湖北省2026届高三数学上学期9月教学质量检测试卷含解析

2026届高三数学上学期9月教学质量测评试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形

码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.

2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.

3.非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答

题卷指定区域外无效.

4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.复数zi34i，则z的虚部为（）

A.3B.4C.3iD.4i

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法法则化复数为代数形式，即得结果.

【详解】因为zi34i3i4i243i，

所以z的虚部为3.

故选：A.

ð

2.已知全集U2,1,0,1,2,3,4，集合A{xN∣x40}，则UA（）

A.2,1,3,4B.2,1,0,4C.2,1,3D.2,1,4

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合补集的定义进行求解即可.

【详解】因为.全集U2,1,0,1,2,3,4.

所以�={�∈.N∣�−4<0}={�∈N∣�<4}=0,1,2,3

故选：∁�D�=−2,−1,4

y2

3.双曲线C:x21的离心率为（）

4

5

A.5B.C.3D.23

2

【答案】B

【解析】

【分析】结合题意由双曲线离心率的定义可得.

222c5

【详解】由题意可知，a4,b1,c5.故e.

a2

故选：B.

4.对武汉某高中高二年级学业水平合格性考试的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则

该年级学生数学成绩的70%分位数的估计值是（）

A.70B.80C.84D.85

【答案】C

【解析】

【分析】根据第p百分位数的定义计算即可

【详解】前三个矩形的面积分别是0.1,0.2,0.3，其和为0.6，而第4个矩形的面积是0.25，

计算得，

0.7−0.62

故70%分0.25位数×的9估0−计8值0是=850×140=84.

故选：C.

π

5.函数fxtan2x的图象的对称中心不可能是（）

6

11πππ7π

A.,0B.,0C.,0D.,0

126612

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数的性质，先通过整体代入求出x再赋值即可得出结论.

π

【详解】由函数fxtan2x，

6

令ππ，解得ππ，

��

2�−6=2�∈��=4π+12π�∈�

∴函数fx的图象的对称中心为.

�

4+12,0

11ππ7π

当k4时，x；当k1时，x；当k2时，x；

12612

11ππ7ππππ

∴fx图象的对称中心的横坐标可以为，，，无论k取何整数值，不等于，

12612�6

故选：C.4+12

x16

6.已知函数fx是周期为2的奇函数，且当x1,2时，fx21，则flog2的值为（）

3

AB.4C.D.2

.42

【答案】A

【解析】

【分析】根据周期性和奇偶性的定义结合对数的运算化简求解即可.

【详解】因为函数fx的周期为2，且为奇函数，

16

所以flog2flog216log23f4log23flog23flog23，

3

因为1log22log23log242，

16log23

所以flog221314，

3

故选：A

7.设圆O的半径为2,A,B,D为圆O上的动点，且圆心O到弦AB的距离为3，则ADAB的最大值为

（）

A.3B.5C.6D.9

【答案】C

【解析】

【分析】作直径EF//AB，过F作FCAB.垂足为C，将问题转化为AD在AB上的投影与AB的乘

积，数形结合，找到D与F重合时即可求解.

【详解】如图，直径EF//AB，过F作FCAB.垂足为C，易知AOB是等边三角形.

因为，

⃗⃗⃗⃗

𝐴⋅𝐴=𝐴𝐴cos∠�𝐴

所以ADAB可看作AD在AB上的投影与AB的乘积.

所以由图可知当D与F重合时，AD在AB上的投影最大，所以ADAB最大为.

1𝐴⋅𝐴

设M为AB的中点，则AMAB1,MCOF2，所以AC3，

2

故ADAB的最大值为.

故选：C.𝐴⋅𝐴=3×2=6

x1

8.若实数x,y,z满足3log2z，则x,y,z的大小关系不可能是（）

y

A.zyxB.xyz

C.zxyD.yzx

【答案】B

【解析】

x11k

【分析】设3log2zk，结合对数，指数，根式的运算得到xlogk,y,z2，再赋值k

y3k2

逐一分析可得.

x11k

【详解】设3log2zk，则xlogk,y,z2.

y3k2

当k1时，x0,y1,z2，此时zyx,A成立.

1

当k3时，x1,y,z8，此时zxy,C成立.

9

1

当k时，x1,y9,z32，此时yzx，D成立.

3

(事实上，当k1时，显然zy；当0k1时，显然yx，故B不可能成立.)

故选：B.

