五年级奥数培训教材

五年级奥数专题：盈亏问题的解题策略与技巧同学们，在我们的日常生活中，经常会遇到这样的问题：比如把一些糖果分给小朋友，如果每人分几颗，就会剩下一些；如果每人多分几颗，又会不够。这种在分配物品时出现剩余（盈）或不足（亏）的情况，就是我们今天要一起探讨的“盈亏问题”。解决这类问题，需要我们仔细分析数量之间的关系，找到巧妙的解题方法。它不仅能锻炼我们的逻辑思维能力，还能让我们感受到数学与生活的紧密联系。一、认识盈亏问题盈亏问题的基本特点是：在两次分配中，物品的总数量和参与分配的对象数量是固定不变的。我们需要根据两次分配中“盈”（多余）或“亏”（缺少）的数量，来求出参与分配的对象数量和物品的总数量。例如：几个小朋友分一袋苹果。如果每人分3个，还剩5个；如果每人分4个，就少2个。问有多少个小朋友？这袋苹果有多少个？在这个例子中，“小朋友的人数”和“苹果的总个数”是不变的。第一次分配“剩5个”就是“盈”，第二次分配“少2个”就是“亏”。二、盈亏问题的基本数量关系与解题思路要解决盈亏问题，关键在于抓住两次分配的差异，以及由此产生的总差额。我们通过比较两次分配的情况，找到“总差额”和“每份差额”，从而求出“份数”（即参与分配的对象数量），再进一步求出物品的“总数量”。（一）基本数量关系1.一盈一亏型：总差额=盈数+亏数每份差额=第二次每份数量-第一次每份数量(通常第二次比第一次分得多)份数=总差额÷每份差额总数量=第一次每份数量×份数+盈数或=第二次每份数量×份数-亏数2.两盈型：总差额=大盈-小盈每份差额=第二次每份数量-第一次每份数量份数=总差额÷每份差额总数量=第一次每份数量×份数+小盈或=第二次每份数量×份数+大盈(注意这里是“+大盈”吗？不，第二次分的多，所以如果都盈，第二次的盈应该比第一次的盈小，所以总差额是大盈减小盈，总数量用第一次的分法算就是第一次每份数×份数+小盈？或者第二次每份数×份数+大盈？不，我们来想，第二次每人分得多了，剩下的就少了。所以第一次盈5个，第二次盈2个，那么总差额是5-2=3个，每份差额是第二次每份数-第一次每份数。所以份数=3÷每份差额。总数量=第一次每份数×份数+5，也等于第二次每份数×份数+2。所以“两盈型”总差额是“大盈-小盈”。3.两亏型：总差额=大亏-小亏每份差额=第二次每份数量-第一次每份数量份数=总差额÷每份差额总数量=第一次每份数量×份数-亏数(这里的亏数是第一次的亏，即小亏)或=第二次每份数量×份数-亏数(这里的亏数是第二次的亏，即大亏)例如：第一次每人分2个，少3个；第二次每人分3个，少7个。那么大亏是7，小亏是3，总差额是7-3=4个。每份差额是1个。份数=4÷1=4人。总数量=2×4-3=5个，或3×4-7=5个。（二）解题思路（以“一盈一亏”为例）1.审题：仔细读题，找出题目中的已知条件，确定是“盈”还是“亏”，以及每次分配的数量。2.找总差额：根据盈亏类型，计算出两次分配的总差额。例如“一盈一亏”，总差额就是盈数与亏数的和。3.找每份差额：即两次分配中，每个对象所分得的数量之差。4.求份数：用“总差额÷每份差额”，得到参与分配的对象数量（份数）。5.求总数量：根据求出的份数和任意一次的分配情况，计算出物品的总数量。可以用“第一次每份数量×份数+盈数”，或者“第二次每份数量×份数-亏数”，两种方法可以互相验证。三、典型例题精析例1：一盈一亏问题幼儿园老师给小朋友分饼干。如果每人分4块，还剩下12块；如果每人分5块，则还差8块。问有多少个小朋友？一共有多少块饼干？分析与解答：我们来分析一下，第一次每人分4块，“剩下12块”，这是“盈”；第二次每人分5块，“还差8块”，这是“亏”。这是一道典型的“一盈一亏”问题。