2个C.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为D.的最小值是答案：BCD解析：思路：利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D.解答过程：对于A，原点到直线的距离为，所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故A错误；对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆，设线段的中点为，则，圆的半径为，所以圆，，因为，所以圆与圆相交，故B正确；对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为，由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为，则直线的方程为两圆的相交弦，所以，故C正确；对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，设，则，化简可得，因为，所以，即点所以，当且仅当三点共线且点在中间时等号成立，所以的最小值是，故D正确．三、填空题12.过点且与直线垂直的直线的方程是_____________．答案：解析：思路：设是所求直线上任一点，直线的方向向量为，由化简即可求解.解答过程：设是所求直线上任一点，直线的方向向量为，由，得．故13.的展开式中的系数为______________．（用数字作答）答案：解析：思路：利用二项展开式的通项公式，分析的展开式中含项的系数，含项的系数，即可得解．解答过程：由二项式的展开式的通项为，其中含项的系数为0，含项的系数为，所以的展开式中的系数为．14.已知事件，相互独立，，，则______.答案：##解析：思路：先利用独立事件的性质求出，再通过条件概率公式完成计算即可.解答过程：由相互独立，得，代入，，则，即，因为，所以.故四、解答题15.在中，已知：（1）求角；（2）若，，求边及的面积．答案：（1）；（2），.解析：思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理求解.（2）利用余弦定理及三角形面积公式求解.（1）在中，由正弦定理得，而，则，因此，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理及，得，而，所以，的面积.16.已知等差数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，令，求数列的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组即可；（2）利用错位相减法求和可得答案.（1）设等差数列的公差为d，由，可得，可得①由可得，整理可得②.联立①②可得，.所以.（2）因为，则.所以，上式-下式得.因此，.17.已知三棱柱的棱长均为2，，平面平面（1）求该棱柱的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）设的中点为，利用面面垂直的性质可得平面，得到，利用勾股定理得到，进而得到，平面，接着用体积公式求解即可；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求面面夹角即可．（1）解：设的中点为，连接，为等边三角形，边长为，，，，平面平面，平面平面，平面，又平面，，，，则，又平面平面，平面平面，平面，；（2）解：由（1）知平面，，如图，以为原点建立空间直角坐标系，，设平面的一个法向量，，不妨取，则，易知平面的一个法向量，，则平面与平面夹角的余弦值为．18.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求（1）的分布列；（2）的期望与方差；（3）求至少取到一个豆沙粽的概率.答案：（1）0123（2），（3）解析：思路：（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列；（2）由分布列即可计算期望与方差；（3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”.（1）由题意，的可能取值为，则，，，，所以的分布列如下：0123（2）由（1）可知，.（3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”，则.19.已知函数．（1）若在时取极值，求的值和的极小值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．答案：（1），（2）解析：思路：（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值；（2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解.（1）由题意可知：，，因为，解得，则，，令，则，令，解得；令，解得；可知在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，且，当趋近于或时，趋近于，可知在定义域内有2个零点和1，当时，，当时，，可知在，内单调递增，在内单调递减，所以在处取极小值，极小值为．（2）解法1：由于不等式对任意恒成立，则，解得，下证：当时，，若，则，令，由（1）可知，在上单调递增，则，则，所以的取值范围为；解法2：令，则，设，，则，设，，则,可知在上单调递增，则，即，可知在上单调