初中八年级数学：整式除法中多项式除以单项式及多项式除以多项式的探究与实践教案

初中八年级数学：整式除法中多项式除以单项式及多项式除以多项式的探究与实践教案

  一、设计理念与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深度融合建构主义学习理论、深度学习理念以及学科核心素养培育目标。设计认为，数学学习不是被动接受已有规则的过程，而是学习者在教师引导下，基于已有认知经验，通过主动探究、意义建构、合作交流，逐步形成和发展数学思维与能力的过程。多项式除法作为整式运算的顶峰与难点，其教学价值远超于掌握一种计算技能。它既是前期代数式、整式乘除、因式分解等知识的综合应用与深化，又是后续学习分式、函数、方程等内容的逻辑基石。因此，本设计摒弃机械的法则灌输与重复训练模式，着力构建一个“从算术到代数、从特殊到一般、从模仿到创造”的探究脉络。通过创设真实的问题情境，引导学生将多项式除法的抽象法则与熟悉的整数除法、分配律等已有经验建立本质关联，实现知识的自然生长。同时，本设计高度关注运算能力的培养，不仅强调运算的准确性与熟练度，更注重引导学生在理解算理、探索算法、优化算径的过程中，发展数学推理、数学建模、数学抽象等核心素养，体会转化与化归、类比与归纳等基本数学思想，全面提升数学思维品质。

  二、学情分析

  教学对象为初中八年级上学期的学生。在知识储备上，他们已经系统学习了有理数的四则运算、整式的概念、整式的加减运算、幂的运算性质、整式的乘法（包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式）以及乘法公式。部分学生可能初步接触了因式分解的提公因式法。这些知识为学习多项式除法提供了必要的运算基础和认知前提。在认知心理与能力层面，八年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维发展的关键期，具备一定的观察、归纳、类比和简单推理能力，但对于处理符号化、形式化的复杂代数运算仍可能存在畏难情绪。多项式除法，尤其是多项式除以多项式，步骤多、逻辑链条长、灵活性高，对学生运算的条理性、严谨性和策略性提出了较高要求。常见的困难点可能包括：对除法是乘法逆运算的本质理解不深；在多项式除以多项式时，难以确定商式的项数及其系数；对“降幂排列”和“缺项补零”的必要性与规范性认识不足；试商过程不熟练，容易出现逻辑混乱或计算错误。此外，学生习惯于具体数字运算的确定性，面对含有字母系数或较高次幂的多项式时，符号处理能力和整体把握能力有待加强。因此，教学需搭建坚实的认知台阶，通过直观类比、分步引导、错例辨析、变式训练等策略，化解难点，促进深度理解。

  三、教学目标

  1.知识与技能目标：

    （1）理解多项式除以单项式、多项式除以多项式的运算法则，明确其算理依据是乘法的分配律及除法是乘法的逆运算。

    （2）能够准确、熟练地进行多项式除以单项式的运算，做到步骤清晰、结果规范。

    （3）初步掌握多项式除以多项式的基本方法——竖式除法（长除法），理解“被除式、除式按某个字母降幂排列”的规则，并能运用该方法解决简单的多项式除法问题。

    （4）了解“分离系数法”作为竖式除法的简化形式，能在简单情境中尝试使用。

  2.过程与方法目标：

    （1）经历从具体数字运算到抽象字母运算的类比迁移过程，体会“从特殊到一般”的归纳思想。

    （2）通过对比整数除法与多项式除法的异同，理解数学对象间的内在联系，发展类比推理能力。

    （3）在探索多项式除以多项式法则的过程中，体验“试商-相乘-相减”的算法流程，培养有条理、有逻辑的运算能力和问题解决策略。

    （4）通过小组合作、交流辨析，提升数学语言表达和批判性思维能力。

  3.情感态度与价值观目标：

    （1）在克服多项式除法运算复杂性的过程中，磨练耐心、细致的意志品质，增强克服困难的信心。

    （2）感受多项式除法运算的严谨性与形式美，体会数学知识的系统性和连贯性。

    （3）通过将实际问题抽象为多项式除法模型并求解，认识数学的工具价值，激发学习兴趣。

  四、教学重难点

  1.教学重点：

    （1）多项式除以单项式的运算法则及其应用。

    （2）多项式除以多项式的竖式除法（长除法）的运算原理和基本步骤。

  2.教学难点：

    （1）多项式除以多项式时，商式项数的确定以及试商的过程与策略。

    （2）理解并严格执行“被除式、除式按同一字母降幂排列，缺项补零”的操作规范。

    （3）除法运算的完整性和准确性，确保余式的次数低于除式的次数。

  五、教学方法与手段

  1.教学方法：采用“引导发现法”与“探究式教学法”为主，辅以“讲授法”、“合作学习法”和“变式训练法”。教师通过精心设计的问题链和活动序列，创设认知冲突，搭建思维脚手架，引导学生主动探索、发现规律。在关键环节进行精讲点拨，确保算理清晰。组织小组合作探究，促进思维碰撞。

