小学数学竞赛 还原问题（二）

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本讲主要学习还原问题.通过本节课的学习，可以使学生掌握倒推法的解题思路以及方法，并会运用

倒推法解决问题.

1.掌握用倒推法解单个变量的还原问题.

2.了解用倒推法解多个变量的还原问题.

3.培养学生“倒推”的思想.

一、还原问题

已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以

新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题.

还原问题又叫做逆推运算问题.解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的

叙述顺序由后向前逆推计算.在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推.

二'解还原问题的方法

在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反.

方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数.

关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变

减为加，变乘为除，变除为乘.列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.

模块一、单个变量的还原问题

【例1】刚打完篮球，冬冬觉得非常渴，就拿起一大瓶矿泉水狂喝.他第一口就喝了整瓶水的一半，第二

口又喝了剩下的！，第三口则喝了剩下的工，第四口再喝剩下的!，第五口喝了剩下的此时

3456

瓶子里还剩0.5升矿泉水，那么最开始瓶子里有几升矿泉水？

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】最开始瓶子里有矿泉水：0.5+3（升）.

【答案】3升

【例2】李白提壶去买洒，遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。壶中原有（）斗酒。

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】可逆思想方法，走美杯，六年级

【解析】设李白壶中原有x斗酒，则三次经过店和花之后变为0

2xl2x（2x-l）-l］-l=0

8x-7=0

7

x=­

8

7

即壶中原有，斗酒.

8

【答案】,7斗

［例3］有60名学生，男生、女生各30名,他们手拉手围成一个圆圈.如果让原本牵着手的男生和女生

放开手，可以分成18个小组.那么,如果原本牵着手的男生和男生放开手时，分成了个

小组.

【考点】单个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】迎春杯，四年级，初赛，3题

【解析】方法一：男生和女生放手分成18个组,说明有男生被计算18次，男生与男生放开手后分成的组数和

男生数相同，但是因为是围成了一圈，所以刚刚计算人数会被算成了两次，所以按照逆推的原则，

原来有男生30人，被计算30x2=60（次），所以（60-18）+2=21（次）分成了21组。

方法二：60名学生围成圈，每个人与相邻的同学牵手，那么有60对牵着的手，其中男生与女生牵手

的有18对，假设男生与男生牵手的有x人，那么，参与围圈的男生一共有（2x+18）+2=x+9人，所

以x+9=30,x=21.那么原来牵手的男生和男生放手，分成了21个小组.

【答案】21个小组

模块二、多个变量的还原问题

【例4】甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，

于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。这时四个组的书

一样多。这说明甲组原来有书本。

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，1试

【解析】甲得到4本，乙失去1本，丙失去2本，丁失去1本后，四个人书一样多，为280+4=70,所以甲原

来有70-4=66本书

【答案】66本书

【例5】一群小神仙玩扔沙袋游戏，他们分为甲、乙两个组，共有140只沙袋.如果甲组先给乙组5只，

乙组又给甲组8只，这时两组沙袋数相等.两个组原来各有沙袋多少只？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲乙两组的沙袋经历了两次交换.第二次交换后两组沙袋相等，又知沙袋总数为140只，所以这时

两组各有沙袋70只.解答时可以从70开始倒推.列表倒推如下：

甲如乙如

最后结臬140-2=70140-2=70

第二次交换前70-8=6270+8=78

第一次交换前原来）62+5=6778-5=73

解决此类问题的关键是找到从哪里开始倒推.因为甲乙两组的沙袋经历了两次交换后数量相等，所

以应从两组各有沙袋70只开始倒推.

【答案】甲67,乙73

【巩固】甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出

与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树28+2=14（棵），乙班有28+14=42（棵），如

果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树42+2=21（棵），甲班原有树14+21=35

（棵）.列表倒推如下：

【答案】甲班原有树35棵，乙班原有树21棵

【例6】有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆.现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和

乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次

又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆.照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好

都是32个.问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】我们从最后一步倒着分析.因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是

32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32+2=16（个）棋子，而甲堆的棋子数是

32+16=48（个），这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向.所

以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子.

乙堆棋子甲堆棋子

第三次移动后3232

4-2

第二次移动后16————►48

-2

第一次移动后40V一坟-----24

卜2

▼+24

原有棋子20————-44

采用列表法非常清楚.

