浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学

浙江乐清市荆山公学等校2025-2026学年下学期高三模拟卷数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=2,3，B=x∣x2−3x−m=0A．2,3 B．−1,2,3 C．−3,2,3 D．1,2,32．复数11−3iA．−310 B．−110 C．3．“a>1”是“函数fx=x+aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要4．若x=a+lg2，y=a+12lg2A．−2 B．2 C．−3 D．35．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（）A．16 B．24 C．32 D．486．已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为（）A．12 B．33 C．237．已知F1与F2分别是椭圆C:x2aA．34 B．23 C．538．定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，f(−1)=−13，对于任意的实数x均有ln3⋅f(x)<f'A．（1，+∞） B．（−1，+∞）C．（−∞，−1） D．（−∞，1）二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．下列命题正确的是（）A．∃a,b∈R，a−2B．若a,b>0，且ab=a+b+3，则ab的最小值是9C．a≥b>−1，则aD．ab≠0是a210．已知函数f(x)=cosA．f(x)=B．f(x)在区间(0,πC．若f(x)在区间(0,π)上恰有一个极值点，则ω的取值范围是(D．若f(x)在区间(0,π)内没有零点，则ω的取值范围是(0,1)11．已知四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD,AD⊥CD,AC=4，四棱锥P−ABCD的外接球的球心为O．记四棱锥P−ABCD,O−ABCD的体积分别为V1,V2，三棱锥A．AB⊥BPB．VC．VD．若二面角P−AB−C的平面角大小为45°，则V4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在数列{an}中，a1=2，am+n13．如图所示，已知△ABC中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC=8，AP⋅AR=20，则14．在平面直角坐标系xOy中，已知P(32，0)，A，B是圆C：x2+四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表：经验丰富教师经验不丰富教师总计优秀200150350合格10050150总计300200500（1）根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？（2）若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2=nα0.10.050.010.001x2.7063.8416.63510.82816．在四面体P−ABC中，∠ACB=90∘,AC=BC=2,PA⊥底面ABC,M、N、Q分别是PB、PA、BN的中点，点E在线段PC（1）求证：EQ//平面ABC；（2）若三棱锥P−ABC的体积为43，求平面MAC与平面ACB17．某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE.根据自行车比赛的需要，需预留出AC，AD两条服务通道(不考虑宽度)，DC，CB，BA，AE，ED为赛道，∠ABC=∠AED=2π3，∠BAC=π4，BC=26（1）若cos∠CAD=35，求服务通道（2）在（1）的条件下，求折线赛道AED的最大值(即AE+ED最大).(结果保留根号)18．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A处的切线为l，两焦点F1，F2在l上的射影分别为P，Q.我们常常把过切点A且与切线l垂直的直线叫做法线，它平分∠F1AF2，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点（如图），记PF1=d1（1）求证：S0（2）试探究d1（3）当点A不在x轴上时，是否存在常数λ∈R，使得S1（4）若椭圆E的离心率为32，且当θ=60°时，四边形PF1F219．已知a>0，函数f(x)=ax−xe（I）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程：（II）证明f(x)存在唯一的极值点（III）若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．

答案解析部分1．【答案】D【知识点】元素与集合的关系；并集及其运算；交集及其运算【解析】【解答】解：因为A∩B=2，所以2∈B将2代入可得4−6−m=0，解得m=−2，此时B=x∣x2故答案为：D.【分析】由题意可得2∈B，将2代入解得m=−2，求得m=−2，再根据集合的并集运算求解即可.2．【答案】D【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】z=11−3i=1+3i1−3i1+3i=【分析】根据复数的运算法则需要进行化简得到z=13．【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的单调性及单调区间【解析】【解答】函数fx=x+a2的单调递增区间为[−a,+∞），由函数fx在所以“a>1”是“函数fx=x+a故答案为：A．【分析】先根据二次函数的对称轴求出单调性，从而确定出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义判断谁可以推出谁即可得到答案.4．【答案】C【知识点】对数的性质与运算法则；等比中项【解析】【解答】x=a+lg2，y=a+12lg2，z=a+2lg2成等比数列，所以y2=xz，即a+12lg22=a+lg2a+2lg2，整理得故公比为q=yx=故答案为：C【分析】利用等比中项得出关系y2=xz，代入x，y，z值并进行整理得a=−75．【答案】C【知识点】排列、组合的实际应用【解析】【解答】前两次测试的是一件稳定的，一件不稳定的，第三件是不稳定的，共有种方法．【分析】本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际情况结合排列组合公式计算即可.6．【答案】C【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用【解析】【解答】解：设球半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，如图所示：则R2=r2+h22=1，即r22+r故当圆柱的体积最大时，h2=4故答案为：C.【分析】设球半径为R，圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，作出立体图形，由勾股定理R2=r7．【答案】C【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：设|NF1|=n，则|MF1|=2n，|MF2|=2a−2n，|N所以9n2+4a2所以|MF1|=2a3所以4c2=4a故答案为：C