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.如图，AB是圆O的直径，C为圆上异于A,B的任意一点，且PA平面ABC，则（）

A.POPC

B.BC平面PAC

C.PCBC

D.AC和PB不是异面直线

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，由PA平面ABC，结合勾股定理，可判定A错误；利用线面垂直的判定与性质，可

得判定B、C正确，根据异面直线的判定方法，可判定D错误.

【详解】对于A中，连接PO，因为PA平面ABC，且AC平面ABC，AO平面ABC，

所以PAAC,PAAO，则PCPA2AC2,POPA2AO2，

又因为AC与AO的大小不确定，所以PO与PC的大小关系不确定，所以A错误；

对于B中，由PA平面ABC，BC平面ABC，可得PABC，

因为ACBC，且ACPAA，AC,PA平面PAC，

所以BC平面PAC，所以B正确；

对于C中，由B项知：BC平面PAC，且PC平面PAC，所以PCBC，所以C正确；

对于D中，因为AC平面ABC，PB平面ABCB，且BAC，

所以直线AC与PB是异面直线，所以D错误.

故选：BC.

10.设抛物线C:y24x的焦点为F，过点F的直线与C交于A,B两点，A,B在直线l:x1上的射影

分别为A1,B1，则（）

A.以AB为直径的圆与直线l相切

B.A1FB1是钝角

C.AB的最小值是4

D.若AF3BF，则直线AB的斜率为3

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即

可；选项C设AFx，由焦点弦公式可得；选项D过B作BTAA1,BTAA1T，根据cos

∠𝐴�=

cos即可求出倾斜角.

𝐴

∠�1𝐴=𝐴

=+=+

【详解】如图，假设点A位于第一象限，根据抛物线的定义可ABAFBFAA1BB1，

设AB中点为G，点G在抛物线的准线l上的射影为G1，

AA+BBAB

所以GG=11=，

122

则以AB为直径的圆与准线l相切，故A正确；

因为AFAA1,BFBB1，

所以BB1FBFB1B1FO,AA1FAFA1A1FO，

又因为BFB1B1FOAFA1A1FOπ，

ππ

所以BFOAFO，所以AFB，故B错误；

112112

π

设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确；

AFxsin

42

2

因为𝐴=�，≥4

所以𝐴=��1,��=��1,�，�=3��

𝐴=𝐴+��=4��1

过B作BTAA1,BTAA1T，

所以coscos，

𝐴��1−��12��11

∠𝐴�=∠�1𝐴=𝐴=𝐴=4��1=2

π2π

所以AFx或AFx，故直线AB的斜率为3，故D正确.

33

故选：ACD

11.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，且A2B，则（）

A.a2bB.a2b2bc

B

tan

ab

C.c3bD.2

3B

abtan

2

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据正弦二倍角公式，正弦平方差公式，结合余弦定理、正弦定理、和差化积公式逐一判断即可.

π1

【详解】因为A2B，则ABC3BCπ，所以0B，所以cosB1.

32

sinAa

又sinAsin2B2sinBcosB，所以cosB1，即a2b.A错误.

2sinB2b

由正弦平方差公式可得sinsinsinsinsinsin，

22

由正弦定理可知a2b2b�c.−故B正�确=.�+��−�=��

由上可知a2b2bc，

再结合余弦定理得a2b2c22bccosAb2bc，

cb

因此2bccosAc2bc，所以cosA1，故c3b.C正确；

2b

ABABAB

2cossintan

absinAsinB

由正弦定理及和差化积公式可得222，

ABABAB

absinAsinB2sincostan

222

ABB

tantan

ab

因为A2B，所以22.D正确，

AB3B

abtantan

22

故选：BCD

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.曲线yexlnx1在x0处的切线方程是__________.

【答案】2xy10

【解析】

【分析】根据导数的几何意义，结合直线的斜截式、一般式进行求解即可.

1

【详解】由题意知yex，故切线的斜率，而切点为0,1，

x1'

�=��=0=2

故切线方程为y2x12xy10.

故答案为：2xy10

q

13.设正项等比数列an的前n项和为Sn.若S23,S621，则公比__________.

【答案】2

【解析】

24

【分析】由等比数列求和公式得到S6S21qq21，即可求解.

【详解】S23,S621,S63S2,q1，

a1q6a1q21q2q4

则1124，

S6S21qq21

1q1q

q4q217，

q4q26q23q220，

又q0,q2.

故答案为：2

14.袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，

直到取到红球为止.设随机变量X为取到红球时的次数，则X的数学期望EX__________.

