2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一下册期中考试数学试题 含解析

/数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.33.在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形4.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线5.已知单位向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.6.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（）A. B.C. D.7.直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（）A.2 B. C. D.8.如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分.9.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是10.已知复数（i为虚数单位），则（）A.的共轭复数为 B.的虚部为C. D.11.如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（）A.平面 B.与所成角为45°C.三棱锥的体积为 D.点到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．13.将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.14.如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）若与垂直，求实数的值.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角C及边c的值；（2）求的最大值.17.如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积与表面积.18.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．19.已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求边长的最大值；（3）若的面积为，且，求面积的取值范围.

数学一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可.解答过程：复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B.2.已知向量，满足，，，则（）A. B.1 C.2 D.3答案：B解析：解答过程.3.在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形答案：B解析：思路：由正弦定理边化角，化简后即可求解.解答过程：在中，，因此可得

，，将其代入已知条件

，因为是三角形内角，，所以，又是三角形内角，故，所以此三角形是直角三角形.4.在空间中，若直线平面，直线平面，则与（）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线答案：D解析：解答过程：由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交，则与可能平行，也可能是异面直线.5.已知单位向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以，解得，又因为，所以6.如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再利用几何体体积公式计算即可.解答过程：由题意，，所以，如图，原四边形中，，则以直角梯形的边为轴旋转一周得到的几何体为圆台，故其体积为.7.直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，在面对角线上存在一点P使P到和P到A的距离之和最小，则这个最小值是（）A.2 B. C. D.答案：D解析：思路：确定和的形状，然后把这两个三角形沿摊平，变成平面四边形，在平面图形中线段就是所求最小值．解答过程：因为直三棱柱的底面是以C为直角的等腰直角三角形，且，所以，又是等腰直角三角形，，把和所在平面沿摊平得四边形，如图，是这个四边形的对称轴，即为所求最小值．故选：D．方法提示：思路点睛：本题考查空间图形中距离的最小问题，解题方法是把空间不共面的图形展开后变成一个平面图形，利用平面上两点之间线段最短的性质求解．8.如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比．解答过程：设棱台的高为，，则，，，又，，，故C正确．故选：C．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分.9.中，，，则（）A. B.的角平分线交AB于D，则C. D.在上的投影向量是答案：ACD解析：解答过程：由余弦定理，得，故，A正确；因为，所以是等腰三角形，平分，所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确；由，，所以，因为是等腰三角形，所以，

，所以C正确；向量在上的投影向量为

，，故投影向量为，所以D正确.10.已知复数（i为虚数单位），则（）A.的共轭复数为 B.的虚部为C. D.答案：BD解析：思路：对复数化简为，根据共轭复数概念判断A；根据复数虚部的定义判断B；根据共轭复数的概念以及复数的乘法判断C；根据复数模的运算判断D.解答过程：对于A，，的共轭复数为，故A错误；对于B，的虚部为，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.11.如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（）A.平面 B.与所成角为45°C.三棱锥的体积为 D.点到平面的距离为答案：ABD解析：思路：由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D.解答过程：对A选项，如图，连接，则为中点，又为的中点，所以，又平面平面，平面，故A选项正确；对B选项，由A可知，为与所成角或其补角，由正方体性质可知，，故B选项正确；对C选项，三棱锥的体积为，故C选项错误；对D选项，设点到平面的距离为，则，，，故D选项正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知正方体内切球半径为1，则该正方体外接球的表面积为_________．答案：解析：解答过程：由正方体内切球半径为1，则该正方体棱长为，故该正方体外接球的半径为该正方体体对角线一半，即为，则该正方体外接球的表面积.13.将一个圆形纸片裁成两个扇形，再分别卷成甲、乙两个圆锥的侧面，甲、乙两个圆锥的侧面积分别为和，体积分别为和，若，则_____.答案：解析：思路：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.解答过程：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.故答案为.14.如图所示，若，点与分别在直线两侧，且，则长度的最大值为______．答案：##解析：思路：设，利用余弦定理及三角恒等变换将表示为的函数，再利用正弦函数的性质求出最大值.解答过程：在中，，设，则，，在中，，则，由余弦定理得，因，则，故当，即时，，所以的最大值为.四、解答题：本题有5道题，总共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求；（2）若与垂直，求实数的值.答案：（1）（2）1解析：思路：（1）由向量的坐标运算及模的公式即可求解；（2）由向量垂直的坐标公式列出方程求解即可.（1）由，，可得：，所以.（2），，因为与垂直，所以，解得.16.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求角C及边c的值；（2）求的最大值.答案：（1），（2）4解析：（1）由，根据余弦定理，得，因为，则.由，得，根据正弦定理，得，则.（2）由（1）知，，则，即，当且仅当时等号成立，则的最大值为4.17.如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的底面半径；（2）求三棱柱的体积与表面积.答案：（1）3（2），解析：思路：（1）根据圆柱的体积公式求圆柱的底面半径；（2）根据三棱柱的体积和表面积公式求解即可.（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为.由题意.即圆柱的底面半径为3.（2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3，由正弦定理。，解得，则，又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以；则三棱柱的表面积为.18.如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且（1）求证：D，B，F，E四点共面；（2）求证：平面；（3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，解析：思路：（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明；（2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可；（3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可．（1）连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，又在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以D，B，F，E四点共面；（2）连接、分别交于点H、O，连接，在正方体中，且，所以，则，同理可得，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（3）存在，且，理由如下：因为，所以，，又，，平面，平面，平面，延长交于，延长交于，连接，为中点，易得，，分别为的中点，易得，，，，又，即，四边形为平行四边形，，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以时，平面平面．19.已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.（1）若，求的值；（2）在（1）的条件下，求边长的最大值；（3）若的面积为，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理求出A，再由题意可求解；（2）由（1）知