  2.教学手段：综合运用多媒体课件（动态演示算理、展示规范书写）、实物投影仪（展示学生解法、进行错例分析）、导学案（提供探究线索、记录思考过程）、交互式白板等现代化教育技术。同时，保留必要的板书，清晰呈现法则推导过程和核心例题的完整步骤，构建知识脉络图。

  六、教学准备

  1.教师准备：精心制作多媒体课件，设计导学案，预设课堂提问与追问，准备典型例题与分层练习题卡。

  2.学生准备：复习整式乘法、整数除法笔算方法，准备课堂练习本。

  3.环境准备：教室座位便于小组讨论，确保投影设备清晰可用。

  七、课时安排

  本单元内容建议安排2课时。

    第1课时：多项式除以单项式（探究法则、理解算理、初步应用）。

    第2课时：多项式除以多项式（竖式除法的引入、探索、掌握与综合应用）。

  八、教学过程

  第1课时：多项式除以单项式

  (一)情境导入，提出问题(预计时间：5分钟)

    （多媒体呈现）学校计划将一块长方形花园进行绿化改造。已知花园的面积为(6a²b+4ab²)平方米，其中一条边的长为2ab米。请问另一条边的长度是多少米？

    师：同学们，如何求解另一条边的长度？

    生：用面积除以已知的边长，即计算(6a²b+4ab²)÷(2ab)。

    师：很好。这是一个涉及多项式除以单项式的实际问题。过去我们学习过单项式除以单项式，那么多项式除以单项式该如何计算呢？它与我们学过的哪些知识可能有联系？让我们带着这些问题开始今天的探究。

  (二)复习旧知，搭建桥梁(预计时间：8分钟)

    师：首先，我们回顾两个关键知识。

    活动1：请快速计算。

      (1)12÷3=?  (12+6)÷3=?  12÷3+6÷3=?

      (2)8x³÷(2x)=?  (8x³+4x²)÷(2x)=?(猜猜看)

    学生口答(1)题，教师引导学生观察(12+6)÷3=12÷3+6÷3。

    师：这运用了什么运算律？

    生：乘法分配律。或者说是除法对加法的分配律（在除数相同的情况下）。

    师：对于(2)，我们已会算8x³÷(2x)=4x²。那么(8x³+4x²)÷(2x)是否也可以类似地“分配”呢？即等于8x³÷(2x)+4x²÷(2x)吗？请尝试计算右边。

    生：8x³÷(2x)+4x²÷(2x)=4x²+2x。

    师：那这会是最终答案吗？我们需要验证。如何验证除法结果是否正确？

    生：用商乘以除数，看是否等于被除数。

    师：很棒！请计算(4x²+2x)*(2x)。

    生：等于4x²*2x+2x*2x=8x³+4x²。完全正确！

    师：这说明我们的猜想是成立的。这为我们解决多项式除以单项式提供了重要思路。

  (三)合作探究，归纳法则(预计时间：12分钟)

    活动2：小组探究，归纳法则。

    请各小组尝试计算下列式子，并总结计算规律：

      (1)(6a³+9a²)÷3a

      (2)(4x²y³-8x³y²)÷(2x²y)

      (3)(12m⁴n²-6m³n+2m²n²)÷(2m²n)

    学生小组合作计算、讨论。教师巡视指导，关注学生是否理解每一步的依据（系数与系数相除、同底数幂相除、分配律）。

    小组代表展示计算结果和过程。

    师：观察这些计算过程，你能用文字语言概括多项式除以单项式的法则吗？

    生：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

    师：概括得非常准确。用数学式子如何表示呢？

    生：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m（其中m≠0）。

    师：这里的a,b,c代表多项式的项，m代表单项式。这个法则的本质是什么？

    生：是乘法分配律的逆向运用，或者说是除法对加法的分配律（在除数为单项式时成立）。

    教师板书法则，并强调：1.必须用多项式的每一项分别除以单项式；2.注意每一项的符号；3.结果是一个多项式。

  (四)典例精析，深化理解(预计时间：10分钟)