1甲已

结果3232

第三次交换前4816

第二次交投前2440

第一次交换前4420

【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个

【巩固】有一个两层书架，一共摆放224本书，先从上层取出与下层本数同样多的书放入下层，再从下层现

有书中，取出与上层剩下的本数同样多的书放入上层，这算进行了一轮调整.若如此共进行了两轮

调整后，两层摆放书的本数相等，上层书架原来摆放本书，下层书架原来摆放本书.

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】学而思杯，3年级，第8题，可逆思想方法

【解析】还原法

结果：上层112本；下层112本

上层56本：下层168本

上层140本；下层84本

上层70本；下层154本

上层147本；下层77本

【答案】上层147本，下层77本

【例7】三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三

人各有240元，三人原来各有存款多少元？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲：240+40-20=260（元）；乙：240-40+30-70=160（元）；丙：240-30+20+70=300.

【答案】甲260元，乙160元，丙300元

【巩固】小巧、小亚、小红共有90个玻璃球，小巧给小亚6个，小亚给小红5个，小红给小巧8个，他们的

玻璃球个数正好相等.小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？

【考点】多个变量的还原问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由已知条件可知，小巧比原来多了2个，小亚比原来多了1个，小红少了3个，三人一样多时，都是

90+3=30（个），所以小巧原来有30-2=28（个），小亚原来有30-1=29（个），小红原来有30+3=33

（个）.

【答案】所以小巧原来有28个，小亚原来有29个，小红原来有33个.

【例8】三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三

棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各

有几只鸟？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36+3=12（只），第一棵树上的鸟，

先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就

能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原

来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后

又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数.列式：现在一

样多的：36+3=12（只），第一棵树上的小鸟只数：12—10+4=6（只）或12-（104=）（只），

第二棵树上的小鸟只数：12+8—4=16（只）或12+（8-4）=16（只），第三棵树上的小鸟只数：

12+10-8=14（只）或12+（10-8）=14（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，

第三棵树上有14只小鸟.

【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟

【巩固】三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一

棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多.原来每棵树上各有几只鸟？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】三棵树上的鸟同样多的只数：27+3=9（只），第一棵数上鸟的只数：9-4+2=7（只），第二棵数

上鸟的只数：9-2+3=10（只），第三棵数上鸟的只数：9-3+4=10（只），第一棵数上有7只鸟，

第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟.

【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟

【巩固】3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里

取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多.求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变.变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出

现在每个笼里的是78+3=26（只）.根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里“，可以知道

第1个笼子里原来养了26+8=34（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里“，得

出第2个笼子里有：26+6-8=24（只），第3个笼子里原有26-6=20（只）.

【答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。

【巩固】3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里

取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多.求3个笼子里原来各养了多少只兔子？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变.变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出

现在每个笼里的兔子是36+3=12（只）.根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里“，可以

知道第1个笼子里原来养了12+8=20（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，

所以第3个笼子里原有：12-6=6（只），第2个笼子里原有：36-20-6=10（只）.

【答案】第1个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。

【例9】张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李

给赵16本，赵给张2本.这时4个人的本数相等.他们原来各有多少本？

【考点】多个变量的还原问题【难度】3星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】解这道题应该先明白这样一个道理，他们共有课外读物200本，经过互相交换后，这200本书的总

数没有变化，仍然是200本.后来这4个人的本数相等时，每个人的本数是200+4=50（本）.

用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本

数减去，就得到各人原有课外读物的本数.

⑴张原有读物的本数：50+13—2=61（本）

⑵王原有读物的本数：50+18-13=55（本）

（3）李原有读物的本数:50+16-18=48（本）

（4）赵原有读物的本数：50+2—16=36（本）

【答案】张原有读物61本，王原有读物55本，李原有读物48本，赵原有读物36本。

【例10】解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下

的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由条件“后来又调进8人‘'和''这时第一队还有30人“，可知不调进8人有30-8=22（人）.由“又抽调剩

下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有22x2=44（人）；由“抽

调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有44+35=79（人）：由“从第一队抽调一半人支援第二队”

后还有79人，可知第一队原有79x2=158（人）.

