浙江省宁波镇海区蛟川书院2025-2026学年下学期八年级学科大比拼数学试卷

浙江省宁波镇海区蛟川书院2025-2026学年下学期八年级学科大比拼数学试卷一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1．下列计算中，正确的是()A．2×3=5 B．122=2．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应假设（）A．四边形中所有角都是锐角B．四边形中至多有一个角是钝角或直角C．四边形中没有一个角是锐角D．四边形中所有角都是钝角或直角3．将一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y=2A．y=2x+12+2 B．y=24．如图，商用手扶梯AB的坡比为1：3，已知扶梯的长AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度AC为()A．6米 B．63 C．12米 D．125．北仑某酒店第2季度的总营业额为240万元，其中4月份的营业额是100万元，设5、6月份的平均月增长率为x，可列方程为()A．1001+x2C．100+100x+1001+6．已知抛物线y=A．m>n B．m<n C．m=n D．与a的值有关7．对于实数a、b定义新运算“*”如下：a∗b=2a−b(a≤b)a∗b=2a+b(a>b)，如(-5)*2=-5×2-2=-12，3*2=2×3+2=8，若一元二次方程x2A．-3 B．-6 C．-8 D．28．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12 B．11 C．10 D．99．如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路.四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40mA．32x+4x2=40 B．32x+8x2=4010．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G分别是边AB，BC，AD上的动点，且AE=BF，将△BEF沿EF向内翻折至△B'EF，连结BB'，B'G，GC，则当BB'最大时，B'G+GC的最小值为()A．42−2 B．5.6 C．210 二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)11．化简：3−π2=12．一组数据3，5，a，4，3的平均数是4，这组数据的方差为.13．已知α、β是一元二次方程x2+x−1=014．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE．若AE平分∠DAB，∠EAC＝10°，则∠AED＝．15．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连接AF，则AF的最小值为.16．如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N，∠ACB＝45°，AN＝1，AF＝3，则EF＝.三、解答题(共8小题,共72分,其中17-21题每题8分,22-23题10分,24题12分)17．计算：（1）27（2）118．解下列一元二次方程.（1）3（2）(x-1)(x+3)+5=0.19．在抗击新型冠状病毒疫情期间，某校学生主动发起为武汉加油捐款活动，为了了解学生捐款金额(单位：元)，随机调查了该校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图的统计图图甲和图乙.请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的学生人数为图甲中m的值为；（2）求统计的这组学生捐款数据的平均数、众数和中位数.20．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF，BF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB=60°，AF是∠DAB的平分线，若AD=4，求▱ABCD的面积.21．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大月利润是多少元?22．如图，已知抛物线y=x−t2−1（1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是(3，0)，求抛物线的函数解析式；（2）在(1)的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；（3）当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值.23．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”.（1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”.求证：A（2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O.若∠BEC=90°，∠BAC=∠BDC，∠1+∠2=∠3.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”.（3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB=AC，∠ADC=120°，AD=3，BC=5DC，求CD的长.24．如图1，▱ABCD绕点A旋转得到▱AEFG，当点E落在边CD上时，连接BE.（1）求证：BE平分∠AEC；（2）连接GB交AE于点M.①如图2，若▱ABCD为长方形，猜测GM和BM之间的等量关系，并说明理由；②如图3，若∠BEC=60°，AB=5，EC=4，请直接写出△GAB的面积.

