专题14 概率与统计（解析版）

专题1.4概率与统计

题组一、独立性检验与线回归方程及其应用

1-1、(连云港2022—2023学年度高三第一学期10月检测)在200人身上试验某种血清预防

感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外200名未用血清的人的感冒记录进行比较，结

果如下表所示.问：是否有90%的把握认为该种血清对项防感冒有作月月？

未感冒感冒

使用血清13070

未使用血清11090

n(^acl-bc)~

(a+h)(c+d)(a+c)e+d)

P[K2>k]0.100.0100.001

k2.7066.63510.828

【答案】有90%的把握认为该种血清对感冒有作用.

【解析】

【分析】由卡方的计算结果即可判断.

【详解】由表中数据可知：

/n(ad-bc)2400(130x90-110x70)225—…区

K=-------------------------=------------------------=—«4.167>2.706，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)200x200x240x1606

所以有90%的把握认为该种血清对感冒有作用.

1-2、(南京师大附中2022-2023学年度高三第一学期10月检测)(本小题满分12分)某研

究性学习小组对某植物种子的发芽率,，与环境平均温度》(。0之间的关系进行研究，他们

经过5次独立实验，得到如下统计数据：

第〃次12345

环境平均温度x/℃1819202122

种子发芽率y62%69%71%72%76%

(1)若从这5次实验中任意抽取2次，设种子发芽率超过70%的次数为前求随机变量4

的分布列与数学期望；

(2)根据散点图可以发现，变量)，与x之间呈线性相关关系.如果在第6次实验时将环境

平均温度仍然控制在21。。根据回归方程估计这次实验中该植物种子的发芽率.

【解析】(1)4的可能取值为0，1，2,

—八、C；1I、C\C\6nzc、C；3

则P(4=0)=T=—，P(&=1)==2)=T=—

'clio"Gio'c；io

所以q的分布列为：

012

P0.10.60.3

UPEG)=1.2；

18+19+20+21+22

（2）由已知得了二=20,

0.62+0.69+().71+0.72+0.76八

y二----------------------------=0.7

5

20.08+b0.01+0+l0.02+20.06

所以3==0.031,«=0.7-0.031-20=0.08

4+1+0+1+4

即$=0.08+0.03lx

当第6次实验，即x=23时，^=0.08+0.031-6=0.793

答：根据回归方程估计这次实验中该种子的发芽率为79.3%.

1-3、（2022~2023学年山东潍坊第一学期期中调研考试）（12分）2022年2月22日，中央

一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网

直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播

的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：

观看人次X（万次）76827287937889668176

销售量），（百件）808775861007993688577

io10

参考数据:Z(七一可=600,Z(X-y\=768,x=80.

r=li=l

（1）已知观看人次x与销售量y线性相关，且计算得相关系数r=，求回归直线方程

16

A

y=hx+a\

（2）规定:观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优

秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主捆中随机抽取3名，若用X

表示这3名主播赋分的和.求随机变量X的分布列和数学期望.

A-,）AZGT5-同

（附：〃=上J-------------"二歹一位，相关系数r=•I且）

号।Vi=i

【解析】

刃…）”），所以唔

yt-y)

：（1）因为r=

7600x768

一1

y=—(80+87+.-+77)=83

—一11所以回归直线方程为了二技工-5.

a=y-bx=S3-—xS0=-5,

（2）金牌主播有5人，2人赋分为2,3人赋分为1,

则随机变后X的取值范用是{3,4,5}

NX=3）=1='，"=4）=等=|,P（X=5）=警磊,

所以X的分布列为：

X345

133

P

lo5lo

133

所以E(X)=3x—+4x-+5x—.

\)105105

1-4、（南京市2023届高三年级学情调研）某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英

语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情

况如下表：

合格不合格

男生3515

女生455

（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生.能否合格与性别有关？

（2）从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数J的概率分布及数学期望；

（3）将抽取的这KX）名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的

概率.若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增

加0.1.现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格

的概率.

“(C0-机)2

参考公式和数据:K2n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)S+d)

附表:

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解析】

【分析】(1)由条件计算K2,再比较其与临界值的大小，并作出判断；(2)由条件确定4的可

能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望；(3)根据概率

乘法公式和概率加法公式求对应事件的概率.

【小问1详解】

因为片=________n(ad-bc)2______

(〃+/?)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

又4=35,b=15,c=45，d=5，

所以k」00(35二二45y);图:625,

50x50x80x2016

又尸(六26.635)=0.01,6.635>6.25，

所以没有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关;

【小问2详解】

由已知《的取值有0,1,2,

P(g=o)=冬=』，pc=i)=£k^L=3,pq=2)=与=12,

CL35C*7c*35

所以g概率分布为：

4012

3317

P

35735

33177

所以E（4）=OX3+1X]+2XU=L；

357355

【小问3详解】

4

由已知该校学生首次参加英语四级考试成绩合格的概率为彳，首次不合格第二次合格的概

率哈

4416

所以两位同学都首次参加英语四级考试成绩合格的概率为一x一,即一,

5525

419

两位同学其中一位首次合格，另一位同学首次不合格，第二次合格的概率为2x=x二x二,

5510

嚷

119981

两位同学都首次不合格，第二次都合格的概率为丁丁而X/即苏

所以至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率为

3+迎+旦=%=0.9604.

