西北工业大学数理统计(复习)

数理统计复习

第一章基础知识

一、多维随机变量及分布

分布函数：，

(X,yy〜F^y)=P{X<x,Y<y}

T

X=(XpX2,...,Xj-F(x^-,xn)=P{Xi<xl,X2<x29^fXn<xn}

边缘分布：=,

随机变量的独立性：

F&,々，…,X〃卜尸M(一)尸X?(%)…产X1t(Z)

和…,当)=九U)A2―)…A.(/)

P{X1=x„X2=孙…,X0=xn}=P{X1=X}P{X2=沙・P{Xn=xn}

随机变量函数的分布：

1、已知，则=的分布密度为

人(、)=人①(y))l〃'(y)l

其中r=〃()，)为单调函数)，=g(x)的反函数-

和的分布：求的

-KOXM虫立

/z(z)=]7(工*7世=J/(z—y,yM)，=\fx(z-y)fY(y)dy

―00-00-»

商得分布：求的

xy%立

/z(z)=J|y|/(yz,yk/y=1乂人("忧()”)，。

-0O-8

4.随机向量变换的分布：

设，令

求%,丫2)的分布密度式弘，力)。

(1)求解步骤：

求反变换：

(2)

求雅可比行列式，即

dx{dx1

J=办分2

dx2dx2

如②2

所求分布密度为：

式一,%)=1JI力九(M，y2)，%(必，32)1

条件密度和条件期望：

性质:

1.

2.

3.

多元正态分布：=

/M=--；—rexp|-1(x-M)T^

(2叫邛2J

加七〜平8小工.

其中Z=Ccv(X,X).

性质1.若二，则的子向量均服

从正态分布，特别X,~N(4,％),”1,2，…〃

性质2.若=,则

X1,X2,-,X”独立o两两不相关.

性质3.设，则

XLN(内，羽JX?〜Ng,%)^2=MX,,X2)

且X,,X2独立0co《XI,X2)=Z2=0

性质4.若二，则

Y=CX~N(C%CLCT).

r

随机向量的数字特征：x=(xpx2,---,xj

7

EX=(EX„EX2,...,EXj

E=Cov[\X)=E(X-FXXx-时二(5%

其中：

L=Cov(\X)=(%L是对称非负定矩阵。

为X的相关系数矩阵.

其中%=-^L=为X「Xj的相关系数

二、随机变量的特征函数及性质

特征函数：

1.常见分布的特征函数：

2.,则有

3.，则有。

4.,

,则有

特征函数性质：

性质1.设独立，，则。

性质2.o

性质3.设，则

多元特征函数：=

8x(。二七产二E”内+匹+…“X”)

其中…

性质：设，且，

则—名,…,X“独立0g«冉,•••,")=&«)g2«2)・・・g〃(4)

三、常用分布族

1.分布族:

0产-%一向r>()

设X的分布密度为/(x)=「(a)5

0,x<0

特征函数为g(。=(1一”/父尸

性质：分布的可加性：若，且独立,

则之0

?=1\*=17

分布引出二个特殊分布：

1.,2.

2.分布

定义：设独立且每个

则

r=l

其分布密度和特征函数为：

|--1--

”(1e2,工>()

/(x)=2叱

0,x<0

g(Z)=(l-2〃)5

一(〃)性质：设乂~%2(〃)

1.EX=小DX=2n

可加性:，且独立,

则x+y〜72（〃+m）

3.分布

定义:设，,且独立,

X〃)

则TT(

4.分布

定义:设，且独立,

则

性质1设，则

性质2若，则

四、例题

1.设，且独立，则

的特征函数为0

2、解：

设总体样本，则样本均值

的特征函数为O

3、解：

设服从二维正态分布，其均值

向量，协方差阵为，则的分布密度为

解：二

设随机变量独立，分别服从和分布，令

(1),

问是否相互独立？为什么？

设是来自样本，求的特征函数

和密度函数。

解：

(1)(XJ)~f(xty)=fx(x)fY(y)

的反变换为&

b-

J-^mnu

-(mv+n)2

av

nniVnu,nuvnu

(U,iV八)〜r/vA)=|IJ7I|//v(--------,---------)\=1IJ/I人/•(/-----)\.4c(--------)、

mv+nmv+nmv+nmv+n

—m—n—uI.