【答案】2

【解析】

【分析】确定X的可能的取值，求出每个值相应的概率，根据数学期望的计算公式，即可得答案.

【详解】依题意，X的可能值为1,2,3,4,5,6.

则，AC，

1A1

45×45

2

��=1=9��=2=9=18

AC，AC，

2A13A1

5×4105×45

34

��=3=A9C=63��=4=9=63

，AC，

4A15A1

5×425×41

56

��=5=9=63��=6=9=126

故.

4510521252

故答�案�为=：12×9+2×18+3×63+4×63+5×63+6×126=126=2

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15.为研究每天喝咖啡与失眠的关系，从某社区人群中随机调查了1000人，得到如下列联表（单位：人）：

喝咖啡对睡眠的影响结果失眠不失眠合计

每天喝咖啡120380500

不每天喝咖啡80420500

合计2008001000

（1）记每天喝咖啡的人中患失眠的概率为P，求P的估计值；

（2）根据小概率值0.05的独立性检验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关.

2

nadbc

附：2

abcdacbd

0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910828

x.

【答案】（1）0.24

（2）与失眠有关

【解析】

【分析】(1)根据列联表进行求解P的估计值;

2

2nadbc

(2)零假设H0：每天喝咖啡与失眠独立（即无关）,根据表中数据可得，,

abcdacbd

2

根据小概率值0.05的独立性检验，推断H0是否成立.

【小问1详解】

根据列联表可知，每天喝咖啡者共500人，其中患失眠的人数为120人.

1206

因此，P的估计值为0.24.

50025

【小问2详解】

零假设H0：每天喝咖啡与失眠独立（即无关）.

根据表中数据可得，

1000(12042038080)2

2103.841x，

8002005005000.05

2

根据小概率值0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，

即认为每天喝咖啡与失眠有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05.

a

16.设数列的前n项和为，n，且*，.

{an}Snbnn1b11

43

�−1

��−��−1=4�≥2,�∈�

（1）求an；

（2）求最小的正整数n，使得Sn2025.

【答案】（1）2n1

an21

（2）6

【解析】

【分析】（1）利用累加法求bn的通项公式，进而求出an的通项公式；

（2）利用分组求和求得数列an的前n项和Sn，再根据Sn的递增性质和S5、S6的取值进行判断.

【小问1详解】

*

由题意b11，，

3

�−1

��−��−1=4�≥2,�∈�

333

用累加法可得bnb1b2b1b3b2bnbn11...

4424n1

利用等比数列求和公式得31

41−�−1

41∗

�1�−1

1�=1+1−4=2−4�≥2,�∈�

而当n1时，21b，满足上式.

401

1a

故b2n，化简得a22n11

n4n14n1n

故a22n11

n.

【小问2详解】

因为2n1，所以132n1132n1.

an21Sn2121...2122..2n

n

21422

利用等比数列求和公式得Sn4nn.

n1433

由于an0，因此随着n的增大，Sn也增大.

22

当n5时，S4556772025.

533

22

当n6时，S46627242025.

633

因此当n6时，Sn2025.所以整数n的最小值为6，使得Sn2025.

17.（1）求方程sin2xsin2x在0,π上的解的个数；

14

（2）求函数y的最小值；

sin2xcos2x

（3）求函数fxsin3x3sinxcos3x3cosx的值域.

7272

【答案】（1）3个；（2）9；（3）,

22

【解析】

【分析】（1）由二倍角正弦公式结合正弦函数和正切函数的性质可得；（2）由同角的三角函数关系结合基

本不等式可得；（3）先由同角的三角函数和立方和公式分解因式化简，再令tsinxcosx，构造函数gt，

由导数分析可得.

【详解】（1）sin2xsin2xsinxsinx2cosx0sinx0或tanx2.

因为x0,π，所以sinx0的解为x0,xπ.

又因为tanx2在0,π上只有1个解（即xarctan2）.

所以原方程在0,π上的解有3个.

（2）由题意可知sinx0,cosx0，因为sin2xcos2x1，

所以sincoscossin.

sincossincossin2cos2

1414�4�

22222222

������

�=2+=2+�+�=5++≥5+24=9

cosx4sinx21

当且仅当，即tanx时，函数取得最小值9.

sin2xcos2x2

（3）因式分解，得

fxsin3x3sinxcos3x3cosx

sinxcosxsin2xsinxcosxcos2x3sinxcosx

sinxcosx4sinxcosx

2

t1

令tsinxcosx，则t2,2，且sinxcosx.

2

2

t112

所以fxt4t9t.

