1.2++常用逻辑用语+课件-2027届高三数学一轮复习

第一章

§1.2常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.考试要求课时精练落实主干知识探究核心题型内容索引落实主干知识1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的

条件，q是p的

条件p是q的充分不必要条件____________p是q的必要不充分条件pq且q⇒pp是q的

条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件pq且qp充分必要p⇒q且qp充要2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“

”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“

”表示.∀∃3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定__________________________∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)

×√√自主诊断×2.命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为A.∃x∈R，x2-x+2<0B.∀x∈R，x2-x+2≤0C.∃x∈R，x2-x+2≤0D.∀x∈R，x2-x+2<0√解析命题“∀x∈R，x2-x+2≥0”的否定为命题“∃x∈R，x2-x+2<0”.3.(2025·天津)设x∈R，则“x=0”是“sin

2x=0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√

4.设p：m-1≤x≤m+2，q：0≤x≤2.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是

.[0，1]

1.谨记两个常用结论(1)p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件.(2)命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假.2.理清一个关系“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，而B不能推出A，要注意区别上述两种说法的不同.微点提醒返回探究核心题型例1

(1)(2024·北京)设a，b是向量，则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√题型一充分、必要条件的判定解析由(a+b)·(a-b)=0，得a2-b2=0，即|a|2-|b|2=0，所以|a|=|b|，当a=(1，1)，b=(-1，1)时，|a|=|b|，但a≠b且a≠-b，故充分性不成立；当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0，故必要性成立.所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.(2)(2025·临沂模拟)已知f(x)=tanx，则对任意实数a∈(-1，1)，b∈(-1，1)，“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析因为f(x)=tan

x在(-1，1)上单调递增，且是奇函数，所以tan

a+tan

b>0⇔tan

a>-tan

b⇔tan

a>tan(-b)⇔a>-b⇔a+b>0，所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件.充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断.(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止.思维升华

√√√

例2

(1)(2026·哈尔滨模拟)下列四个选项中，使x>y成立的一个充分不必要条件是A.x2>y2 B.x|x|>y|y|C.lnx>lny D.ex>ey题型二充分、必要条件的应用√解析当x=-2，y=-1时，满足x2>y2，但x<y；当x=-1，y=-2时，满足x>y，但x2<y2.故x2>y2是x>y的既不充分也不必要条件，A错误；令f(x)=x|x|，则f(x)的定义域为R，∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，∴f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=x2，f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)在R上为增函数.由x|x|>y|y|可得x>y，由x>y可得x|x|>y|y|，故x|x|>y|y|是x>y的充要条件，B错误；解析∵y=ln

x在(0，+∞)上为增函数，ln

x>ln

y，∴x>y>0；当0>x>y时，ln

x，ln

y无意义，ln

x>ln

y不成立，故ln

x>ln

y是x>y的充分不必要条件，C正确；∵y=ex在R上为增函数，∴由ex>ey可得x>y，由x>y可得ex>ey，故ex>ey是x>y的充要条件，D错误.(2)(2025·白银模拟)已知p：“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为A.(-∞，-5]∪[3，+∞)B.(-∞，-5)∪(3，+∞)C.(-5，3)D.[-5，3]√解析因为p：(x-m)(x-m-3)>0，则x<m或x>m+3，q：x2-x-6≤0，即-2≤x≤3，又p是q的必要不充分条件，则m>3或m+3<-2，即m>3或m<-5.故实数m的取值范围为(-∞，-5)∪(3，+∞).求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.思维升华跟踪训练2

(1)已知p：-1<x<0，q：m-1<x<-3m.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是

.(-∞，0)

(2)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是

.(-∞，1)(-∞，1]解析因为p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分条件，则(-∞，a]

(-∞，1]，因此a<1，即实数a的取值范围是(-∞，1).若p是q的必要条件，则(-∞，a]⊆(-∞，1]，因此a≤1，即实数a的取值范围是(-∞，1].命题点1含量词的命题的否定例3

(多选)下列说法正确的是A.“菱形是正方形”是全称量词命题B.“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除”D.“A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件√√题型三全称量词与存在量词

命题点2含量词的命题的真假判断例4

(多选)下列命题为假命题的是A.∃x∈R，ln(x2+1)<0B.∀x>2，2x>x2C.∃α，β∈R，sin(α-β)=sinα-sinβD.∀x∈(0，π)，sinx>cos

x√√√

命题点3含量词的命题的应用例5已知命题“∃x∈R，ax2-ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是

.[0，4)

含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围.思维升华跟踪训练3

(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题√解析对于命题p，取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题，¬p是真命题；对于命题q，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题.

