广东省东莞市2025-2026学年高一下学期教学质量自查数学试卷（含部分解析）

广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高一数学试卷一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（

）A． B． C． D．2．已知数据：1，2，2，2，3，3，将这组数据的每个数值加上2后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（

）A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数3．已知非零向量，满足，则（

）A．，共线 B．，垂直 C．，模相等 D．或为单位向量4．直角梯形中，，，以所在直线为轴，其余三边绕轴旋转一周形成的面所围成几何体的体积为（

）A． B． C． D．5．从互不相等的5个数中随机去掉2个数，则极差变小的概率为（

）A． B． C． D．6．已知向量，，，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．记，分别为事件，的对立事件，如果事件，互斥，那么（

）A．是必然事件 B．是不可能事件C．与互斥 D．三、单选题8．已知，是异面直线，平面，平面．若存在一条直线，同时满足，，，，则（

）A． B．C．与相交，且交线与平行 D．与相交，且交线与垂直四、多选题9．已知是虚数，设是的共轭复数，则下列说法正确的有（

）A．是实数 B．是纯虚数 C． D．10．某学校高一年级有男生640人，女生360人．为获取该校高一学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为175，方差为36，女生样本的均值为165，方差为36．如果已知男、女样本量按比例分配时，总样本均值为171.4，方差为59.04．如果已知男、女的样本量都是50，则下列说法正确的是（

）A．总样本的均值小于171.4 B．总样本的均值大于171.4C．总样本的方差小于59.04 D．总样本的方差大于59.0411．定义非零向量，的一种新运算（为向量，的夹角），则下列说法正确的是（

）A．若，则B．C．若，，则D．若，，则的最大值为2五、填空题12．已知向量，为单位向量，向量在向量方向的投影向量为，则______________．13．已知球的半径为1，正三棱锥的顶点为，底面的三个顶点，，均在球的球面上，则当该三棱锥的侧面积最大时，与平面所成角的正弦值为_______________．14．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子1次，观察它朝上面的数字，得到样本空间，设事件，事件，若事件且满足，事件，相互独立，事件，不相互独立，则满足条件的事件的个数为_______________．六、解答题15．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），制作频率分布表如下：分组频数频率400.2x0.25600.320y300.15合计2001.00(1)请求出频率分布表中，的值，并估计月均用电量的平均数；(2)为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，使80%的居民缴费在第一档，请估计第一档月用电量标准上限（最大值）．16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点．

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面．17．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，，，为三条边所在的直线上的点，且满足，，．(1)求角；(2)证明：，，三点共线；(3)若，求面积的最大值．18．如图，在三棱锥中，，，．记二面角为（），二面角为，二面角为．(1)证明；(2)求的值；(3)当最大时，求．19．在某比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首轮由四人抽签两两对阵，两场比赛胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；第二轮，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局并获得第四名；第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的“败者”对阵，胜者晋级到最后的决赛，败者淘汰出局并获得第三名；最后一场比赛在剩下的两人间进行，胜者获得冠军，败者获得第二名．已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵结果相互独立．(1)若．①求甲获得第四名的概率；②设甲总共进行了3场比赛为事件，甲获得冠军为事件，证明：事件，相互独立；(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人抽签两两对阵，两场比赛的胜者晋级到决赛（争夺冠军），败者参加三、四名排位赛，哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．参考答案1．C【详解】虚数单位的幂具有周期性，周期为，即对任意，有，，，.因此.所以.故的虚部为.2．A【详解】设原始数据为，调整后的数据为，满足.对于A，，，所以，方差不变，A正确；对于B，原始数据的众数为出现次数最多的2，调整后众数为，发生改变，B错误；对于C，原始数据共6个，中位数为，调整后中位数为，发生改变，C错误；对于D，由均值性质得，平均数发生改变，D错误.3．B【详解】两边平方得：，根据向量模长的平方公式，将等式两边展开：，化简得，已知，都是非零向量，且它们的数量积，根据向量垂直的判定条件，这说明向量与互相垂直，B正确.4．D【详解】依题意，所得几何体是上下底半径分别为，高为1的圆台，所以所求体积为.