列式为：[（30-8）x2+35]x2=79x2=158（A）

还原问题有一个基本方法：列表法，教师可以再用列表法重新理一下题目。

【答案】158人

【例11】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，

水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是

3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】先求土星直径：［（3000+500）x2—20001x24=120000（千米）

再求地球直径：（120000-4800）+9=12800（千米），即：地球的直径是12800千米.

【答案】12800千米

【例12】有18块砖，哥哥和弟弟争着去搬.弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟搬得太多，

就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半，这时爸爸走过来，他从哥哥那拿走一半少2块,

从弟弟那儿拿走一半多2块，结果是爸爸比哥哥多搬了3块，哥哥比弟弟多搬了3块.问最初弟

弟准备搬多少块？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】先来看看最后爸爸、哥哥、弟弟各搬了多少块砖.如果爸爸给弟弟3块，那么3个人搬的砖数就一

样多了，都等于哥哥搬的砖数，所以最后哥哥搬了18+3=6（块），弟弟搬了6-3=3（块），爸爸搬了

6+3=9（块）.爸爸从弟弟处搬了一半多2块，所以，爸爸从弟弟处搬之前，弟弟的砖数是

（3+2）x2=10（块），哥哥的砖数是18-10=8（块）；弟弟从哥哥处搬了一半，这“一半”应与哥哥剩下

的砖数一样，是8块，所以，弟弟从哥哥处搬之前，哥哥的砖数是8x2=16（块），那时，弟弟的砖数

是18-16=2（块）；哥哥从弟弟处搬了一半，这“一半”应与弟弟剩下的砖数一样，是2块.所以，哥

哥从弟弟处搬之前，弟弟处的碣数是2x2=4（块），那时，哥哥的砖数是18-4=14（块）.所以，最初，

弟弟准备搬4块砖.即：

⑴最后，爸爸、哥哥和弟弟分别搬了多少块砖：哥哥：18+3=6（块），爸爸：6+3=9（块），弟弟：

6-3=3（块）

⑵爸爸从哥哥、弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：（6-2）x2=8（块），

弟弟：（3+2）x2=10（块）

（3）弟弟从哥哥处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：哥哥：8x2=16（块），弟弟：18-16=2（块）

⑷哥哥从弟弟处搬之前，哥哥、弟弟各有多少块：弟弟：2x2=4（块），哥哥：18-4=14（块）

【答案】4块

【巩固】有砖26块，兄弟二人争着去挑.弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，

就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟

弟多挑2块.问最初弟弟准备挑多少块？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】先算出最后各挑几块：（和差问题）哥哥是（26+2）+2=14（块），弟弟是26—14=12（块），然后来

还原：（1）哥哥还给弟弟5块：哥哥是14—5=9（块），弟弟是12+5=17（块）；（2）弟弟把抢走的一

半还给哥哥：抢走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就应该是9+9=18（块），弟弟是17-9=8

（块）；⑶哥哥把抢走的一半还给弟弟：那么弟弟原来就是8+8=16（块）.

【答案】16块

【例13】口渴的三个和尚分别捧着一个水罐.最初，老和尚的水最多，并且有一个和尚没水喝.于是，老

和尚把自己的水全部平均分给了大、小两个和尚；接着，大和尚又把自己的水全部平均分给了老、

小两个和尚；然后，小和尚又把自己的水全部平均分给了另外两个和尚.就这样，三人轮流谦让

了一阵.结果太阳落山时，老和尚的水罐里有10升水，小和尚的水罐则装着20升水.请问：最初

大和尚的水罐里有多少升水？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】首先，因为每次分水都是全部平分给另外两个人，所以每次分完水以后分水的人自己一定没有水

T.于是太阳落山时老和尚、大和尚和小和尚分别有水10、0、20升.列表分析如下：

单位：升老和尚大和尚小和尚

最后的水量10020

最后一次分水前02010

倒数第二次分水前20100

倒数第三次分水前10020

回到最后的状态，于是发现三个人的水量是循环变化的，一共只有这三种状态.又因为已知最初老

和尚水最多，所以最初的状态与倒数第二次分水前相同.所以大和尚的水罐里最初有10升水.

