随机变量的直观意义连续型变量

随机变量的直观意义（连续型变量）

对于离散型随机变量，我们可以建立随机变量取值和

其概率的一一对应，即概率函数。而对于非离散型随机变

量，如“某地气温”、“某类考生的体重”、“某地区麦穗的长

度”、“顾客在邮局窗口等待服务的时间”等，这些随机变量

可能取的值充满一个区间，该怎样描述它们呢？

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这

种类型的随机变量，不能象离散型随机变量那样，以指定它

取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出所

谓“概率密度函数’的方式。引例某地区麦穗的长度X是一

个随机变量。抽取了部分麦穗，测得它们的长度，数据整理

数分布直方图

后的信息如下cm

(a)当时，麦穗长度的频率直方图如上。

图中矩形宽度为1,高度为频率，所以所有

矩形面积之和为1。此时麦穗长度的取值为

1,2,3,.一即X是一个离散随机变量。

(6)当*0.1时，麦穗长度的频率直方图如上。

图中矩形宽度为0.1,高度为频率，所有小矩

形面积之和仍为1。

(c)当Ax->0时，麦穗长度的频率图趋于上图所示的一

条光滑的曲线。如果记这条曲线为p(x),则p(x)与.V轴

所围成的部分面积仍为1。此时X的取值充满了某一

区间，即.V是一个连续型随机变量。

即当Ax无限减小，分组无限增多时，频率分布直方图

就会无限接近一条光滑曲线，此即为随机变量X的概率密度

曲线，以该曲线为图形的函数称为X的概率密度函数。

连续型随机变量及其概率密度的定义

对于随机变量X,若存在一个非负可积函数f(x),xe(-oo,+

a

oo),使得对任意的实数a,b(a<b),有”就

称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称

下，密度函数的图形称为随机变量X的密度曲线。由定积分

的几何意义可知:X在区间(a,b］上取值的概率P{a<XWb}正

是在该区间上以密度曲线为曲边的曲边梯形的面积。由密度

函数定义和定积分的几何意义可知：(1)连续型随机变量X

取任何一固定值c的概率为零，即P{X=c}=0(2)连续型随

机变量X在任一区间上取值的概率与是否包含区间的端点

无关，即

P[a<X<h}=P[a^X<b]=P{a^X<b}=P[a<X^b}=ff(x)dx

Ja

由密度函数的定义，易知它的性质：

(1)非负性/(x)20,.VG(-OC,+00)

p+8

⑵归一性[f(x)dx=lo

J—

常见连续型随机变量的密度函数

1.均匀分布(Uniformdistribution)若随机变量X的密度函数为

1,

--------a<x<b

f(x)=b-a

10其它就称X在区间[a,b]上服从均匀分布，记作

X〜U(a,b)

X.v)

1_____

b-a

-6

-----T(TJ~a~b"A*

均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍

五入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第

一位进行四舍五入时，那么一般认为误差服从(-0.5,0.5)上

的均匀分布。

再者，假定班车每隔a分钟发出一辆，由于乘客不了解时间

表，到达本站的时间是任意的（具有等可能性），故可以认

为候车时间服从区间（0,a）上的均匀分布。

性质：均匀分布具有等可能性

服从U（a,b）上的均匀分布的随机变量X落入（a,b）中的任意

子区间上的概率只与其区间长度有关，与区间所处的位置无

关。直观理解就是，X落入（a,b）中的任意等长度子区间上是

等可能的。

----------------►

ah

事实上，对于任意的［VkV片+/V/）均有

rk+l］/

P（k<X<k+l）=\——dt=——

J%h-ab-a

例某报时台以Imin为单位报时,即等于或超过30s

进位Imin,不足30s则略去不计，若以X表明报时台报

时的化整（化整为Imin）的误差：

（1）写出X的概率密度函数；（2）求P{X>10},P{|X|

<10}o

解：（1）依题意，X的可能取值必落在区间（-30,30］

内，而且在该区间内任意一点有相同的概率密度，或者说,

X落在区间（-30,30］之内的任意等长度的部分区间的可能

性是相同的。所以X在区间（・30,30］上服从均匀分布。

概率密度函数为

-------------30<x<301”“

XT)=30-(-30)即心尸.一，。-0

0其它|o其它

3011

—dx=-

(io603

=P[.lO<X<10}=f，0-dx=-

Lio603

可以看出，随机误差X落在区间长度为20s的时间段

内的概率都是1/3,其概率与区间所处的位置无关，只与

区间长度有关。

案例北京公交1路每5分钟一趟按时通过天安门

东站，一乘客在随机选择的时间到达车站。以X记他的

等车时间(以分计)，则X是一个随机变量，计算其等车

时间不多于2分钟的概率。

解：依题意，等车时间\服从均匀分布，工〜[0,5),

，0<X<5;

{5

0,其他.

f2l2

尸。V2}=-dx=-

J。》5

2.指数分布(Exponentialdistribution)

若随机变量X的密度函数为尸彳及"X"0其中4>0,

0x<0

则称.V服从参数为％的指数分布，记为A'eG)

指数分布的概率密度曲线如图：

2

因为指数分布只可能取非负实数，所以它被用作各种‘寿

命”分布的近似分布，例如电子元器件的寿命，随机服务系统

中的服务时间等都可假定服从指数分布.指数分布在可靠性

理论与排队论中有着广泛的应用。

例设某日光灯管的使用寿命X服从参数为入=

1/2000的指数分布。

(1)任取一根这种灯管，求能正常使用1000小时以

上的概率；

(2)有一根这种灯管，求正常使用了2000小时后，

还能使用1000小时以上的概率。

解：X服从参数为2=1/2000的指数分布，其密度函数为

1.JC

——e20痴，X>0,

/«=2000

0,其他.

(1)依题设，这根灯管能正常使用1000小时以上的概率是

「+8「+81X

P{X>1000}=If(x)dx=Ie~2ooodx

JioooJioooZUOO

+8

x_1

=­e20001000=e~2x0.607

(2)正常使用了20U0小时以后，还能使用MHM)小时以上的概率是

P(X>3000且X>2000}_P{X>3000}

P{X>3000|X>2000}=

P{X>2000}P{X>2000}

e-zwodx十8

h。。=一」zoo。』。=e=e-2^0607

,+81XX[+82

e2MOdxC-2000|

J2OOO2dod-2000eF

从本例可看出，一根灯管能正常使用1000小时以上

的概率为0.607，在使用2000小时后还能使用1000小时

以上的概率仍为0.607o

这是指数分布的一个有趣的“无记忆性

性质：指数分布具有无记忆性

指数分布的无记忆性，简单来理解，就是使用寿命的

长短，与它工作过多少小时是无关的。即

P[X>s+tX>s}=P{X>t}

证明由条件概率的公式?(阴加=缪

「+8

)Ae~Axdx

P[X>s+£且X>s}P[X>s+t]

P{X>s+t\X>s}=s+t

P{X>s}P{X>s},+8

IXe~^dx

1]+8

-e…e-A(s+t)+00

b。。。==e-At

+8AsAe-^dx=P[X>t]

-e

2000

案例电子元件的使用寿命一一某种电子元件的寿命

X(以小时计)服从指数分布，其概率密度函数为

(1-士A

=200

[o,其他

(1)求元件寿命至少为400小时的概率；

(2)将3只这种元件连接成为一个系统。设系统工作的方

式是至少2只元件失效时系统失效，又设3只元件工作相互

独立。求系统的寿命至少为400小时的概率。

解：(1)也子元件的