    例1：计算(1)(28a³b²c+14a²b³-7a²b²)÷(7a²b²)

       (2)(6x³y²z-9x²y³)÷(-3xy)

    教师板书示范第(1)题，强调步骤：①确定商的符号（本题为正）；②系数相除；③同底数幂相除；④对于只在被除式中出现的字母c，连同它的指数直接作为商的一个因式。结果：4ab+2b-1。

    学生独立完成第(2)题，一名学生板演。教师讲评，重点强调符号处理：除式为负，商的每一项符号均改变。

    辨析与思考：计算(4x²y²+2xy)÷(2xy)=4x²y²÷2xy+2xy÷2xy=2xy+1。对吗？

    生：对。

    师：如果写成2xy+1/1呢？

    生：不对，2xy÷2xy=1，不是1/1，作为整式的结果应写成1。

    小结注意事项：运算要彻底，结果要化简，商为1或-1时不要遗漏。

  (五)课堂练习，巩固新知(预计时间：7分钟)

    计算：

      1.(15x²y-10xy²)÷5xy

      2.(4a⁴b³-6a³b²+2a²b²)÷(-2a²b)

      3.(0.25m⁵n³-0.5m⁴n⁴+m³n⁵)÷(0.25m³n³)

    学生独立完成，教师巡视，个别辅导。快速核对答案，针对共性问题简要分析。

  (六)课堂小结，布置作业(预计时间：3分钟)

    师：本节课我们学习了什么？关键是什么？遇到了哪些易错点？

    生：学习了多项式除以单项式的法则。关键是利用分配律，把多项式的每一项分别除以单项式。易错点是符号、系数和幂的运算，以及结果要化简。

    作业：

      1.（基础）教材对应练习。

      2.（拓展）已知一个长方体的体积为(3a³b²+6a²b³)立方厘米，底面积为(3a²b)平方厘米，求它的高。

      3.（思考）(a+b+c)²÷(a+b+c)等于多少？这属于什么运算类型？

  第2课时：多项式除以多项式

  (一)复习导入，引发冲突(预计时间：7分钟)

    1.快速口答：计算(12x⁴y²-6x³y³+3x²y²)÷(3x²y²)。复习上节课内容。

    2.问题呈现：如何计算(x²+5x+6)÷(x+2)？

    师：这是一个多项式除以多项式的问题。我们已有的多项式除以单项式的法则还适用吗？

    生：不直接适用，因为除式(x+2)是多项式，不能直接“分配”。

    师：那怎么办？我们能否从更熟悉的领域寻找启发？回想一下，我们在小学学习整数除法时，遇到像125÷13这样的除数不是一位数的情况，是如何计算的？

    生：用竖式计算（长除法）。

    师：非常好！整数的竖式除法本质是一个“试商-相乘-相减”的反复过程。那么，对于多项式除法，我们是否可以类比整数除法，也尝试用类似竖式的方法来解决呢？今天我们就来探索这个新课题。

  (二)类比迁移，初探方法(预计时间：15分钟)

    活动1：建立整数除法与多项式除法的类比。

    计算125÷13。

    教师引导学生回顾整数竖式除法步骤：对齐数位；试商（12÷13不够，看125，商9）；9×13=117；125-117=8；得到商9余8，即125=13×9+8。

    师：现在我们类比地思考(x²+5x+6)÷(x+2)。多项式中，字母x的幂次类似于整数的数位（个位、十位、百位）。为了便于“对齐”，我们首先要做什么？

    生：把被除式和除式都按照x的降幂排列。（教师强调：这是关键第一步！）

    师：很好。类比整数除法，我们从被除式的最高次项开始。x²÷x=?

    生：x。

    师：这个“x”就是商式的第一项。然后，用这个“x”去乘除式(x+2)，得到x(x+2)=x²+2x。把这个积写在被除式下面，对齐同类项。

    师：接下来做什么？

    生：相减。(x²+5x+6)-(x²+2x)=3x+6。

    师：现在，我们用这个新的多项式（3x+6）作为“新的被除式”，继续除以除式(x+2)。重复上述过程：(3x)÷x=?

