西工大821自动控制原理-7习题及答案-第七章 非线性控制系统分析

西工大821自动控制原理

第七章非线性控制系统分析

习题与解答

7-1设•阶非线性系统的微分方程为

x=-x+x3

试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解令元=0得

-x+x3=x(x2-1)=x(x-l)(x+1)=0

系统平衡状态

—,+1

其中：弓，二0：稳定的平衡状态;

=-1,4-1：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

X-2-1-1/V301/V312

X-600.3850-0.38506

图解7-1系统相轨迹

X112010211

可见：当做0)|<1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当似0)|>1时，系统发散；X(O)<-1

时，x(t)--oo；MO)>111寸，x(，)-00。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个上〜/平面上任意分布。

7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1)x+x+|x|=0

(2)3"+"2

x2=2X[+x2

解(1)系统方程为

I:x+x+x=O(x>0)

"n：x+x-x=O(x<0)

令亍=尤=0，得平衡点：%=0。

系统特征方程及特征根：

/：52+5'+1=0,51,.>=土J--（稳定的焦点）

.22

2

II;5+5-1=0,512=-1.618,+0.618（鞍点）

I:a=-1（x>0）

0

计算列表

p-OO-3-1-1/301/313OO

x>Qa=_"V0-1-2/302-OO-4-2-4/3-1

x<Qa=T+1/-1-4/3-2-4OO20-2/3-1

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2(〃)所示。

图解7-2(a)系统相平面图

（2）X=X]+冗2①

②

、工2=2%+X2

由式①:

x2=X]-x]

式③代入②：（X-X）=2工］+（x,-X1）

即X.-2X.-X,=0④

令吊=x=（）

得平衡点：xe=0

由式④得特征方程及特征极为

2.414

s2-25-1=04.2=（鞍点）

-0.414

画相轨迹，由④式

X1

X=X也=xla=2xl+

dx

图解7-2(b)

X=

a-2

计算列表

a22.53OO11.52

4=1/(。-2)oo210-1-2CO

用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2"）所示。

7-3已知系统运动方程为Y+sinx=0,试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制

相平面图。

解求平衡点，令尤二尤=0得

sinx=0

平衡点儿=攵"（2=（）,±1,±2,…）。

将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。

设F(x)=x+sinx=()

Ax=0

:

Ai+cosxt,Ax=0

©+Ax=0x°=kjr(%=0,±2,±4,…)

A,r-Ax=0(火=±1,±3,±5,•••)

xe=k/r

特征方程及特征根：

k为偶数时$2+1=()2L2=±j(中心点)

2

k为奇数时5-1=0212=±1(鞍点)

用等倾斜线法作相平面

在冗=一1处

x=(-1-2A)|-x+(-6x+0.5)1-i=x+0.5x

1.t-i

j=oi=0

即x-0.5x-x=0

特征根"主也1卫=(L218(鼓点)

1122-0.718

概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4(1)所示:

图解7-4(1)

<2)由原方程

x=f(x,x)=-xx-x

令x=x=0得奇点儿=0,在奇点处线性化

得x=-x

即x+x=0

图解77(2)

特征根'2=±/。奇点迎二°(中心点)处的相轨迹如图解7-4(2)

所示。

7-5非线性系统的结构图如图7-36所示。

系统开始是静止的，输入信号“，)=4xlQ),试写

出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系

统的相平面图，并分析系统的运动特点。

图7-36非线性系统

解由结构图，线性部分传递函数为

C-)=1

M(s)-s2

得c(t)=/必)©

由非线性环节有

忖42

m(t)=<e(f)-2e>2

e(，)+2e<-2

由综合点得

c(r)=r(r)—e(t)=4—e(t)

将③、②代入①得

0

e(t)=2-e(t)e>2

-2-e(t)e<-2

开关线方程为e(f)=±2

I:e(t)=Oe=c(常数)

fl:e+e-2=0

令g=g=O得奇点那=2

特征方程及特征根

/+1=(),S]2=-J(中心点)

III：e+e+2=0

令g=g=O得奇点*二一2

特征方程及特征根

2

5+1=0,5]2=±j（中心点）—•—-----/

绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现囱皿口

囹解7-5

周期振荡状态。

7-6图7-37所示为•带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单

位阶跃响应的影响。

图7-37有库仑摩擦的二阶系统

解由系统结构图有

C(y)51+：c>0

E(s)s0.5s+1±2

s(0.5s+l±2)C(s)=5E(s)

0.5c+3c=5^c>0

\().5c-c=5ec<()

因为c=r-e=\-e②

②代入①式有

e+6e-i0e=0e<0I

[々-24+l()e=0々>0II

特征方程与特征根

2

I：S+65+10=05j2=-3±j（稳定的焦点）

2

n：5—2i+10=05]2=1±J3（不稳定的焦点）

依题意c(0)=0,c(0)=0

可得

e(0)=l-c(0)=l

e(0)=c(0)=0

以（1,0）为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响

应过程是振荡收敛的。

7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38

所示。

图7-38具有理想继电器的非线性系统

试用相平面法分析：

（I）4=0时系统的运动；

（2）（=0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用;

（3）7；=2时系统的运动特点。

解依结构图，线性部分微分方程为

©

1e+Tde>0I

非线性部分方程为W

-1e+T(te<0D

开关线方程:

Td

由综合口：=1-③

③、②代入①并整理得

-16+亭>()I

+1e+TAe<0II

在I区：

de

解出：e1=-2e(e>0)(抛物线)

同理在II区可得:

e2=2e(e<0)(抛物线)

开关线方程分别为

(=0时，6=0；

%=0.5时，e=-2e;

虱=2时，e=-0.5e.

