浙江省宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试卷（含答案）

浙江宁波市三锋联盟2025-2026学年高一下学期6月期末练习数学试题一、单选题1．已知，则点的坐标是（

）A． B．C． D．2．复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．3．如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（

）A． B． C． D．4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（

）A．8个 B．10个 C．12个 D．14个5．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．已知甲箱内放有形状、大小、质地都相同的6张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，6，从甲箱内有放回地依次抽出两张卡片，记录卡片上的数字，记“两张卡片上数字都是奇数”为事件，“两张卡片上数字都是偶数”为事件，“两张卡片上数字之积为偶数”为事件，“两张卡片上数字之和为奇数”为事件，则（

）A．事件与是对立事件 B．事件与互斥C．事件与是对立事件 D．事件与互斥但不对立7．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（

）A．千米 B．千米C．千米 D．千米8．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．当时，在上的投影向量为10．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（

）A．该组数据的极差为B．该组数据的70%分位数为C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差11．如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（

）

A．B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为C．点到平面的距离为定值D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时，三、填空题12．已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________.13．已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______．14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________，的最小值为__________．四、解答题15．已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足(1)求的值；(2)在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.16．如图，在梯形中，，，为线段上靠近点的三等分点，为线段的中点．(1)用向量，表示；(2)若，求．17．记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求；(2)求的最大值.18．某企业以“庆祝春节，迎接新年”为主题的职工歌手大赛决赛如期举行，满分100分，共有100人参赛，将参赛歌手的成绩分成如下五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求的值及参赛歌手的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；(2)根据频率分布直方图，求参赛歌手成绩的分位数；(3)从参赛成绩在和的歌手中，采用分层随机抽样方法抽取6名歌手，再从抽取的这6名歌手中随机抽取2名歌手，求这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率.19．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，点E是棱CD上的一点（不同于C，D两点）.(1)求证：平面平面PCD；(2)若，求二面角的正切值；(3)若直线PB与平面PAE所成角的正弦值为，求DE的长.参考答案1．C2．B3．B4．C5．D6．C7．D8．B9．ACD10．AD11．AC12．0.18/13．14．3/15．（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则；（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.16．（1）由题意可知，，，所以．（2）因为，，所以，因为，，，所以．17．（1）由已知，即，又在中，，则，可得，即，又由正弦定理可知，即，又，所以；（2）由（1）可得，，则，又在中，，即，由，，则，所以当，即时，取最大值为.18．（1）第一至第五组对应的频率分别为；；；；，所以，解得，所以参赛歌手的平均成绩为分.（2）由，，得参赛歌手成绩的分位数为分.（3）由，得这6人中参赛成绩在的人数为人，分别记为，，，；在的人数为人，分别记为，.在这6个人中抽取2个人，共，，，，，，，，，，，，，，，15个基本事件，这2名歌手比赛成绩在和内各1人，共，，，，，，，，8个基本事件，故这2名歌手比赛成绩在和内各1人的概率为.19．（1）证明：因为，，，所以，，由余弦定理得，所以，所以，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，PA，平面PAC，因此平面PAC，而平面PCD，所以平面平面PCD.（2）取PC的中点F，过点F作，垂足为G，连接AF，AG，如图所示.因为，所以，，，由（1）知平面PAC，而PC，平面PAC，所以，，因为，CD，平面PCD，所以平面PCD，又平面PCD，所以，因为，，AF，平面AFG，所以平面AFG，又平面AFG，所以，所以为二面角的平面角.因为，所以，，所以，所以，所以，所以二面角的正切值为