2025-2026学年江苏如皋市长江高级中学高一下册期中模拟考试数学试题 含解析

/数学一、单选题1.已知点，，且，则点的坐标为（）A. B. C. D.2.在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（）A.2 B. C. D.3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A.2或4 B.3 C.5 D.4.已知锐角，满足，，则等于（）A. B.或 C. D.5.若，则（）A. B. C. D.6.如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A.与是异面直线 B.平面C. D.平面7.在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（）A. B. C. D.8.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（）．A. B.6 C. D.二、多选题9.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则10.已知，，，，则（）A. B.C. D.11.（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（）A.当位于点时，的值最小 B.当位于点时，的值最大C.的取值范围为 D.的取值范围三、填空题12.已知，，且，则向量，夹角为_____．13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________．14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______.四、解答题15.已知.（1）求的值；（2）求的值.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．17.如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．（1）求的值；（2）若，，求向量与向量夹角的余弦值．18.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面．（1）证明：平面PAC；（2）证明：；（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．19.已知为锐角三角形，.（1）求；（2）求；（3）若外接圆的周长为，求的面积.

数学一、单选题1.已知点，，且，则点的坐标为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用平面向量的坐标运算即可求解.解答过程：设，则，.因为，所以，解得，所以点的坐标为.故选：B.2.在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（）A.2 B. C. D.答案：B解析：思路：先根据复数对应的点得出复数，再应用复数除法计算化简求解.解答过程：复数在复平面内对应的点为，则复数，复数，则复数的虚部为.3.设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A.2或4 B.3 C.5 D.答案：A解析：思路：根据题意结合余弦定理运算求解即可.解答过程：因为，，，由余弦定理可得，即，可得，解得或．故选：A.4.已知锐角，满足，，则等于（）A. B.或 C. D.答案：C解析：思路：利用平方关系求出和，利用两角和差的余弦公式求出，通过判断角的范围得到角的值.解答过程：由，且，为锐角，，，故，，为锐角，，，，．故选：C.5.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．解答过程：将式子进行齐次化处理得：．故选：C．方法提示：易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．6.如图，在三棱柱中，侧棱底面,是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）A.与是异面直线 B.平面C. D.平面答案：C解析：思路：根据异面直线，线面平行，线面垂直的判定定理等进行逐一判断.解答过程：对于A：与都在平面内，不是异面关系，故A错误；对于B：假设平面成立，则有,而由题可知，即与不垂直，因此假设不成立，故与平面不垂直，故B错误；对于C：由题可知该三棱柱为直三棱柱，故平面,平面,.在正三角形中，是的中点，故.又平面,平面又平面,故C正确；对于D：取的中点，连接，分别是的中点，故又，.因此四点共面，平面,因此与平面不平行.故D错误.故选：C.7.在中，且为的中点，，与交于点.若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由向量共线定理，结合为的中点，可得，由向量的线性运算，分别用表示，由，即可求得的值,解答过程：由图象可得，，，三点共线，且为的中点，故存在实数使，有，且，因为，即，因为与不共线，所以有，解得.故选：C.8.如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为（）．A. B.6 C. D.答案：A解析：思路：取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长.解答过程：如图，取的中点，连接，则.则在正方形中，，，所以四边形是平行四边形，所以，又，所以，则四边形即为过三点截面，因为正方体的棱长为2，所以，，,则其周长为.故选：A.二、多选题9.设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：ACD解析：思路：根据空间中的平行和垂直关系可判断选项.解答过程：A选项：根据线面平行的判定定理，可知A正确；B选项：若，则直线垂直于平面的一条直线，不满足线面垂直的判定定理，不能得出线面垂直，故B错误；C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确；D选项：若，因为，所以，则，故D正确．10.已知，，，，则（）A. B.C. D.