九年级数学上册第四章第四节暑期预学导学案：基于深度学习的相似三角形判定条件探究

九年级数学上册第四章第四节暑期预学导学案：基于深度学习的相似三角形判定条件探究

一、课程基本信息与课标解读

【学科与学段】初中九年级数学

【课题】第四章图形的相似第4节探索三角形相似的条件（第一课时：两角分别相等）

【课型】暑期预学探究课

【课时】1课时（40分钟）

【课标依据】《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，图形与几何是初中数学课程的重要领域。对于相似三角形的学习，课标要求学生在理解相似多边形概念的基础上，经历探索相似三角形判定条件的全过程，掌握基本判定定理，并能解决简单的实际问题。本导学案的设计严格遵循课标精神，致力于通过“三会”——会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界——来统领整个预学活动，将课程改革理念中的“单元整体教学”、“任务驱动”、“教学评一致性”以及“学科核心素养（几何直观、推理能力、模型观念、应用意识）”不折不扣地落实到每一个教学环节中。

二、教材分析与学情研判

（一）教材地位与作用【非常重要】【高频考点】

本章“图形的相似”是初中数学“图形与几何”模块的核心内容，它既是全等三角形知识的延伸和拓展，也是后续学习锐角三角函数、相似三角形的应用、圆中比例线段以及高中平面解析几何的基础。本节“探索三角形相似的条件”是全章的核心内容，它揭示了相似图形的本质属性，为解决线段求值、证明比例式与等积式以及实际生活中的测量问题提供了强有力的工具。本课时作为本节的第一课时，重点探究“两角分别相等的两个三角形相似”这一最基本的判定方法，它是后续学习“两边成比例且夹角相等”和“三边成比例”的基础，具有承上启下的关键作用，在各类大、中型考试中属于必考内容。

（二）学情分析

1.知识储备【基础】：学生已经具备了一定的几何基础，包括：七年级学习的三角形内角和定理、平行线性质；八年级学习的全等三角形的定义、性质和判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）；以及本章前几节刚刚学过的成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形的定义。这些知识为类比探究相似三角形的判定条件奠定了坚实的基础。

2.认知特点：九年级学生正处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，具备了一定的观察、猜想、归纳和简单推理的能力，但思维的严谨性和表达的规范性仍有待加强。面对新问题，他们习惯性地想用旧经验去类比和解决，这正是我们教学设计的出发点。

3.潜在困难【难点】：如何从“全等”（形状相同、大小相同）自然地过渡到“相似”（形状相同、大小不同），并深刻理解“两个角相等”这一条件为何能推出“三边成比例”这一隐含结论（即通过定义证明相似的本质），是学生认知上的第一个坎。此外，在复杂的图形中准确找出对应角，并规范书写推理过程，也是学生面临的主要挑战。

三、学习目标与核心素养指向

基于上述分析，结合深度学习理念，本课时的学习目标设定如下：

1.通过类比全等三角形的判定方法，经历“观察—猜想—验证—归纳”的数学活动过程，自主探索并掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。【重要】【核心素养：推理能力】

2.能结合具体图形，准确找出对应角，并运用该定理熟练解决简单的证明和计算问题，进一步体会几何语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换，提升几何直观和模型观念。【高频考点】【核心素养：几何直观、模型观念】

3.在探究过程中，感悟类比、转化、分类讨论的数学思想方法，体验数学发现的乐趣，增强学好数学的自信心，并在解决实际问题的过程中培养应用意识和实践能力。【核心素养：应用意识】

四、暑期预学导学案：教学实施全过程

【预学准备】

（一）知识链接与激活

1.回忆旧知：什么是全等三角形？判定两个三角形全等的方法有哪些？（SAS，ASA，AAS，SSS，HL）

2.类比思考：全等三角形是相似三角形的特例（相似比为1）。那么，类似于判定全等，判定两个三角形相似至少需要几个条件？这些条件应该关注三角形的哪些要素（角、边）？

3.动手操作：请同学们利用直尺和量角器，任意画出一个△ABC，使得∠A=45°，∠B=60°。然后，再任意画出一个△A‘B’C‘，使得∠A’=45°，∠B’=60°。

（二）预学任务一：基于“两角”的直观感知与猜想【基础】

1.观察与测量：观察你所画的两个三角形，它们的形状相同吗？请用量角器测量一下∠C和∠C‘的度数，并计算三组对应边的比值（AB/A’B‘，AC/A’C‘，BC/B’C‘）。

2.初步猜想：通过上述操作，你发现了什么？如果两个三角形的两个角分别相等，那么第三个角______，它们的对应边______。由此，你可以得到怎样的猜想？

（三）预学任务二：深入探究与逻辑验证（核心环节）【非常重要】【难点突破】

1.理论推导（用定义证明）：

问题：我们已经猜想“两角分别相等的两个三角形相似”。回忆相似三角形的定义（三角相等，三边成比例）。根据三角形内角和定理，由两角相等推出第三角相等是显然的。因此，核心在于如何证明“三边成比例”。

