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2026届湖南长沙大学附属中学高三五月月考数学试卷一、单选题1.若集合，，则（）

A．B．C．D．2.已知复数，则（）

A．B．2C．D．3.已知向量，设与的夹角为，则（）

A．B．C．D．4.若，则（）

A．B．C．D．5.设，则下列选项正确的是（）

A．B．C．D．6.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（）

A．2B．C．D．7.已知函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是（）

A．B．C．D．8.等差数列和等比数列都是各项为正实数的无穷数列，且，，的前n项和为，的前n项和为，下列判断正确的是（）

A．是递增数列B．是递增数列C．D．二、多选题9.已知样本数据的平均数为2，方差为1，则下列说法正确的是（）

A．数据，的平均数为6B．数据，的方差为9C．数据的方差为1D．数据的平均数为510.如图，平面ABCD，，，，，，，则（）

A．B．平面ADEC．平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为三、单选题11.已知函数的定义域为，，则（）

A．B．C．为偶函数D．为奇函数四、填空题12.若平面直角坐标系内两点满足:（1）点都在的图象上;（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”.已知函数，则的“姊妹点对”有__________个.13.已知函数的定义域为，对于任意实数均满足，若，，则________________.14.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左支于A，B两点，，，则双曲线的离心率为______．五、解答题15.如图，在四棱锥中，平面为等边三角形，，点为棱上的动点．(1)证明：平面；(2)当二面角的大小为时，求线段的长度．16.已知等比数列和等差数列，满足，，，．(1)求数列，的通项公式；(2)记数列的前项和为，数列的前项和为．证明：．17.已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线交曲线位于轴右侧的部分于不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.18.已知函数.(1)求的最小值；(2)设函数，讨论零点的个数.19.泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作.(1)设，且，求；(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；

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