小学六年级数学《积与因数关系的深度梳理与拓展》复习课教案

小学六年级数学《积与因数关系的深度梳理与拓展》复习课教案

一、教学背景与设计理念

（一）学情研判【基础】

本课时的授课对象为小学六年级学生。经过五年多的数学学习，学生已经熟练掌握了整数、小数、分数的乘法运算，具备了一定的观察、比较、分析和抽象概括能力。对于“积与因数的关系”，学生在四年级初步接触过“积的变化规律”（一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数，积也乘或除以这个数），在五年级学习小数乘法时，又进一步运用该规律解释了小数乘法的算理。然而，这些认知往往是点状的、零散的。进入六年级总复习阶段，学生需要在更高维度上对这一核心关系进行系统建构。他们面临的挑战在于：如何将规律从整数域推广到小数和分数域？如何处理因数是纯小数或真分数时积比另一个因数小的“反直觉”现象？如何灵活运用这种关系进行快速比较、判断和估算？这都需要通过本节复习课进行深度梳理与思维提升。

（二）设计理念【非常重要】

本节复习课并非简单的知识重现，而是基于“大单元教学”和“结构化教学”理念，对小学阶段所有与乘法运算相关的知识进行统整。设计遵循“回顾—梳理—建构—应用—拓展”的认知路径，以“关系”为内核，以“变化”为线索，引导学生从“变”与“不变”的辩证角度，深刻理解乘法运算的本质。课堂强调学生的主体性，通过核心问题链驱动学生深度思考，借助对比、辨析、推理等活动，帮助学生实现从感性认识向理性认知的飞跃，建立模型意识与函数思想，为初中代数学习奠定坚实基础。

（三）教学目标

1.知识与技能【重要】：系统梳理并掌握积随因数变化的四大基本规律（同向变化、反向变化、积不变规律、因数与积的大小比较规律），能熟练、灵活地运用这些规律解决整数、小数、分数乘法中的比较、判断、填空及简单实际问题。

2.过程与方法：通过观察、计算、比较、猜想、验证、归纳等数学活动，经历知识由点到线、由线到面的建构过程，进一步发展合情推理能力和抽象概括能力，感悟函数思想和模型思想。

3.情感态度与价值观：在探索规律、运用规律的过程中，感受数学的内在美与逻辑力量，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心和严谨求实的科学态度。

二、教学重难点

（一）教学重点【高频考点】

系统掌握积随因数变化的核心规律，尤其是“一个因数不变，另一个因数乘或除以一个数（0除外），积也乘或除以这个数”以及“一个因数大于1、小于1或等于1时，积与另一个因数的关系”。

（二）教学难点【难点】

理解并运用规律解决稍复杂的问题，尤其是在分数乘法和混合运算情境中，能够准确辨析因数的变化对积的影响，并能灵活运用“积不变规律”进行等量变形。

三、教学准备

多媒体课件（包含动态演示、分层练习题库）、核心问题探究卡、学生常见的错题集锦。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）唤醒经验，直奔主题——从“变”与“不变”说起

1.开门见山，揭示课题【基础】

上课伊始，教师直接板书课题《积与因数关系的深度梳理与拓展》。教师引导：同学们，从三年级开始接触乘法，到如今六年级即将毕业，“因数”和“积”是我们再熟悉不过的老朋友了。请大家回忆一下，当因数发生变化时，积会怎样？这其中有没有什么铁一般的规律？今天这节课，我们就来一场关于“积与因数关系”的头脑风暴，把我们六年来积累的零散经验，编织成一张严密的知识网络。

2.初步感知，激活经验【基础】

教师出示一组简单的口算题，要求学生快速口答，并观察每组算式之间的关系：

第一组：4×5=20；4×10=？；4×20=？

第二组：60×5=300；30×5=？；15×5=？

学生口答后，教师追问：观察每一组算式，你们发现了什么共同点？是什么引起了积的变化？

引导学生明确：第一组是一个因数不变，另一个因数变大，积也变大；第二组是一个因数不变，另一个因数变小，积也变小。【重要】

（二）系统梳理，建构网络——探寻规律背后的“道”

3.规律一：一因数不变，另一因数“乘除”引发积“乘除”【核心基石】【高频考点】

（1）深化理解“倍”的关系

教师以第一组算式“4×5=20，4×10=40”为例，引导学生用规范的数学语言描述变化过程。

师：谁能说清楚，从第一个算式到第二个算式，因数和积是怎么变的？

生：第一个因数4不变，第二个因数从5变成10，相当于乘了2，积从20变成40，也乘了2。

师：反过来看，从第二个算式到第一个算式呢？

生：第一个因数4不变，第二个因数从10变成5，相当于除以2，积从40变成20，也除以2。

（2）抽象概括，形成法则【重要】

师：这只是我们举的一个例子。如果因数乘的不是2，是5、是10、是100呢？如果除以3、除以4呢？结果会怎样？谁能用一句话，把这种关系概括出来，让它放之四海而皆准？

学生小组讨论后，全班交流，最终抽象出规律：一个因数不变，另一个因数乘几（或除以几），积也乘几（或除以几）。

教师板书，并重点强调【难点】中括号内的内容：为什么要强调“0除外”？（因为除以0没有意义）

4.规律二：当因数不全是整数时——遭遇“反直觉”的拐点【难点】【热点】

（1）制造冲突，引发思考

教师出示第三组算式：12×3=36；12×1=12；12×0.5=？

学生计算12×0.5=6。

师：请同学们观察这一组算式。同样是12不变，另一个因数从3变成1，再到0.5，一直在变小。积呢？从36变成12，再到6，也一直在变小，这似乎和我们刚才的规律“积乘几或除以几”并不矛盾。但请大家比较一下积和另一个因数12的大小。你发现了什么？