【答案】10升

【例14】兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数.如果老三先把所得的桔子的

一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔

子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同.问：兄弟三人的年龄各多少岁？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24+3=8（个）桔子.由此列

表逆推如下表：

老大老二老三

初始状态14-(2+2)=138-(2+2)=72x2=4

老三分过后16-(4+2)=144x2=84-(4+2)=2

老二分过后8x2=168-(8+2)=48-(8+2)=4

老大分过后888

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13,7,4个，现在的年龄依次为16,10,7岁.

逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2;另两人各增加拿出桔子的人拿

出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半

【答案】三个人的年龄依次为16,10,7岁

【例15】甲、乙、丙3人共有192张邮票.从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那

么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙

原来各有多少张？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相

同，即3人各有邮票：192+3=64（张）.第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交

换前甲有邮票64+2=32（张），丙有邮票：64+32=96（张），依此类推，就可以推出答案了.最

后相等时各有192+3=64（张），列表倒推如下：

甲（张）乙（张）丙（张）

最后646464

前次326496

再前次3211248

原来885648

【答案】甲、乙、丙原有邮票数依次为88,56,48张

【巩固】有甲、乙、丙三堆苹果共96个，第一次从甲堆中取出与乙堆一样多的苹果放入乙堆；第二次再从

乙堆中取出与丙堆一样多的苹果放入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的苹果数相同的苹果放

入甲堆中，这时三堆苹果数相等.原来甲堆有个苹果，乙堆有个苹果，丙对有

个苹果.

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】填空

【关键词】学而思杯，2年级，第12题，可逆思想方法

【解析】如下表：

i1甲乙丙

442824甲堆放入乙堆前（最初）

165624乙堆放入丙堆前

163248丙堆放入甲堆前

323232最后

【答案】甲44,乙28,丙24

[例16]A、B、C、D、E、F、G七个人都各有一些珠子。从A开始依序进行以下操作，每次都分给其他六

个人与他们当时手中现有珠子数量一样多的珠子。当G操作后，每个人手中都恰好各有256颗珠

子，请问3原先有多少颗珠子？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法，2008年，台湾，小学数学竞赛

【解析】本题应该采用倒推法，我们用表格形象的表示、

ABCDEFG

最终结果256256256256256256256

G操作之前1281281281281281281024

F操作之前6464646464960512

E操作之前32323232928480256

D操作之前161616912464240128

。操作之前8890445623212064

B操作之前49004522281166032

力操作之前898450226114583016

于是。之前的珠子个数是114颗。本题没有要求求出全部七个人之前的珠子个数，所以也可以简化

一下求解过程，因为最终结果。有256颗珠子，所以在G操作之前，D的珠子个数应该减半为128颗，

在尸操作前应该再减半为64颗，在£操作前应该再减半到32颗，在。操作前，其余所有人的珠子

应该都只有操作后的一半，也就是其他所有人的珠子数目应该减半，也就是（256x7-32）+2=880,

这些都是£＞分给他们的，所以在。操作前，。应该有880+32=912颗珠子，于是在C操作前，D的

珠子应该减半到912+2=456,于是在3操作前，D的珠子数应该减半到456+2=228,于是在A操

作前，。的珠子数目应该减半到228+2=114颗。也就是说。之前的珠子数目是114颗。

【答案】114颗

【例17】一班、二班、三班各有不同数目的图书.如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这

两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增

加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍.这时，三

个班的图书数目都是48本.求三个班原来各有图书多少本？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理.在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一

个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三

个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目.依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加

一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班.其余

各次，以此类推，把倒推解答的过程用下表表示：

一班二班三班

结果484848

第三次分之前242496

第二次分之前128448

第一次分之前784224

【答案】三个班原来各有图书78本，42本，24本

【巩固】3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌.第一局，甲输给了乙和丙，

使他们每人的钱数都翻了一番.第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍.第

三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍.结果，这3位探险家每人都赢了两局而

输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的.细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100

元.你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，利用倒推法.

甲乙丙

第三局后888

第二局后4164

第一局后2814

开妫1347

从开始到最后甲的份数少了（13-8）份，说明每份是100+（13—8）=20元.

所以刚开始时，甲有13x20=260（元），乙有4x20=80（元），丙有7+20=140（元）.

【答案】刚开始时甲有260元，乙有80元，丙有140元.