,)，

7nzz12y.

fuvM=/.\=fuMfvM

T2

2I2)(〃w+〃)

故U,V相互独立。

mN

2

(2)g4)=g<(Z)=gx«)gx«)…gx*«)=[gx(，『二(1-2")

N

T=EX「/(Nm)

1=1

t>0

Nm、

人。）二r(Nm

22I2)

0,r<0

第二章统计量与抽样分布

一、基本要求

总体，样本（），样本值：

简单随机样本：独立同分布且与总体同分布

此时：。

统计量：样本的函数且不含未知参数。

样本矩：

X=fXis：=—t（x「x）2=—fx"x-

〃，=In,=|nE

Sn：=/一inS：nS“二v店n

n-\

«7T

样本矩性质：

1.

2.o

经验分布函数:

以+皿芈X（K）WXVX（AI），％=1，2,…,〃一1

的性质：。

Eg（x））=F（x）,£＞（居（x））=-F（xXl~尸⑺）。

n

充分统计量：的条件分布

与无关，称为的充分统计量。

判别（因子分解定理）：

T是。的充分统计量=口/（耳,0）=力（西,石,…,x“）g（7,0）

完备统计量：若时，有。

称丁是完备统计量。

指数型分布族:

若n/（⑥°）=，电，…,XJex

称"卜。）,。£。｝为指数型分布族。

充分完备统计量判别：对上述指数型分布族有

7=（7],石,・・・工）为夕=（4，&♦-4）的联合充分完备统计量。

特别：时，的充分完备统计量。

时，的联合充分完备统计量。

正态总体下的分布:

3.（或）独立。

4.

6.

L//T2

7、F=?2"〜=(〃|T，%—1)

X〜N

次序统计量：

X(1)=min{X,}X(n)=mm{X,.}

次序统计量的分布：

1.的分布密度为

2.的分布密度为

样本中位数：

〃为奇数

-x，w+x〃为偶数

样本极差:

二、例题

设总体，样本，

则D(X,+X)=;ES；=

+12”,(n+\)2DX+(n-Y)DX

D(Xt+X)=D〃2

nNJ=I

那

〃+33(〃+3)

=------uX=----------

n80/7

ES：=—DX=357

”n80/?

设总体，样本，为使

37

£Xj+RZx,服从二分布,则

\j=4

q=

解:

Ai

r=l____

瓜r

13

FK

\1=4

11

C,=-----T2

3b4cr°

(1)设总体，样本，

(2)证明:

(3)求统计量7=-2>nX,的概率分布。

t=1

解：⑴

的反函数为，故

Py(y)=Px(e2)|(e2)'|

12_j八

2-1

1~2ye-,y>0

—e2,y>0

22^r(j)

0,y<0o,v<0

即Y=-21nX〜42(2)；

(2)由于样本X1,X2,…,X”独立且于U[O,1]同分布,

由(1)得：独立且于同分布;

由分布的可加性，得

,即

1--

2

T-p(x)=\r-V(--n)Xe'/

设总体，样本

求统计量y=：£(Xj-2)2的分布密度。

7,•=1

解：，其中

-7

2-22r(-)

设总体，样本，求

1m1(n+1

(1)Y=F£X：+---------£x,的概率分布及EY,oy；

12m

(X,”+i----£X,)2

(2)Z=---------字皿——的概率分布。

解：⑴

且两者独立，故

〜z2(/n+l)

EY=m+\DY=2(m+\)

12in1

f1空2mf⑴

且两者独立，故

12n.

(Xg

z=--堂--姐-----F(L/n-l)

S；n

第三章参数估计

1、估计量评价标准

无偏估计：

渐进无偏估计：

均方误差：，

求均方误差最小意义下的最优估计。

有效性：（与均为无偏估计），称比有效。

最小方差无偏估计：在无偏估计中方差最小者.

相合估计（一致估计）：，即。

相合估计判别：，，

效率：

有效估计判别：，或。

其中双）=《曲鬻或/⑹=一位翼q>o.

渐进有效估计判别：，

罗一克拉美不等式：

2.点估计量求法

求参数的矩估计:

（1）（1）求总体矩，（2）样本矩代替总体矩，（3）解出矩估计。

（2）求参数的最大似然估计：

（3）求似然函数A（＜9）=fl/U）或L（O）=\\P{X=Xi}

4=1/=1

一般地：，，

特殊地：

（3）解似然方程得3=瞅，电，…,5）

（4）得到最大似然估计量：。

求参数的：

（1）直接法：

①求出的充分完备统计量，

②用7构造G=/（7）满足刀=Ef（T）=0

③。=/（7）为。的加口加。

间接法：

①求出。的矩估计或最大似然估计6

②验证，

（1）求参数的有效估计：

直接法：

①求参数8的最大似然估计，；

②将表成：；

③验证胡e的充分估计量。

（2）间接法：

①求出。的矩估计或最大似然估计3;