【分析】利用椭圆的定义（椭圆上点到两焦点距离和为2a）结合向量垂直的性质（勾股定理），建立关于a、c的齐次方程，进而求解离心率。8．【答案】A【知识点】奇函数与偶函数的性质；利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】y=f(x−12)+1的图像关于点（12，1）对称，所以y=f(x)是奇函数，

因为对任意的实数所以对任意的实数x均有ln3⋅f(x)−f'(x)<0成立，

令所以gx在R上递增，因为g1=f1故答案为：A【分析】由已知得到y=f(x)为奇函数，构造函数gx=fx3x，通过求导以及ln3⋅f(x)<f'9．【答案】A,B,C【知识点】充要条件；命题的真假判断与应用；一元二次不等式；基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】A、当a=2,b=−1时，不等式成立，A符合题意；B、因为a,b>0，且ab=a+b+3，所以ab=a+b+3≥2ab+3，

所以(ab)2−2ab−3≥0，解得ab≥3C、a1+a−b1+b=a(1+b)−b(1+a)(1+a)(1+b)=a−bD、当a=0,b≠0时，a2+b2≠0故答案为：ABC.【分析】对于A，代入特殊值，当a=2,b=−1时，只有有一个真的就说该命题为真，就可判断真假；对于B，利用基本不等式以及解一元二次不等式可判断真假；对于C，直接利用作差法判断；对于D，当a=0,b≠0时，可判断真假.10．【答案】A,B【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；辅助角公式【解析】【解答】A、fxB、当x∈0,π6ω时，ωx+π6∈π6,π3C、由ωx+π6=π2+kπ得fx的极值点为x=π3ω+kπD、fx在区间0,π无零点，即sinωx+π6=0在0,π无解，

由ωx+π6=kπ得x=kπ−π6ωk∈Z，当k=1故答案为：AB.【分析】将fx通过降幂公式以及辅助角公式进行化简为f11．【答案】A,B,D【知识点】球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：A、因为四棱锥P−ABCD有外接球，所以四边形ABCD有外接圆，

因为AD⊥CD，所以AB⊥BC，因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

所以PC⊥AB，而PC∩BC=C，PC,BC⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC，

又PB⊂平面PBC，所以AB⊥BP，故选项A正确；B、因为PC⊥平面ABCD，所以球心O到平面ABCD的距离等于12PC，所以C、B,D均在以线段AC为直径的圆上，但△ACD,△ACB面积无任何关系，不能确定V1D、因为AB⊥BP,AB⊥BC，所以∠PBC是二面角P−AB−C的平面角，即∠PBC=45∘，

令PC=BC=a，AB==1当且仅当a2=32−2a2，即a=4故选：ABD.【分析】由AB⊥BC，PC⊥AB，利用线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PBC，进而利用线面垂直的性质可得AB⊥BP即可判断选项A；由PC⊥平面ABCD可得球心O到平面ABCD的距离等于12PC，利用锥体的体积计算可判断选项B和选项C；由AB⊥BP,AB⊥BC可知∠PBC是二面角P−AB−C的平面角，且12．【答案】10【知识点】等差数列的通项公式【解析】【解答】由a1=2，am+n=a所以数列{an}又k为正整数，所以akak+1=2k×2(k+1)=440，即k(k+1)=110，解得故答案为：10．