*总差额：因为第二次比第一次每人多分了，所以不仅把第一次剩下的12块分完了，还需要再补上8块才能满足每人分5块。因此，总差额=盈数+亏数=12+8=20(块)。*每份差额：第二次每人分的块数-第一次每人分的块数=5-4=1(块)。*小朋友人数（份数）：总差额÷每份差额=20÷1=20(个)。*饼干总数（总数量）：方法一：按第一次分配算：4×20+12=80+12=92(块)。方法二：按第二次分配算：5×20-8=100-8=92(块)。两种方法结果一致，说明我们算对了。答：有20个小朋友，一共有92块饼干。例2：两盈问题同学们去划船，如果每条船坐5人，则多出15个座位；如果每条船坐3人，则多出25个座位。问一共有多少条船？有多少名同学？分析与解答：这道题中，“多出座位”意味着同学的人数比按这种坐法能坐的人数少，所以对于同学人数而言，是“亏”。但如果我们从座位的角度看，或者转换一下思路，把“多出座位”理解为“同学人数不够分配”，那么也可以按照“盈”来思考。这里我们统一按“盈”的思路，即按照分配的物品是“座位”，但可能有点绕。更直接的是，把“多出15个座位”理解为“若每条船坐5人，同学人数比船可容纳人数少15人”，即“亏15人”；“多出25个座位”即“亏25人”。这样就变成了“两亏”问题。或者，我们换个角度，设船有x条。同学人数是固定的。第一次分配：同学人数=5x-15(因为多出15个座位，说明坐满5x人还差15人)第二次分配：同学人数=3x-25(同理，多出25个座位)所以5x-15=3x-25，这个方程解出来x是负数，显然不对。这说明我们之前的理解错了。“多出15个座位”应该是同学人数比5x少15吗？不，如果每条船坐5人，多出15个座位，说明同学人数=5x-15。如果每条船坐3人，多出25个座位，说明同学人数=3x-25。但5x-15应该等于3x-25吗？5x-15=3x-25→2x=-10→x=-5，船数不可能是负数。这说明我们把“盈”和“亏”搞反了。正确的理解应该是：同学人数是固定的。如果每条船坐5人，那么船的座位够，还多出来15个座位给同学坐（但实际上不需要），所以同学人数=5x-15。如果每条船坐3人，同样座位够，多出来25个座位，同学人数=3x-25。但5x-15肯定大于3x-25（因为x是正数），而同学人数是固定的，所以这两个式子应该相等。但算出来x是负数，这说明我们设错了。应该是同学人数=每条船坐的人数×船数-多出的座位数？不对，应该是每条船坐的人数×船数=同学人数+多出的座位数。对！因为每条船坐的人数乘以船数，得到的是总共坐了多少人（包括多出的座位），所以同学人数=每条船坐的人数×船数-多出的座位数。第一次：同学人数=5x-15第二次：同学人数=3x-255x-15=3x-25→2x=-10→x=-5。还是负数。看来这种设未知数的方法暂时卡住了，我们用算术方法的思路再想想“两盈”。或许题目中的“多出15个座位”和“多出25个座位”是指船的数量多于同学需要的？不，题目是“同学们去划船”，船的数量是固定的，同学人数也是固定的。我们换个表述：如果每条船坐5人，那么需要的船数会比现有的船数少，所以多出了船，也就是多出了座位。反过来，如果每条船坐的人少一点（3人），那么需要的船数更多，现有的船可能就更不够了？不，题目明明说“多出25个座位”。啊！我明白了，应该是船的数量是固定的，比如有x条船。如果每条船坐5人，那么总共可以坐5x人，但同学人数比5x少15人，所以同学人数=5x-15(这就是“亏”15人，相对于5x的容量来说，同学人数不够，亏了15)。如果每条船坐3人，总共可以坐3x人，同学人数比3x少25人，所以同学人数=3x-25(这是“亏”25人)。