√√解析对于A，“∀x∈R，3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2-2<0”，故A正确；对于B，log3(2x+1)>2，即log3(2x+1)>log39，则2x+1>9，解得x>4，因为x>4⇒x>3，且x>3x>4，所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件，故B错误；对于C，命题是假命题，则命题的否定“∃x∈R，x2+(a-1)x+1<0”是真命题，即Δ=(a-1)2-4>0，解得a>3或a<-1，故C错误；

返回课时精练对一对答案12345678910111213141516题号12345678答案ABCCDCAC题号910111213答案BCABCBD∃x>0，ex≥x+2

题号14151617

18答案(-4，2)CACDCD1718一、单项选择题1.(2021·天津)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516答案知识过关171812345678910111213141516答案1718解析由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<-6，故必要性不成立，所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.2.(2025·周口质检)命题“存在偶数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是偶数”的否定为A.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数B.对任意的偶数a，数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数C.存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数是奇数D.不存在奇数a，使数据3，4，1，a，5，7的中位数不是偶数12345678910111213141516√答案1718

√12345678910111213141516

答案1718

√12345678910111213141516

答案1718

√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516

答案17186.(2025·朔州模拟)已知A，B为实数，则“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213141516解析当Ax2+By2=1表示双曲线时，AB<0，而当AB<0时，Ax2+By2=1表示的是双曲线，所以“AB<0”是“Ax2+By2=1为双曲线方程”的充要条件.答案17187.若“∃x∈(0，π)，sin

2x-ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为A.(-∞，-2] B.(-∞，2]C.(-∞，-2) D.(-∞，2)12345678910111213141516√答案1718解析依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin

2x-ksin

x<0”为假命题，则命题“∀x∈(0，π)，sin

2x-ksin

x≥0”为真命题，所以2sin

xcos

x≥ksin

x，则k≤2cos

x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤-2，所以k的取值范围为(-∞，-2].

√12345678910111213141516答案171812345678910111213141516答案1718

12345678910111213141516答案1718解析则Sn=nan+1-t·n(n+1)，有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1)，n≥2，两式相减得an=nan+1-(n-1)an-2tn，即an+1-an=2t，对n=1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.12345678910111213141516答案1718

12345678910111213141516答案1718

12345678910111213141516√√答案171812345678910111213141516答案1718

10.(2025·揭阳模拟)下列叙述中正确的为A.命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”B.∀x∈(0，+∞)，2x>log2xC.∀x∈R，4x2≥2x-1+3x2D.已知a，b∈R，则“|a+b|=|a|+|b|”的充要条件是“ab>0”12345678910111213141516√√答案1718√12345678910111213141516答案1718解析对于A，命题“∀x≤0，总有2x>x2”的否定是“∃x≤0，使得2x≤x2”，A正确；对于B，当x>0时，函数y=2x的图象在直线y=x的上方，函数y=log2x的图象在直线y=x的下方，则2x>log2x，B正确；对于C，因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，所以4x2≥2x-1+3x2恒成立，C正确；对于D，例如a=b=0，能推出|a+b|=|a|+|b|，即|a+b|=|a|+|b|不能推出ab>0，故D错误.11.下列说法正确的为A.设a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的必要不充分条件B.已知A={x|-1≤x≤2}，B={x|2x-a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不

必要条件，则实数a的取值范围是(4，+∞)C.若命题“∃x∈R，mx2+mx+1<0”是假命题，则0<m<4D.已知p：0<x≤1，q：4x+2x-m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值

范围为[6，+∞)12345678910111213141516√√答案171812345678910111213141516答案1718

12345678910111213141516答案1718

三、填空题12.命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是

.∃x>0，ex≥x+212345678910111213141516解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题，则命题“∀x>0，使得ex<x+2”的否定是“∃x>0，ex≥