生：12×3=36，36比12大；12×1=12，12等于12；12×0.5=6，6反而比12小了！

师：尖锐的观察！这背后隐藏着什么秘密？秘密就藏在那个“变化的因数”本身。

（2）深度剖析，揭示本质【非常重要】

教师引导学生聚焦于那个“变化的因数”——3、1、0.5。

师：3是一个什么样的数？（大于1的数）1呢？（等于1的数）0.5呢？（小于1的数，也就是我们常说的纯小数或真分数）

师生共同总结出第二条核心规律：在乘法中，一个因数（0除外）不变，

当另一个因数大于1时，积大于原来的因数；

当另一个因数等于1时，积等于原来的因数；

当另一个因数小于1时，积小于原来的因数。

教师进一步将此规律延伸到分数领域：比如12×，大于1，积大于12；12×等于1，积等于12；12×，小于1，积小于12。【热点】

5.规律三：积不变——此消彼长的平衡之美【重要】

（1）发现“变”中的“不变”

教师出示一组算式，要求学生在括号中填数，并思考其中的奥秘：

18×24=432

（18×2）×（24÷2）=（）

（18÷3）×（24×3）=（）

学生计算后发现，结果依然是432。

（2）合作探究，归纳规律【基础】

师：请大家以小组为单位，观察这组算式。左边的因数和右边的因数都发生了什么变化？积呢？你们能照样子再举几个例子吗？

学生小组活动，举例验证，如：16×25=400，那么（16×4）×（25÷4）=400等。

小组汇报后，教师引导学生归纳：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。或者表述为：一个因数扩大多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。这也就是数学中重要的“积不变规律”，它在我们以后学习比例、简便计算中都有大用处。

（三）分层练习，内化提升——在应用中走向深刻

本环节设计三个层次的闯关练习，由浅入深，螺旋上升，确保不同层次的学生都能得到发展。

6.第一关：火眼金睛（基础性练习，面向全体）【基础】

根据第一题的积，快速写出下面各题的积。

（1）15×6=90

15×12=15×24=15×3=

（2）24×50=1200

12×50=6×50=24×25=

（3）34×26=884

（34×2）×（26÷2）=（34÷2）×（26×2）=

设计意图：直接应用规律一和规律三，巩固基本方法，要求100%正确。

7.第二关：智辨大小（综合性练习，关注思维）【高频考点】【难点】

在圆圈里填上“＞”、“＜”或“＝”，并说说你是怎么想的。

（1）如果A×0.89=B×1.02=C×1（A、B、C均大于0），那么A、B、C中最大的是（），最小的是（）。

（2）已知a×=b×=c×（a、b、c均大于0），把a、b、c按从大到小的顺序排列。

（3）不计算，判断下面算式的结果是否大于第一个因数。

×2○÷○×○

设计意图：此题组需要学生灵活运用规律二（积与因数的大小比较关系）。第（1）（2）题渗透了等量代换思想，通过比较已知因数的大小来推断未知字母所表示数的大小；第（3）题则融合了分数乘除法的比较，需要学生辨析“乘一个大于1的数”、“乘一个小于1的数”以及“除以一个小于1的数”等不同情况，极具思辨价值。【热点】

8.第三关：活学活用（拓展性练习，链接生活）【重要】

（1）一个长方形的面积是240平方米，如果长扩大到原来的3倍，宽不变，那么扩大后的长方形面积是多少平方米？

（2）一个长方形的面积是240平方米，如果长扩大到原来的3倍，宽缩小到原来的，那么新长方形的面积是多少平方米？

（3）某种手机商城庆促销，先提价，再降价，最后的价格与原价相比，是高了、低了还是不变？为什么？

设计意图：将抽象的数学规律还原到具体的生活情境中。第（1）题是规律一的直接应用（长相当于一个因数，宽相当于另一个因数，积即面积）；第（2）题是规律三的变式（一个因数乘3，另一个因数除以3，积不变）；第（3）题则是规律二的深度应用，需要学生构建数量关系模型，体会单位“1”的变化，深刻理解“提价”和“降价”虽然幅度相同，但基础量不同，因此最终积变小了。此题是小学阶段典型的易错题，也是对学生思维缜密性的极佳训练。【热点】

（四）课堂总结，拓展延伸——从课内走向课外

9.知识梳理，构建脑图【基础】

师：同学们，今天我们重新审视了“积与因数”这对老朋友。回顾这节课，我们不仅复习了旧知，更重要的是我们发现了隐藏在背后的四条“黄金法则”。谁能用最简洁的语言总结一下？

师生共同梳理：

（1）单向变化律：因数不变，另一因数乘除几，积也乘除几。

（2）大小比较律：看另一因数与1的关系，定积与不变因数的大小。

（3）积不变律：因数一乘一除同数（0除外），积不变。

（4）（拓展延伸）双变律：两个因数都变，积怎么变？（引导学生课后思考：如果两个因数都乘2，积会怎样？如果一个乘2，另一个乘3呢？）

10.思想升华，展望未来【重要】

教师总结：同学们，这些规律不仅仅是计算的技巧，更是一种重要的数学思想——函数思想。它告诉我们，世界万物是相互联系的，一个量的变化会引起另一个量的变化。掌握了这种思想，你们就拥有了用数学眼光看世界的又一扇窗。今天我们从乘法的角度研究了“积”与“因数”的关系，其实除法中也有类似的规律（商不变规律、商与除数的关系等）。希望大家课后能以此为钥匙，去开启更多数学奥秘的大门。

五、板书设计