【巩固】A、B、C三个油桶各盛油若干千克.第一次把A桶的一部分油倒入2、C两桶，使B、C两桶内的

油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、4两桶内的油分别增加到第

二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、8两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第

三次到之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克.问A、8、C三个油桶原来各有油多少千

克？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法，第四届，小数报

【解析】用“倒推法'’列出下表，从表中可以看出：原来4桶有油26千克，8桶有油14千克，C桶有油8千

克.

ABC

结果161616

第三次倒之前8832

第二次倒之前42816

第一次倒之前26148

【答案】原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克.

【巩固】乙丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些，使自己的糖豆增加了一倍；接着乙从丙处取来一些,

使自己的糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些，也使自己的糖豆增加了一倍.现在三人的糖豆

一样多.如果开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】先假设后来三个人都是4份，还原后得到甲、乙、丙分别是3份，5份，4份，实际上甲原来有51

粒，51+3=17,那么我们可以把1份看成17粒，所以乙最开始有糖豆17x5=85（粒）.

【答案】85粒

【巩固】甲、乙、丙三人各有铜板若干枚，开始甲把自己的铜板拿出一部分给乙、丙，使乙、丙的铜板数各

增加了1倍；乙把自己的铜板拿出一部分给甲、丙，使甲、丙的铜板数各增加了1倍；丙把自己的

铜板拿出一部分给乙、甲，使乙、甲的铜板数各增加了1倍，这时三人铜板数都是8枚，原来每人

各有几枚？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】甲13枚，乙7枚，丙4枚.

【答案】甲13枚，乙7枚，丙4枚

【例18】三个容器各放一些水，第一次从第一个容器倒一些水到另两个容器，使得它们的水分别增加到原

来的2倍与3倍，第二次从第二个容器倒一些水到第一个与第三个容器中，使它们的水分别增加

到3倍与2倍，第三次从第三个容器中倒一些水到第一个与第二个容器中，使它们的水都增加到2

倍，这时三个容器中的水都为96毫升，原来三个容器中各有多少毫升水？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】可以列一个表，使每一步之间的关系一目了然，下列的表是从后面向前倒推的，具体的填法见下面

行的第1个数是48+3=16,第3个数是196+2=96,第2个数是48+(48-16)+(192-96)=176,

第四行第2个数是176+2=88,第3个数是96+3=32,

第1个数是16+(176-88)+(96-32)=168,三个容器原来有水168毫升、88毫升、32毫升。

【答案】三个容器原来分别有水168毫升、88毫升、32毫升

【例19】某工厂有A、B、C、D、E五个车间，人数各不相等.由于工作需要，把8车间工人的［调入A

2

车间，C车间工人的,调入3车间，。车间工人的」调入C车间，E车间工人的［调入。车间.现

346

在五个车间都是3()人.原来每个车间各有多少人？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】采用倒推法，列表如下

单位：人幺车间8车间C车间。车间E车间

调整结束后3030303030

E往。调前3030302436

D往C调前3030223236

C往B调前3019333236

8往月调前1138333236

所以原来A、B、C、D、E车间分别有11、38、33、32、36个工人.解这种还原问题的关键是

从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减

为加，变乘为除，变除为乘.列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数

学中常用的思维方法.

【答案】原来A、B、C、D、E车间分别有11、38、33、32、36个工人

【例20】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均

数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008,

且所有写过的数都是整数.请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159,所以

写到黑板上的最后一个数是159+（2+1）=53.

假设剩下的两个数中靠前的一个是A,靠后的一个是106-A,那么可以依次推出：

第7个被擦掉的数是2（106-A）-A=212—3A,

第6个被擦掉的数是2A-（212-3A）=54-212,

类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为636—1L4、2L4—1060、2332-43A.85A-4452,

最先被擦掉的数是2008-（2332—43A）-（85A-4452）=4128-424,

由题意，以上这些数均为正整数.

由2332—43A>0及A为整数可以推出AW54,

由854一4452>0及4为整数可以推出A253,

另一方面，如果4=53，有绝尔展4较$=，与条件中最初三个整数不同这一条件矛盾,

所以应该有A=54.

此时最开始写在黑板上的第一个数为4128-42A=1860.

【答案】1860

【例21】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚,

再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？

【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答

【关键词】可逆思想方法

【解析】本题的数量关系更加隐