现在，第一次分配，每条船分5个“座位”给同学，同学人数亏15；第二次每条船分3个“座位”给同学，同学人数亏25。那么，两次都是“亏”，属于“两亏”问题。总差额=大亏-小亏=25-15=10(人)。为什么是25-15？因为第二次亏得更多。每份差额=第一次每人分的座位数-第二次每人分的座位数=5-3=2(人)。(这里的“每份”可以理解为每条船)船数（份数）=总差额÷每份差额=10÷2=5(条)。同学人数=5×5-15=25-15=10(人)，或者3×5-25=15-25=-10(人)。还是不对！负数了。这说明我这道例题最初的设定可能就有问题，或者我陷入了思维误区。为了避免误导，我们换一个清晰的“两盈”例题。例2（修正）：两盈问题学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？分析与解答：这道题需要注意，“空出4个房间”意味着第二次分配时，这4个房间没有人住，所以是“亏”了4个房间所能容纳的人数。我们先把它转化为标准的盈亏问题。每个房间住14人，空出4个房间，也就是少了14×4=56人（即如果再有56人，才能把所有房间住满）。所以第二次分配可以理解为：如果每个房间住14人，则还差56人。这样，第一次分配“34人没有位置”是“盈”34人（多出34人）；第二次分配“还差56人”是“亏”56人。这就变成了“一盈一亏”问题。*总差额：34+56=90(人)*每份差额：14-12=2(人/间)*房间数（份数）：90÷2=45(间)*学生总数：12×45+34=540+34=574(人)，或者14×45-56=630-56=574(人)。答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人。例3：两亏问题某班同学去搬书。如果每人搬5本，还少20本；如果每人搬4本，还少5本。问有多少名同学？一共要搬多少本书？分析与解答：这是一道“两亏”问题。第一次每人搬5本，“少20本”（亏20本）；第二次每人搬4本，“少5本”（亏5本）。*总差额：大亏-小亏=20-5=15(本)(因为第二次亏得少，说明第二次比第一次每人少搬1本，总共就少亏了15本)*每份差额：5-4=1(本/人)*同学人数（份数）：总差额÷每份差额=15÷1=15(名)*书的总数：5×15-20=75-20=55(本)，或者4×15-5=60-5=55(本)。答：有15名同学，一共要搬55本书。四、解题技巧与注意事项1.准确判断盈亏类型：仔细分辨题目中的“盈”和“亏”，是“一盈一亏”、“两盈”还是“两亏”，这是正确选择解题方法的前提。2.统一单位：确保题目中的所有数量单位一致，避免因单位混淆导致计算错误。3.抓住不变量：盈亏问题中，“参与分配的对象数量（份数）”和“物品总数量”是两个不变量，解题时要紧紧围绕这两个不变量进行思考。4.多角度验证：求出结果后，可以用另一种分配方案进行验证，看是否符合题目条件，以确保答案的正确性。5.复杂问题转化：有些题目可能不是标准的盈亏问题，需要通过转化条件，将其变为我们熟悉的基本类型再进行求解，比如例2中“空出房间”的处理。五、巩固练习1.学校买来一批铅笔分给三好学生。如果每人分5支，则剩下32支；如果每人分8支，则有5名三好学生分不到。问这批铅笔有多少支？三好学生有多少人？2.同学们去植树，如果每人种3棵，还有12棵没种；如果每人种4棵，还有5棵没种。问有多少名同学？一共要种多少棵树？3.某工厂安排工人住宿。如果每间住12人，则有34人没有床位；如果每间住14人，则多出4间宿舍。问工厂有多少间宿舍？有多少名工人？4.王老师给美术小组的同学发画纸。如果每人发3张，则少2张；如果每人发5张，则少1