答案解析部分1．【答案】D【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法【解析】【解答】解：A、原式=6B、原式=2C、原式=1D、原式=32故选：D.【分析】根据二次根式的加减运算、乘除运算法则即可求出答案.2．【答案】A【知识点】反证法【解析】【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中每个角都是锐角.故答案为：A.【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.3．【答案】C【知识点】二次函数图象的平移变换【解析】【解答】解：∵一条抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y=2∴平移前抛物线的解析式是：y=2故选：A.【分析】直接利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”解答即可.4．【答案】A【知识点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：∵商用手扶梯AB的坡比1：3,设AC=x米，则BC=3x∴AC=6米，故选：A.【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC=35．【答案】D【知识点】列一元二次方程【解析】【解答】解：依题意，得：100+1001+x+1006．【答案】B【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质【解析】【解答】解：∵函数y有最大值，∴a<0,∵y=ax2∴当x>-1，y值随x值的增大而减小.∴点B(-2，n)关于对称轴的对称点是(0，n)，且0<3，∴m<n.故选：B.【分析】由题意可知a<0，求得对称轴，利用二次函数的对称性和增减性，即可得到结论.7．【答案】C【知识点】因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程x2∵解得x∴故选：C.【分析】求出已知方程的解得到x1与x8．【答案】A【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，∠NAB＝∠NADAN＝AN∴△ANB≌△AND，∴AD=AB=8，BN=ND，∵M是△ABC的边BC的中点，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+CD=12，故选：A．【分析】延长BN交AC于D，根据两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形对应边相等，以及三角形中位线等于第三边的一半，计算即可．9．【答案】B【知识点】一元二次方程的应用-几何问题【解析】【解答】解：设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，依题意，得：x（20+4x+12+4x）=40，即32x+8x2=40.故答案为：B.【分析】设道路宽为xm，则中间正方形的边长为4xm，根据道路占地总面积为40m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.10．【答案】C【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，∠NAB=∠NAD∴△ANB≌△AND(ASA)，∴AD=AB=8，BN=ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC=2MN=4，∴AC=AD+CD=8+4=12，故选：A.

【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≅△AND,根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可.11．【答案】π−3​​​​​​​【知识点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：3−π2故答案为：π−3．【分析】根据二次根式的性质化简即可求出答案.12．【答案】0.8【知识点】平均数及其计算；方差【解析】【解答】∵3，5，a，4，3的平均数是4，∴（3+5+a+4+3）÷5=4，解得：a=5，则这组数据的方差S2=15[（3﹣4）2+（5﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2故答案为0.8．【分析】根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式S2=1n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）213．【答案】-1【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴α+β=−1,α⋅β=−1,∴==1-1-1=-1.故答案为-1.【分析】先利用根与系数的关系及根的定义得到(α+β=−1,α⋅β=−1,α14．【答案】70°【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAD=∠AEB，

∵AB=AE，

∴∠B=∠AEB，

∴∠B=∠EAD，

∴△ABC≌△DAE（SAS），

∴∠AED=∠BAC，

∵AE平分∠DAB，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB=∠B，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE=60°，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=60°+10°=70°，

∴∠AED=70°，

故答案为：70°.

【分析】利用SAS证出△ABC≌△DAE，得出∠AED=∠BAC，再证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=60°，从而得出∠BAC=∠BAE+∠EAC=70°，即可得出∠AED=70°.15．【答案】3【知识点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH=90°，∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC，∠FHE=∠EDC=90°，∴△EFH≌△EDC(AAS)，∴EH=DC=2，FH=ED，∴AF=A∴当AE=1时，AF的最小值为32故答案为：32【分析】过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≅ΔEDC，进而利用勾股定理解答即可.16．【答案】22【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC+∠AFC＝180°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EFA＝∠EFG＝45°，∵EH⊥FA，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCF，∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，∴△AON≌△COF（ASA），∴AN＝CF，∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，∵EF＝2FH，∴AN+AF＝2EF.∵AN＝1，AF＝3，∴EF＝22，故答案为：22.【分析】连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E.由Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝2FH，即可解决问题.17．【答案】（1）解：27=3=（2）解：1====【知识点】二次根式的混合运算【解析】【分析】(1)先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；(2)先运用二次根式的性质化简、运算二次根式的乘除法，然后合并同类二次根式解答即可.18．【答案】（1）解：3∵△=∴x=∴（2）解：(x-1)(x+3)+5=0，将一元二次方程变为一般形式为：x∵△=∴原方程无实数解.【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程【解析】【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先将方程变为一般形式，然后用公式法解一元二次方程即可.19．【答案】（1）50人；30（2）解：这组数据的平均数是：20×16%+25×24%+30×30%+35×20%+40×10%=29.2，因为30在这组数据中出现次数最多，所以众数是30，