概略作出相平面图如图解所示。

图解7-7

由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡

性减小，响应加快。

7-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平面法分析系统的阶跃响

应。

解非线性特性的数学表达式为

e\e\<aI

y=\Me>an

-Me<-aID

线性部分的微分方程式为

Tc+c=Ky

考虑到r-c=e,上式又可以写成

T'e+e+Ky=Tr+r

输入信号为阶跃函数，在，>0时有，r=r=(),因此有

Te+e+Ky=O

根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。

I区：系统的微分方程为

Te+e+Ke=O(|e|<a)

按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点(0,0),奇点的类型为稳定焦点。图

解7-8(〃)为I区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。

II区：系统的微分方程为

Te+e+KM=0(e>a)

设一般情况下，初始条件为e(O)=%,贸0)=备。则上式的解为

t/T

e(t)=e()+(a+KM)7—(痣+KM)Te~-KMt

对上式求一次导数，得

%)=气+KM-T-KM

故当初始条件e'o二—KM时，相轨迹方程为e'=—KM。

efKM

当小工—KM时，相轨迹方程为e='+(及一e)T+KMT\n

•o+KM

由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(〃)所示，相轨迹渐进于直线2=—

H【区：此时系统的微分方程为

Te+e-KM=0(e<-a)

将n区相轨迹方程中的KM改变符号，即得in区的相轨迹方程

KM(e0=KM)

e+KM

e=eQ+(e0-e)T-KMT\n("KM)

e0+KM

该区的相轨迹如图解7-8(〃)所示。

将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8(c)所示。

假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为

e(0)=R,々(0)=0。此时的系统的相平面图如图解7-8(d)所示。由图可知，系统在阶

跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量

可从图中量得。

KM

图解7-8非线性系统的相平面图

7-9试推导非线性特性y=x3的描述函数。

解y(r)=/43sin3cot

B.=—fA3sin1cotda)t=pA(1-cos269/)2dcot

I4Jo乃J°4

A3

Ar-2271

——[(1-2cos269/+cos•dcot—[sin2^](；

兀Jo71

Ar-cos4fy/4-1.

+——2------------dcot

71J。2

=--()+—Pcos4^p

22万2乃4

…、用.A3T

N⑷二?+二二

7-10三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为

]

(I)G(s)=

5(0.15+1)

2

⑵G(s)=

s(s+l)

2(1.5s+l)

⑶G(s)=

s(s+1)(0.Is41)

试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？

解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个

系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-10所示。

由对数幅频特性曲线可见，L的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统(2)的描

述函数法分析结果的准确程度较高。

7-11将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的

传递函数。

(a)(b)

图7-40非线性系统结构图

解(a)将系统结构图等效变换为图解7-11(a)的形式。

G(s)=G(s)[l+〃($)]

图解7Tl(a)0157-11(b)

(b)将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式,

Q(s)

G(s)=d(s)

l+G")

7-12判断题7-41图中各系统是否稳定；-1/N(A)与G(./g)两曲线交点是否为自振点。

题7-41图自振分析

解(a)不是

(b)是

(c)是

(d)a、c点是，/?点不是

(e)是

(f)〃点不是，b点、是

(g)4点不是，b点是

(h)系统不稳定

(i)系统不稳定

(j)系统稳定

7-13已知非线性系统的结构图如图7—42所示

图7-427-13题图

图中非线性环节的描述函数为

A+6

N(A)=(A>0)

A+2

试用描述函数法确定：

(1)使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围;

(2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。

-1_-(A+2)

解⑴

N(A/A+6

-1-1-1

N(())一可'N(8)-

dN(A)_-4

-T'<0

dA(A+2)2

N(A)单调降，一1/N(A)乜为单调降函数。画出负倒描述函数曲线一1/N(A)和G(J@曲线

如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。

求使IntG(j^)]=O的。值：

令NG()〃»=-9(T-2arct^)=-1

得加?吆3=45°,a)—1

G

令I(»L=I=^==T

s/"+ld

可得出K值与系统特性之间的关系:

K:0——>2/3——>2——

稳定自振不稳定”

(2)由图解7-13可见，当一1/N(A)和G(〃w)相交时，系统一定会自振。由自振条件

N(A)G(%)|皿4+6-K_—(A+6)K_।

A+2'~T~2(A+2)

(A+6)K=2A+4

46K—4

A=--------(2<K<2)

解山2-K

(0=13

7-14具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43(a)所示，其中M=1,h=\o

(1)当7=0.5时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数:

(2)讨论了对自振的影响。

图7Y3非线性系统结构图及自振分析

解具有滞环继电特性的描述函数为

4/Ih.AhM

MYATIAT

代入M=l,h=l,有

其负倒描述函数一1/N(A)曲线如题7-43(〃)所示，G(Jo)曲线位于第三象限，两曲线必

然有交点，且该点为自振点。

〜、5(n+1)

G(s)=——2

5ST

G(j⑹=_二7一

G()⑼=------

N⑷

根据虚部相等，有

.57.兀

J一=一J;

co4

20T

0)=-----

冗

自振角频率随7增大而增大,当7=0.5时，3=3.18.

根据实部相等，有

71

解出非线性输入端振幅为

4=

当7=0.5时，4=1.18,自振振幅随7增大而减小。

7-15非线性系统如图7-44所示，试用描述图数法分析周期运动的稳定性，并确定系统

输出信号振荡的振幅和频率。

图7.44率线性系执

解将系统结构图等效变换为图解7-15。

令G(，y)与—1/N(4)的实部、虚部分别相等得

100.24

=0.157

必疗+])~4~

图解7-15

两式联立求解得3=3.91,4=0.806。

由图7-44,«/)=0时，有c")=-©(/)=；工(/),所以c")的振幅为2等=().161。

7-16用描述函数法分析图7-45所示系统的稳定性，并判断系统是否存在