    生：3。

    师：商式的第二项是“+3”。用3乘(x+2)得3x+6。相减：(3x+6)-(3x+6)=0。

    师：余式为0。所以，(x²+5x+6)÷(x+2)=x+3。我们可以验算：(x+3)(x+2)=x²+5x+6，完全正确。

    教师完整板书竖式计算过程，并与整数竖式并列对比，突出步骤的相似性：排列、试商、乘、减、落。

  (三)抽象概括，形成规范(预计时间：10分钟)

    师：通过刚才的探索，我们初步掌握了多项式除以多项式的竖式方法。谁能尝试总结一下一般步骤？

    生：第一步，先把两个多项式都按同一个字母的降幂排列，如果有缺项，要空位或补零；第二步，用被除式的第一项除以除式的第一项，得到商式的第一项；第三步，用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐）；第四步，从被除式中减去这个积，得到第一余式；第五步，把第一余式当作新的被除式，重复以上步骤，直到余式的次数低于除式的次数为止。

    教师板书步骤关键词：排列、除、乘、减、落、重复。强调两个核心要点：1.必须按同一字母降幂排列；2.余式次数必须低于除式次数，此时除法才算完成。

    介绍“分离系数法”：为了书写简便，我们可以只写出各项系数来进行竖式运算，这种方法叫分离系数法。但要注意：必须补齐所缺幂次的系数“0”。以(2x³+3x-5)÷(x-1)为例，被除式按x降幂排列为2x³+0x²+3x-5，除式为x-1，则系数分别为2,0,3,-5和1,-1。用分离系数法进行竖式计算。教师演示此例，既展示了缺项补零的必要性，又介绍了简化方法。

  (四)典例精讲，突破难点(预计时间：15分钟)

    例2：计算(6x³-19x²+25x-12)÷(2x-3)

    教师引导学生分析：被除式、除式均已按x降幂排列。试商：6x³÷2x=3x²。商式第一项为3x²。教师完整板书竖式过程，边写边讲解每一步的算理。重点展示“减”的步骤，提醒学生注意符号变化（建议将减转化为加相反数）。

    最后得到商式为3x²-5x+5，余式为3。强调书写结果的形式：被除式=除式×商式+余式，或者商式+余式/除式。

    即：6x³-19x²+25x-12=(2x-3)(3x²-5x+5)+3。

    例3：计算(x³-8)÷(x-2)

    师：被除式x³-8，按x降幂排列时，缺少x²和x项，该怎么办？

    生：补零，写成x³+0x²+0x-8。

    教师引导学生用竖式计算或分离系数法计算。结果商式为x²+2x+4，余式为0。教师指出，这恰好是立方差公式的展开，体现了因式分解与多项式除法的联系：当余式为0时，说明整除，此时除式就是被除式的一个因式。

    变式与思考：如果除式是x+2呢？计算(x³-8)÷(x+2)。引导学生注意符号，并观察余数是否为零，思考这与因式分解的关系。

  (五)综合练习，分层巩固(预计时间：10分钟)

    A组（基础巩固）：

      1.计算：(x²+2x-8)÷(x-2)

      2.计算：(6a²-7a-5)÷(2a+1)

    B组（能力提升）：

      3.计算：(2x³-5x²+4x-4)÷(2x-1)

      4.用分离系数法计算：(3x³+10x²+11x+6)÷(x+2)

    C组（拓展思考）：

      5.已知多项式2x³-x²+m能被x+1整除，求m的值。（提示：令除式x+1=0，得x=-1，代入被除式其值应为0）

    学生分组练习，教师巡视，重点辅导有困难的学生。投影展示不同层次学生的解答，进行互评和师评。

  (六)课堂总结，升华认知(预计时间：3分钟)

    师：请同学们从知识、方法、思想三个层面回顾本节课的收获。

    生（知识）：学习了多项式除以多项式的竖式除法（长除法）的步骤和规范。

    生（方法）：掌握了类比整数除法学习新知识的方法，以及分离系数法这种简化技巧。

    生（思想）：体会了类比、化归（将多项式除法转化为我们已经会的步骤）、降次等数学思想。认识到当余式为0时，多项式除法与因式分解的联系。

    教师完善学生的总结，并强调多项式除法在后续学习中的桥梁作用。

  九、作业设计

  1.必做题：完成教材课后练习，熟练多项式除以单项式及多项式除以多项式的基本运算。

  2.选做题：

    （1）探究：尝试用竖式计算(4x⁴-2x³+3x-1)÷(2x²-x+1)，注意高次多项式的处理方法。

    （2）应用：设计一个能用多项式除法解决的实际问题（如面积、体积问题），并解答。

  3.预习作业：查阅资料或预习教材，了解“综合除法”的原理，思考它与竖