5．B【详解】记互不相等的5个数为，则样本空间，共10个样本点，极差不变的事件，共3个样本点，所以极差变小的概率为.6．B【详解】，，所以，因为，所以，且，即，得，，，，代入得，解得.7．AD【详解】设样本空间为对于A：因为事件，互斥，则.可得，所以是必然事件，故A正确；对于BC：因为，可知当且仅当，即事件，对立时，，但题干中并没有说明，不一定是不可能事件，即与不一定互斥，故选项BC不一定正确；对于D：因为，所以，故D正确.8．C【详解】假设，则由平面，得平面；又平面，所以，与是异面直线矛盾，所以假设不成立，故A不正确；所以相交.设，由平面，得；由平面，得.若存在一条直线，同时满足，，则存在直线，使得.所以，所以.所以，所以，所以.故C正确，D不正确；当且仅当时，，例直四棱柱中，，分别记平面为，，，满足题意，但二面角的平面角为，所以不垂直.故B不正确.

9．ABD【详解】设虚数（，且），则其共轭复数.A：，为实数，故是实数，A正确；B：，由于，故实部为0、虚部不为0，是纯虚数，B正确；C：是正实数；，其中，所以实部不同，二者不可能相等，C错误；D：根据复数模的运算性质，，共轭复数模长相等即，且是虚数故，因此比值为1，D正确.10．AD【详解】总样本均值，，故A正确；B错误；分层总方差，，故C错误；D正确.11．ACD12．【详解】向量在向量方向的投影向量为，所以，已知为单位向量，因此，即，所以，对比等式两边的系数，可得.13．/【详解】设外接圆半径为，正三棱锥的高为.则.该三棱锥的侧面积为，当且仅当，即时，等号成立.此时，，所以.由正弦定理得，，所以.，.设与平面所成的角为，则.故当该三棱锥的侧面积最大时，与平面所成角的正弦值为.14．【详解】由，可得设事件包含样本点个数为，事件包含样本点个数为，则，因为，所以，即因为，包含个样本点，所以，即，若，则，即，则，，与题意不符；若，则，，则，所以，即中有个数来自，个数来自，又，且，所以，即若，则或，此时，与题意不符；所以或，若，则，与题意不符；综上，满足条件的事件的个数为.15．(1)，，月均用电量平均数估计为(2)第一档月用电量标准上限估计为【详解】（1），，中间值作代表，月均用电量的平均数估计为；（2）因为，，故第一档月用电量标准在内，设为，，解得，故第一档月用电量标准上限估计为16．(1)连接，交于点，连接，由条件可知为中点，又是的中点，所以，又平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，是的中点．则，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【详解】（1）略（2）略17．(1)(2)设，.由，得，整理：，由，得.由，得.，.与共线，且有公共点D，故D，E，F三点共线.(3)【详解】（1）已知，由正弦定理，可得：因为，所以，代入上式：，整理得：，因为，可得，即，.又，所以，故，得.（2）略（3）已知，，由余弦定理：可得，由基本不等式，得：，所以，当且仅当时取等号.中，，，，，因为，所以：.18．(1)证明:取中点，连接，，那么因为,为中点，所以,同理可得，又平面,所以，平面，平面，所以，.(2)(3)【详解】（1）略（2）作于点，于点，作于点，作于点,连接,因为,所以与全等，所以，,所以，与全等，所以，又，平面,所以，平面,平面,平面,则平面,平面,则，又平面故平面，所以，为二面角的一个平面角，同理可得为二面角的一个平面角，,因为，，，所以,所以，为直角三角形，,所以，四边形为矩形，，所以，（3）由（2）得，，为锐角，,所以为二面角的一个平面角，，所以，,由于为锐角，故，所以，，当且仅当即时，取得最大值，所以，设，则，，在中，,,又，所以，,.19．(1)①；②甲总共进行了3场比赛，有四种可能性分别为第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军；第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛败获得第二名；第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮败获得第三名；第一轮败进入“败区”，第二轮胜，第三轮败获得第三名；所以，甲获得冠军，有三种可能性分别为第一轮胜进入“胜区”，第二轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军；第一轮胜进入“胜区”，第二轮败，第三轮胜进入决赛，决赛胜获得冠军；第一轮败进入“