②验证，。

求的估计：

若是的最大似然估计(或矩估计),连续,

则g(@)是g(0)的最大似然估计(或矩估计)。

3.求参数的区间估计

(1)一般方法：

(2)从参数的点估计出发，构造一个合适的估计量；

(3)给定置信度，构造一个大概率事件；

(4)解大概率事件得到参数的置信区间。

(一)正态总体X~N(〃"2)参数的置信区间

(1)已知，

(2)未知，

(3)未知，

(4)已知，

(二)两正态总体参数的置信区间

(1)已知，

必一£X-Y-uj"十1,X-Y+"

(2)

从一出eE一J%（"+%-2）而一）「（〃二时上若工），

N+”+…日喻:+…篇常,

/2,、

2s*s*

（3）―^GF（72-1,-1）—^,F（72-1,-1）—

%I-Ia0黑Ia0S]J

4.例题

1、设总体，样本，则

。的矩估计为夕的最大似然估计为

解：，，；

〃1

L（e）=flpQ）=吩。一1w芭，12,…，4w。+1

/=,0,其他

O-\<min{xf）,max{x,}<1

0,其他

—,max）x}-\<6<min{x.）+1.

2"\<i<n,-/-rt

0,其他

6Gmax{xf}-1,min{.}+1

\^i<n区区"_

(1)设总体，样本；

(2)求。的最大似然估计必

在均方误差意义下，求形如估计量中的最优估计量。

解：⑴

3”(lW

=-—，max{玉}《夕

当时，达到最大，故

0,x<0

(2)F(x)=Jp(x)dx='—,0<x<3

-x>e

1,x>0

3收1

^<x<e

0=Xgp(x,6)=n[F(x)]fl-[p(x)=下]

[0,其他

MSE(Tc，e)=E(Te-£)2=石(C0—9)2

023/1°o3/i

=E[C202-2cde+02]=c2^33〃dx-2cejdx+02

0"0"

3〃6〃

=(c*2c------+---1)夕

3〃十23〃十1

令

2、当时，为的最优估计。

na

O1-1-鹿r>n

3、设总体X~p(x)=「(a)'~,。>0已知，样本Xi/2,…,X.；

0,x<0

(1)求的最大似然估计，(2)求的最小方差无偏估计。

解：(1)

InL(6)=na\nO-n\n「(a)—In口町7-0^为

i=li=\

OlnL(0)〃aS八

------=一〉x-=0

deor;1

,即

(2)有知，是的充分完备统计量，且

T=£Xi〜「(〃a,。)

j«i

——/吁%-/,x>0

7~PTCY)=J「(〃a),

0,x<0

构造，使，求

,,7]/i,:

EG=cE(—)=cf—pT(x)dx=c[—x~e~dx=c——!——0=0

T「5。)na-1

c=na-\

故。=竺匚是。的最小方差无偏估计。

T

4.设总体未知，样本，

已知，求置信度为的置信区间。

解法：用估计

t(Xi)2

构造/二上——-----/(〃)

(7

给定，使

22

取P{Z<2}=P(Z>A2}=|

可得：

代入得：

解得：

故的置信区间为：

第四章贝叶斯估计

L基本概念

统计决策问题的三要素：(1)样本空间与分布族，

（2）决策空间与决策函数；（3）损失函数与风险函数。

损失函数：，，

风险函数：，

贝叶斯风险：。

2.贝叶斯点估计

定理：设总体，先验分布，，

样本Xu®,%，…，尤），”（芭，再，一・，/），

（1）损失函数为二，则。

（2）损失函数为二,则

计算步骤：

（1）、求样本的分布：；

（2）、求的联合分布：；

（3）、求关于样本的边缘分布：

（4）、求的后验分布：

（5）、求的贝叶斯估计：

（6）、计算贝叶斯风险：

/?（“）=耳•一牙

'，0）=石卜（4碗=JR\g,即

©

注：积分中常用两个特殊函数：

（1）函数：，；

r（tz）=（«-i）r（cz-1）,「（〃）二（〃一1）!,「⑴二1。

（2）函数：，；

BlaQ=

「9+0

3.的贝叶斯估计

定理取损失函数为=，则的贝叶斯估计为:

其中〃（小）为。的后验分布密度。

4•例题

1、设总体，，样本，

损失函数⑷,，/）=（"（『求参数4的贝叶斯估计和贝叶斯风险。

解：①=

e",2>0

②4〜乃(2)=«

0,其它

③g(x)=J/(x,/l>U=/4------e-(n+[}AdA

。口七！

r=(//+l)A

④=

⑤兄=E(2|x)=Ja(小以=I：(〃+1)；":广"M

e°「1+储

r=(n+1)x171+5

jHli=1

--------e-'dt

=(〃+1)小+为士〃+l

(〃+i)ri+Z七°

\1=1

f\+nX

即A=-------

〃+l

©欣,9=与（4_疗二以"匕"