将数据排列后，居于中间的两个数都是30，

即中位数是30+302【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数【解析】【解答】解：(1)8+12+15+10+5=50(人)，m%=1−16%−24%−20%−10%=30%,故答案为：50，30；【分析】【分析】(1)根据条形统计图中的数据，可以计算出本次调查的人数，再根据扇形统计图中的数据，可以得到m的值；(2)根据条形统计图中的数据，可以得到这组数据的平均数、众数和中位数；20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC‖AB,DC=AB,∵CF=AE,

∴CD−CF=AB−AE,∴DF=BE且.DC‖AB,∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⟂AB,∴∠DEB=9∴平行四边形BFDE是矩形；（2）解：·∵∠DAB=60∘,AD=4,DE⊥AB,

由(1)得：四边形DFBE是矩形，

∴BF=DE=2∵AF平分∠DAB，

∴∠FAB=12∴ABCD的面积=AB×DE=6×2​​​​​​【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；平行四边形的面积【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到DC∥AB，DC=AB，然后根据线段的和差得到DF=BE，进而可得BFDE是平行四边形，再根据∠DEC即可得到平行四边形BFDE是矩形；

（2）根据直角三角形的两锐角互余得到∠ADE=30°，再根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AE和DE长，再利用角平分线的定义得到∠FAB=30°，进而求出AB长，根据矩形的面积公式计算即可.21．【答案】（1）解：设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，则每件商品的利润为：(60-50+x)元，总销量为：(200-10x)件，商品利润为：y=(60-50+x)(200-10x)，=(10+x)(200-10x)，∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0<x≤12且x为正整数；（2）解：y=−10x故当x=5时，最大月利润y=2250元。这时售价为60+5=65(元).【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题【解析】【分析】(1)根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式.(2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式，进而得出当x=5时得出y的最大值.22．【答案】（1）解：∵直线y=−3∴C(5，0)，D(0，3)，∵抛物线经过点D，

∴解得：t=±2，∵抛物线经过点A(3，0)，

∴解得：t=2或4，

∴t=2,

∴y=x−22−1=（2）解：设P(t,t2−4t∴PH=−35∴当t=1710时，S△CDP取得最大值（3）解：∵当1≤x≤3时，抛物线y=x−t∴可分三种情况：①当t<1时，1−t解得：t=-1或t=3(舍去)；

②当1≤t≤3时，该函数的最小值为-1，不符合题意；③当t>3时，3−t解得：t=5或t=1(舍去)；综上所述，t的值为--1或5.【知识点】二次函数的最值；一次函数图象与坐标轴交点问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；分类讨论【解析】【分析】(1)先求出直线y=−35x+3与x轴和y轴的交点坐标，将点A、D的坐标分别代入求出t的值，即可求得答案；

(2)设Ptt2−4t+3,过点P作PH‖y轴，交CD于H，则Ht−35t+3,得出PH=−t223．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为“对垂四边形”，

∴AC⟂BD,

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90∘,由勾股定理得，AD（2）证明：∵∠BAC=∠BDC,∠AOB=∠COD,

∴∠3=∠ACD,

∵∠3=∠1+∠2,∠ACD=∠ACE+∠2,

∴∠1=∠ACE,

∴∠BOC=∠BEC=90∘∴四边形ABCD为“对垂四边形”；（3）解：过点A作AH⟂DC,，交CD延长线于点H，设CD=X，则.BC=∵四边形ABCD为“对垂四边形”，.AD=3，

∴AB2+CD2=AD2+BC2,

∴AB2∴x1∴CD的长度1.【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；垂美四边形模型【解析】【