答案：BC解析：思路：先根据，判断角的范围，再根据求；根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.解答过程：①因为，所以，又，故有，，解出，故A错误；②，由①知：，所以，所以，故B正确；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因为，，所以，有，故C正确；④由，由③知，，两式联立得：，故D错误．故选：BC方法提示：关键点点睛：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值，确定，且，进一步确定，这些都是确定函数值的正负，以及角的大小的依据.11.（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（）A.当位于点时，的值最小 B.当位于点时，的值最大C.的取值范围为 D.的取值范围答案：ACD解析：思路：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，进而可得，据此得到的最值并判断AB；由数量积得坐标运算及恒等变形可得，，再求取值范围即可．解答过程：以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，其中，，．因为，所以，即，所以．所以当时，取得最大值2，此时点为的中点，当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误，，，所以，．因为，所以，故，因此，所以的取值范围为，故C正确，因为，因为，所以，故，所以，所以，所以D正确．故选：ACD．三、填空题12.已知，，且，则向量，夹角为_____．答案：解析：思路：将已知等式展开求出，代入向量夹角公式可得.解答过程：因为，，所以，解得，所以，又，所以.故13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________．答案：解析：思路：利用作平行线作出异面直线CE与PB所成角，解三角形，即可求得答案.解答过程：在四棱锥中，设F为的中点，连接，由题意知四边形为正方形，设，由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角，底面ABCD，底面ABCD，则,结合，则，又，则在中，，结合，则，即异面直线CE与PB所成角的大小为，故14.已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______.答案：解析：思路：根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得，利用换元法，结合三角函数的性质以及二次函数的性质即可求解范围.解答过程：由正弦定理得：，又，即，可得，又是锐角三角形，可得，即，解得，令，则，则，开口向上，对称轴，即在上单调递增，所以，即即的取值范围是故四、解答题15.已知.（1）求的值；（2）求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解；（2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解.（1）由有，又，所以，所以；（2）由（1）有，，所以，所以，所以，所以.16.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，分别是棱的中点．（1）证明：；（2）证明：平面．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）先证和，再由线线垂直证明线面垂直，易得；（2）取的中点，易证，得到，则得，由线线平行即得线面平行.（1）如图，连接交于点，由四边形是正方形，可得，因平面，平面，则，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）如图，取的中点，连接，由分别是棱的中点．可得，又，则，即得，所以因平面，平面，所以平面．17.如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．（1）求的值；（2）若，，求向量与向量夹角的余弦值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）已知为矩形，，所以，结合图形显示关系得出，从而得出的值，进而求出.（2）由（1）知，因为为矩形，则，结合题给条件，，求出以及，再根据求出两向量夹角的余弦值.（1）已知为矩形，，所以，所以，即，，所以．（2）由（1）知：，因为为矩形，则，所以，所以，所以，所以，所以，即向量与向量夹角的余弦值为：．18.如图所示，正四棱锥中，P为侧棱SD上的点，且，Q为侧棱SD的中点，平面平面．（1）证明：平面PAC；（2）证明：；（3）侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC，若存在，求的值；若不存在，试说明理由．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，解析：思路：（1）由为中位线知，即可证明线面平行.（2）证明平面SDC，再利用线面平行的性质证明.（3）建立空间直角坐标系，设从而写出E点的坐标，求出平面PAC的法向量，若平面PAC则，列方程求出即可.（1）连接BD交AC于点O，连接OP，因为四边形ABCD为正方形，所以点O为BD的中点，又P为QD的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.（2）因为CD，平面SCD，平面SCD，所以平面SDC，又因为平面SAB，平面平面，所以.（3）解法一：在侧棱上存在一点，使平面，满足.理由如下：连接交于，连接，则为中点，取中点，又，则，过作的平行线交于，连接，在中，有，由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则，又，平面，平面，则平面，又，平面，因此平面平面，又，得平面，所以存在，且.解法二：以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，设，则，即，易得，设为平面PAC的一个法向量，，，令，得，可得，若平面PAC，则，即，解得，所以当时，平面PAC.19.已知为锐角三角形，.（1）求；（2）求；（3）若外接圆的周长为，求的面积.答案：（1