=D.f/l—=(-?L.)2DX4.A—L

I77+1JIn+\Jn+\|_n+\

n4+(41+a+(〃-2)4+1

~(7?+l)2+l-H+lJ~-(〃+l)2-

M0=£(欣,z))=fM%,/i)r(2)dZ

万+(”2斗+*“「⑶+(〃-2)「⑵+r⑴二1

I。(〃+l)25+1)2—〃+]

2.设总体，

样本，损失函数，

求参数，的贝口一斯估计。

解：①=

3/()<0<1

②e〜/0)=,

0,其它

4fb33〃

/(X,。)二夕®。卜®)=—----,%)<。<1

C7

14位小3。2“7

③g(x)=J/(x,61M=—g=3W力小/£

«C7I/•••1

④

(4〃-3)瑞-3的4”3%。一瑞”)

⑤5=酗、）=!朋麻卜夕寸

)I一瑞丁”.34〃_4"端3

第五章假设检验

一.参数检验：

（5）一般方法：

（6）从参数的点估计出发，构造一个合适的统计量;

给定检验水平，构造一个小概率事件；

（3）小概率事件即为拒绝域。

1.单正态总体：总体

（1）已知：

H（）：N=LW=7：|"二俏|之〃」

o7n2

：A-Xzo

HoW=<\x:笈<-uaJ>

HdW〃（）W=­x:7^->ua-

I册

（2）未知：

(3)未知:

II(〃—1)S,J八

Ho：cr2=0-1-ru——y2筋(〃-1)

/

2.两正态总体:

（1）方差未知但相等:

X-Y

W=i之，"(〃]+〃,—2)

…S；：+（〃「1）S；2

(2)未知:

S；2

S；

vv=一1，〃2-1)-之F里(4—1,/?—1)>

Q*2

3",2

公式:

3,效函数和两类错误:

效（势）函数：

两类错误：对检验

第一类错误一一“弃真”：即正确而被拒绝,

犯这类错误的概率为：

第二类错误一一“取伪”：即不正确而被接受,

犯这类错误的概率为：

二、分布检验：

（1）/拟合优度检验

HO：4（X）=E（X；

卬二.（々一照）2/（加—一］）

1-1M

(2)柯尔莫哥洛夫检验

//0：=F()(x；0)

r.

Whsup\Fn(x)-FQ(x)|>D〃J

(3)斯米尔诺夫检验

H()：F》.(x)=GY(X)

拒绝域W=(sup|"(x)-G小")|>七.„2,」

u-oo<x<-W>)

(4)独立性检验

小：x,y独立

(niniY

拒绝域yfkJ_>"((〃1)伙_])),

MI；=i〃*7

n

二、例题

i.柯尔莫哥洛夫检验的统计量为，拒绝域为。

2.两正态总体的样本容量为nl,n2,则检验的

统计量为，拒绝域为。

解：

s”[s*2

F;弋W=i^>Fa(n]-\,n2-\)>

S；2IS：?

3.对某农作物两个品种A3计算了8个地区的亩产量如下:

品种A:86,87,56,93,84,93,75,79

品种B:79,58,91,77,82,74,80,66

假定两个品种的亩产量均服从正态分布，试问品种A,B的

亩产量有无显著差异？

(a=0.05,小5(14)=1.7613,小‘(7,7)=3.79,%”(7,7)=4.99)

解：设X表示品种A的亩产量,Y表示品种B的亩产量;

则X~NW。；)Y~

(1)检验"0：b；=(7；

5*2%成立

F=3〜F(/2,-l,n,-l)

S"~

J"2

-1t653-1V607"QQ

工二/2七=81.63,y=--^y.=—=15.SS

nn

\i=\O2i=lb

*2i「e2-1013.34

■=~xj—n[x2]1=

/TM

・2』和；一〃2四=708.8

n,=—F

n2-1i=l

/二』=1.4292

士="975(7,7)<F<七025(7,7)=4.99

接受Ho：（T\=（y\

（2）检验H0：%=%

T=j-4'/（/+〃「2），管,（勺+小_2）

j（%-i）s；：+（-i）s；r…

81.63-75.888x8x14,nozo

T=/1--------------=1.0306

V1013.34+708.8V16

|T1=1.0368<2.1448=rOO25(14)

接受乙：二%

4.设总体未知，样本

（1）求检验"o：4=4o的拒绝域;

（2）求检验的拒绝域;