方法引导（“作全等证相似”法）：请参照课本P90页“想一想”及“做一做”，尝试完成以下推理过程。

已知：如图，在△ABC和△A’B‘C’中，∠A=∠A‘，∠B=∠B’。

求证：△ABC∽△A‘B’C‘。

思路提示：

（1）在△ABC的边AB上截取AD=A’B‘，过点D作DE∥BC，交AC于点E。这样，我们构造了一个“桥梁”三角形△ADE。

（2）由DE∥BC，你能得到△ADE与△ABC有什么关系吗？（△ADE∽△ABC）

（3）证明△ADE与△A’B‘C’全等。（依据ASA）

（4）由全等得到A‘B’C‘的对应边与△ADE相等，从而将△A’B‘C’与△ABC联系起来，最终证明三边成比例。

【重要提示】：这是数学史上经典的证明方法，也是培养逻辑推理能力的关键步骤。请务必亲自动手推导一遍，感受从“相似”到“全等”再回归“相似”的转化思想。

2.归纳总结：

通过以上严格的推理，我们可以得到判定定理：

文字语言：两角分别相等的两个三角形相似。

符号语言：在△ABC和△A’B‘C’中，

∵∠A=∠A‘，∠B=∠B’，

∴△ABC∽△A‘B’C‘。

几何语言（图形标注）：在图中，用相同数量的弧线标记相等的角。

（四）预学任务三：变式辨析与模型提炼【热点】

1.常见模型识别【非常重要】：

相似三角形在中考中常以“基本图形”的形式出现。请结合定理，识别以下两种常见模型：

（1）“A”字型（平行线型）：

如图，在△ABC中，DE∥BC。

分析：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）。又∠A是公共角。

结论：△ADE∽△ABC。

请写出证明过程的符号语言。

（2）“8”字型（对顶角型）：

如图，直线AB与CD相交于点O，且AC∥BD。

分析：∵AC∥BD，∴∠A=∠B，∠C=∠D。又∠AOC与∠BOD是对顶角。

结论：△AOC∽△BOD。

思考：如果AC与BD不平行，但已知∠A=∠D，∠B=∠C，这两个三角形相似吗？为什么？

2.条件辨析【难点】：

思考：如果两个三角形中，有两组角相等，但相等的角不是对应角（例如，∠A=∠D，∠B=∠E，但对应关系应该是A与D，B与E，C与F），它们还相似吗？请举例说明。

结论：在书写三角形相似时，必须注意字母的对应关系，将对应顶点写在对应的位置上。

（五）预学任务四：应用迁移与问题解决

1.基础演练（直接运用定理）：

例1：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°。求证：△ABC∽△DEF。

【思路导航】：先利用三角形内角和求出第三个角，再判断对应关系。

2.变式训练（含公共角、等角的代换）：

例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D。

（1）图中有哪几个直角三角形？

（2）它们两两之间相似吗？若相似，请说明理由。

【高频考点】：这是“双垂直”模型，是初中几何中最重要的相似基本图形之一，常考常用。

分析：图中三个直角三角形△ABC，△ACD，△CBD。

证明：以△ABC∽△ACD为例。在△ABC和△ACD中，∠B是公共角？不，∠A是公共角？注意观察。在△ABC和△ACD中，都含有∠A，且都有一个直角（∠ACB=∠ADC=90°）。∴△ABC∽△ACD（两角对应相等）。

请模仿上述思路，证明△ABC∽△CBD，以及△ACD∽△CBD。

3.实际应用（跨学科视野）：

例3：【物理+数学】如图，小军想测量一棵树的高度。他在某一时刻测得长为1米的竹竿影长为0.9米。同一时刻，他去测量树的影子，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影长CD为0.2米，落在地面上的影长BD为4.8米。请你帮助小军求出这棵树的高度AB。

【思路导航】：这是利用相似三角形解决实际问题的典型题。关键是理解“在同一时刻，物高与影长成正比例”。需要将树的影长分成两部分，通过作辅助线构造相似三角形。本题培养了学生的模型观念和应用意识。

五、效果评价与反馈机制（教学评一致性）

（一）即时性评价（预学自检）

1.【基础达标】判断下列说法是否正确：

（1）有一个角相等的两个等腰三角形一定相似。（）

（2）有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似。（）

（3）所有的等边三角形都相似。（）

（4）所有的直角三角形都相似。（）

2.【技能过关】已知：如图，∠1=∠2，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由。

（二）形成性评价（小组互学与展学）

【设计意图】暑期预学后，建议学生组建线上学习小组，对以下问题进行深度研讨，并将成果拍照上传至班级群相册。

1.核心问题研讨：

（1）类比全等三角形的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS，HL），我们研究了“两角相等”判定相似的方法。如果只知道一个角相等，或者只知道两边成比例，能判定相似吗？为什么？请举例说明。

（2）在“双垂直”模型中，我们得到了三个相似三角形。由此，你能推导出哪些重要的等积式？（如AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，CD²=AD·DB）请尝试证明其中一个。

2.思维导图构建：

请以“三角形相似的判定”为核心，将本课时所学的内容（包括定理、模型、证明方法、数学思想）制作成一张思维导图。

（三）总结性评价与教师点拨

1.易错点归纳【必纠错】：

（1）对应关系不明确：在用符号语言表示相似时，必须严格按照对应顶点的顺序书写。

（2）判定条件混淆：误以为“一个锐角相等”就是直角三角形相似的充分条件（确实是，因为另一个锐角也必然相等），但思考过程要严谨。

（3）模型认知模糊：在复杂图形中不能准确分解出“A字型”或“8字型”。

2.思想方法提炼：

本课时我们主要运用了类比思想（类比全等研究相似）、转化思想（通过作平行线构造全等与相似）、模型思想（提炼基本图形）。这些思想方法是解决几何问题的灵魂，希望大家在今后的学习中不断体会和运用。

六、教学反思与前瞻设计

本导学案的设