22

2

t11212

令gtt4t9t,t2,2，则gt93t0，

222

所以gt在2,2上单调递增.

7272

所以g2gtg2，即gt.

22

7272

因此，fx的值域是,.

22

18.如图，在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形，D为BC的中点，E为AD的中点，

且平面PAD底面ABC,PEAD.设PAtt0.

（1）求证：PE底面ABC；

（2）设O为ABC的重心，t2.求证：O是三棱锥PABC外接球的球心；

17

（3）若平面PCB与平面PCA所成夹角的正弦值的平方等于，求t的值.

18

【答案】（1）证明见解析

32314

（2）证明见解析（3）t或t

47

【解析】

【分析】（1）根据面面垂直的性质即可得证；

（2）根据平面图形的性质结合勾股定理证得OPOAOBOC即可得证；

（3）以A为坐标原点，AB所在方向为x轴，过A且垂直于底面ABC的方向为z轴，建立空间直角坐标系.

设PEm，分别求出平面PCB与平面PCA的法向量n1、n2，由题意可得平面PCB与平面PCA所成夹

1

角的余弦值为，再由coscos求得，进而可求得的值.

2PEt

18�⃗1⋅�⃗2

2222

�=�⃗1,�⃗2=�⃗1�⃗2

【小问1详解】

因为平面PAD底面ABC，平面PAD底面ABCAD，且PE平面PAD,PEAD，

所以PE底面ABC.

【小问2详解】

因为D为BC的中点，E为AD的中点，且O为ABC的重心，由题意可得

AD32233

AD3,AE,AOAD，从而EOAOAE.

22336

又PEAD，如图1所示，

314

∴OP2PE2EO2PA2AE2EO22.

4123

23

即OP，

3

故OPOAOBOC.

因此，O是三棱锥PABC外接球的球心.

【小问3详解】

以A为坐标原点，AB所在方向为x轴，过A且垂直于底面ABC的方向为z轴，建立如图2所示的空间直

角坐标系.

则.

33

�0,0,0,�2,0,0,�1,3,0,�4,4,0

设PEm，则.

33

�4,4,�

于是.

5313333

��⃗=4,−4,−�,��⃗=4,4,−�,��⃗=4,4,�

设平面和平面的法向量分别为，

PCBPCAn1x1,y1,z1,n2x2,y2,z2

则→→.

�1⋅𝐴=0,5�1−3�1−4��1=0,

→→

⇒111

�1⋅𝐴=0�+33�−4��=0

令y11，得；

→3

�1=3,1,�

→→

�2⋅��=0,3�2+3�2+4��2=0,

→→

⇒222

�2⋅𝐴=0�+33�−4��=0

令y21，得.

→3

2

设平面PCB与�平面=PC3A,−所1成,−的2夹�角为，则由题意可得

171

cos21sin21.

1818

所以coscos→→2，

→→2�1·�2

2

12→2→2

�=�,�=�1�2

32.

42

2−2�216�−24�+91

3342

=4+�24+4�2=64�+60�+9=18

整理得224m4492m21530，即，

22

28�−518�−3=0

351

解得m2或m2.

828

23232932

当m时，tm，得t；

8484

2512327218314

当m时，tm，得t.

2842877

32314

综上，t或t.

47

22

2yx

19.已知抛物线C:x2pyp0的焦点与椭圆E:1的一个焦点重合，且点Mx0,y0在抛

54

物线C上.

（1）求抛物线C的方程；

（2）求抛物线C在点M处的切线l的方程；

（3）设切线l与E交于A,B两点，求AOB面积的最大值.

【答案】（1）x24y

x

（2）y0xy

20

（3）5

【解析】

【分析】（1）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合可得p值，即可求得抛物线C的方程；

（2）利用导数求出切线方程的斜率，由点斜式即可写出抛物线C在点M处的切线l的方程；

（3）设Ax1,y1,Bx2,y2，令x02t，则，设出切线l的方程，通过直曲联立，由韦达定理，

2

�2�,�

表示出弦长AB，原点O到直线AB的距离，可由t表示出AOB的面积，再通过换元，利用对勾函数和

二次函数的性质求得AOB面积的最大值.

【小问1详解】

p

由题意可得抛物线C的焦点为0,，

2

y2x2

因为椭圆E:1，则椭圆E的一个焦点是0,1，

54

p

所以有1，解得p2.

2

故抛物线C的方程为x24y.

【小问2详解】

由（1）知抛物线C的方程为x24y