解法：（1）构造合适的统计量：

当小成立时，有偏大特征。

构造小概率事件：给定显著水平，使

P{T>ta（.n-r）}=a

拒绝域VV=<x:

（2）构造合适的估计量:

T4=\一"〜zd）

构造小概率事件：给定显著水平，使

P{r-1））=«

构造更小的小概率事件：由于未知，无法计算,

利用r=春关零立管笋=T

hI赤

由于，故

P[T>ta^n-\）}<P{r>ta（,n-\）}=a

BPP{T>ta（.n-\}}<a

拒绝域W=r:《二华■NJ（〃-1）

第六章方差分析与试验设计

一、单因数方差分析

(1)数学模型:

(2)H0:

推导拒绝域：

总离差平方和分解：

X)2=££(X,X,.)2I对=QE+QA

构造统计量：

在H()不成立时，统计量F有偏大的特征;

构造小概率事件：

拒绝域w=

(3)QA,QE的计算方法

记，，

则有QA=Q-尸，Qr：=R_Q,QT=R-P

(4)参数估计：设总体

二、两因素非重复试验的方差分析

(1)数学模型:

H01:

H02:

(2)、构造统计量:

Q/

A/(7•一])成立

F(r-l,(r-l)(5-l))

Q/E4/-1)(5-1)

QB/

z/(c-n/成立

万一―!—〜F(5-l,(r-l)(,v-l))

点/

九-1)(5-1)

其中:

(3)、拒绝域：

三、正交试验设计

正交表

素原料配比A加温温度B保温时间C指标yi

试逊、

123

11(1：1)1(150)1(30)35

21(1：1)2(165)2(35)30

31(1：1)3(180)3(40)29

42(2：3)1(150)2(35)26.4

52(2:3)2(165)3(40)26

62(2:3)3(180)1(30)15

73(3：7)1(150)3(40)20

83(3：7)2(165)1(30)20

93(3：7)3(180)2(35)23

I9481.470

II67.47679.4T=224.4

III636775

①数学模型(由正交表写出模型)：

y,=〃+%+a+c[+£[,

Y2=〃+%+Z?2+c2+£2,

X=〃+4]+/+c3+£3,

匕=〃+/+仄+Q+/

②参数估计:

心“

③方差分析：和的计算公式为：

2=I；+〃：+喏_/

'一第，•列水平重复次数数据总个数

£=第洌水平数-1

S：=未排因数列的S：之和;

£二未排因数歹U的£之和；

,则第i列因素显著。

④、求最优预测值

九=门+显著因素最优水平效应的估计值

四、例题

1、两因素非重复试验方差分析的数学模型为

xu=//+«,+B/+%

<i=l,2,…/

各j相互独立，J=L2,---,5

H01:

数据的数学

模型为。

Y]=〃+%+&+£1

匕=4+q+a+邑

〈

X=〃+/+4+£.3

Y4=jLJ+a2+b2+q

3.单因数方差分析的数学模型为：

Xg=i=1,2，…，厂

<%~N(O,S))=1,2,…,〃

各％相互独立

(1)求总离差平方和的分解式，并求；

(2)求假设H0:的拒绝域;

(3)求人的无偏估计。

解：⑴二

22

=H（X厂X,）+2££（x0.-兄）（兄-X）+££（用-X）

i=ly=l1=1j=li=lj=l

二f£（X厂兄尸+££（兄—V）2=2+0

；=1>1r=l六1

厂X)2〜/(7-1)

bG,=1j=\

4

DQr=2(rp-l)cr

(2)构造统计量

。少/〃0成立

：〜

F=/_1i?rp-r)

QE/

/rp-r

在HO不成立时，统计量F有偏大的特征

给定显著水平，使

P{F>Fa（r-rp-r）}=a

拒绝域为NFa（r-\,rp-r）

EQE=E££（X厂用）2=E-P%2）=tiEX<j-PE年）

1=1j=lL：=lj=lJi=l/=1

=£（£（"+"；）-P（—十说））=々pa?-、）=（苧-r）a2

>1Pi=l

a2=-^~为1的无偏估计。

rp-r

4.设用3台机器A,B,C生产同一种产品，每台机器

的日产量如下：

A1:41,48,41,57,49

A2:65,57,54,72,64

A3:45,51,56,48,48

问在日产量上，各台机器是否有显著差异?

解：设表示第Ai台机器的日产量，

Ho：=〃2=〃3r=3p=5

R=£fx：=43356

/=1j=l

则有QA=e-P=667.73,2/;=/?-(?=447.2,Q『=R-P=1114.93

方差离差平方和自由度均方误差F值F。值显著性

来