【分析】由题意令m=1，则an+1−an=13．【答案】8【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：因为AP=AQ+QP则AB⃗故答案为：8.【分析】根据平面向量的线性运算，结合向量的数量积运算求解即可.14．【答案】10【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】∵PA=PB∴PC⊥AB设圆心C到直线AB距离为d，则|AB|=2所以S令y=(36−d当0≤d<4时，y'>0；当4≤d<6时，y'≤0，因此当d=4时，y取最大值，即故答案为：10【分析】根据条件得PC⊥AB，再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.15．【答案】（1）解：零假设H0由题意χ2所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关；（2）解：由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10×300500=6则X可取的值有0,1,2,3,4，PX=0=CPX=2=C62X的分布列如下表：X01234P18341则EX【知识点】分层抽样方法；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算χ2（2）根据分层抽样先计算经验丰富和经验不丰富的人数，由题意可得X可取的值有0,1,2,3,4，再根据超几何分布求出对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式求解即可.（1）零假设H0由题意χ2所以根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.（2）由题意，10名教师中经验丰富的教师人数为10×300500=6则X可取的值有0,1,2,3,4，PX=0=CPX=2=C62X的分布列如下表X01234P18341所以EX=1×816．【答案】（1）证明：取AB的中点为D，在线段AC上取点F，使得AF=3FC，连接EF、FD、QD.因为PE=3EC，所以PEEC所以EF∥PA，且EF=1因为Q和D分别为BN和AB的中点，所以QD∥PA，且QD=因此EF∥QD且EF=QD，所以四边形EQDF是平行四边形，因此EQ∥DF．又因为EQ⊄平面ABC,DF⊂平面ABC，所以EQ//平面ABC.（2）因为∠ACB=90∘，所以因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P−ABC的高为h=PA，又因为V故PA=2.连接MD．因为M,D分别是PB,AB的中点，所以MD∥PA，又因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接MH因为MD⊥平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以MD⊥AC，又因为AC⊥DH，且MD∩DH=D，所以AC⊥平面MDH.又因为MH⊂平面MDH，所以AC⊥MH，又AC⊥DH，所以∠MHD即为二面角M−AC−B的平面角，因为MD⊥平面ABC，且DH⊂平面ABC，所以MD⊥DH．故△MDH为直角三角形．在Rt△MDH中，tan∠MHD=MDDH所以平面MAC与平面ACB的夹角大小为45∘【知识点】直线与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角；锥体的体积公式及应用【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例及中位线性质可得EF∥QD且EF=QD，利用一组对边平行且相等即可证明出平行四边形从而得到另一组对边平行即得出线线平行，再结合判定定理可证明出线面平行；（2）作辅助线，先证明∠MHD即为二面角M−AC−B的平面角，再通过边长关系再解直角三角形即可.（1）略（2）因为∠ACB=90∘，所以因为PA⊥底面ABC，所以三棱锥P−ABC的高为h=PA，又因为V故PA=2.连接MD．因为M,D分别是PB,AB的中点，所以MD∥PA，又因为PA⊥平面ABC所以MD⊥平面ABC过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接MH因为MD⊥平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以MD⊥AC，又因为AC⊥DH，且MD∩DH=D，所以AC⊥平面MDH.又因为MH⊂平面MDH，所以AC⊥MH，又AC⊥DH，所以∠MHD即为二面角M−AC−B的平面角，因为MD⊥平面ABC，且DH⊂平面ABC，所以MD⊥DH．故△MDH为直角三角形．在Rt△MDH中，tan∠MHD=MDDH所以平面MAC与平面ACB的夹角大小为45∘17．【答案】（1）在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC所以AC=BC⋅在△ACD中，由余弦定理得CD所以64=AD2+36−解得AD=10km所以服务通道AD的长为10km；（2）在△ADE中，由余弦定理得AD由1知AD=10km，又∠AED=所以100=AE2+E因为AE⋅ED≤(AE+ED)24则(AE+ED)2≤400当且仅当AE=ED=10所以折线赛道AED的最大值为20【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）利用正弦定理求出AC的长度，再结合余弦定理即可求解AD的长度；（2）利用余弦定理求出角，再次用余弦定理建立关系结合，结合基本不等式变形公式即可求解最值.（1）在△ABC中，由正弦定理得ACsin∠ABC所以AC=BC⋅在△ACD中，由余弦定理得CD所以64=AD2+36−解得AD=10km所以服务通道AD的长为10km；（2）在△ADE中，由余弦定理得AD由1知AD=10km，又∠AED=所以100=AE2+E因为AE⋅ED≤(AE+ED)24则(AE+ED)2≤400当且仅当AE=ED=10所以折线赛道AED的最大值为20318．【答案】（1）记AF1=m，AF2=n，在△AF1F又m2+n2+2mn=4S0（2）由题意得∠P故d1=mcosθ2，由（1）知，mn=2b21+cosθ，则当A为椭圆左右顶点时，d1故d1（3）存在，由AP=d1tanθ则S1S2=1（4）d1+d则S四边形则a2=16，由e=32，知椭圆E的方程为x2【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义，余弦定理和三角形面积公式以及二倍角公式和同角三角函数公式化简即可得结果；（2）结合（1）的结论，再求出d1