2512525002500

1-5、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）某工厂为了提高生

产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各

20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下:

改造前：19,31,22.26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,

20,24,21；

改造后：32,29,41.18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,

37,38,36.

⑴完成下面的列联表，并依据小概率值a=0.010的独立性检验分析判断技术改造前后的

连续正常运行时间是否有差异？

技术改造设备连续正常运行天数

超过30不超过30合计

改造前

改造后

合计

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维

护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为了天（即从开工运行到第k7天，

4cN"）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相

互独立，在一个维#周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而

不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产

生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元

/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.

现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方案:T=30,k=1,23,4以

生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产

周期内生产维护费的分布列及均值.

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

/二色硒罂盘百切’（其中〃+8+'+”）•

.【解析】⑴列联表为：

设备连续正常运行天数

技术改造合计

超过30不超过30

改造前51520

改造后15520

合计202040

.........................................................（2分）

零假设为：”°：技大改造前后的连续正常运行时间无差异.

24（X5x5-15x15）2____^八、

~20x20x20x20~1in0>6,635f................................”分）

/.依据小概率值a=0.010的独立性检验分析判断H。不成立，即技术改造前后的连续

正常运行时间有差异...............（5分）

（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生

产线需保障维护的概率为P=~.

4

设一个生产周期内需保障维护的次数为则4〜B（4,；）；一个生产周期内的正常维

护费为05X4=2万元，保障维护费为02」x；g+l）=+01J万元.

/.一个生产周期内需保障维护4次时的生产维护费为（O."2+o.q+2）万元.

设一个生产周期内的生产维护费为X,则X的所有可能取值为2,2.2,2.6,3.2,

4.......................（7分）

81

P（X=2）=

-256,

P（X=2.2）=C][1--1_27

\44~64

27

P（X=2.6）=C；1

-128

3

p（X=3.2）=C：

64

（1AJ

p（X=4）=-=—..............................（10分）

UJ256

所以，X的分布列为

X22.22.63.24

81272731

P

2566412864256

Q1272731

.•.E（X）=2x3+2.2x——+2.6x——+3.2x—+4x——................（11分）

2566412864256

162+237.6+1404+38.4+4582.4。

=------------------------------------=--------=2.273,

256256

二.一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元..................（12分）

题组二、离散型随机变量分布列、期望

2-1、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分

12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种.单项选择题，每道题

四个选项中仅有•个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选

项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测.己知小明知道单

项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是;.问小明在做某道单项选择题时，在该道题

做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率.

22

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为不，选择两个选项的概率为彳，选择

1

二个选项的概率为三.己知某个多项选择题有二个选项是正确的，小明在完全不知道四个选

项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X,

求X的分布列及数学期望.

【解析】：（1）设事件A为“题回答正确”，事件8为“知道正确答案”，则

P(A)=P(8)P(A18)+P(B)P(A|B)=|xl+|xl=|,

3分

所以p⑻加还二殁3上」.5分

尸⑷P（A）55

8

（2）设事件4表示小明选择了，个选项，事件C表示选择的选项是正确的，则

?27C2I

P(X=2)=P(AC)+P(AC)=-x-+-x-^=-

P(X=5)=P(A.C)=-x^-=—

V375C：20

9

p(X=O)=l-P(X=2)-P(X=5)=—,

(或者P(X=())=P(AC)+P(4C)+P(4C)=1X；+]XS+:X圣=2.)

随机变量x的分布列如下:

X025

9J_1

P

20220

E(X)=lx2+—x5=-

12分

2204

2-1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）2020年1月15

日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基

计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强

基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拨尖的学生,

据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知

甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报

考甲大学，每门科目通过的概率匀为大，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次

23

2

—,m其中0＜加＜1.

3

(1)若加=［，求该考竺报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率；

(2)“强基计划〃规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学

期望为决策依据，则当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围.

【解析】

:(1)该考生报考乙大学在笔试环节恰好通过两门科目的概率为

一」+、i二2」1+1八27

P=—x—x」后.(3分)

323L3)233I2J

•••甲通过的考试科Fl数X〜3,工13

（2）,A^（X）=3x-=1.（5分）

I2

(IA22

设乙通过的考试科目数为y,则夕(y=o)=i--xX（l-Z/7）=-（l-,W）,（6分）

\3)3

x1-i12

尸(y=i)xm+1-

I3J、793

（7分）

I2（1一〃）z+；x1--2]x/n+[1221

p（y=2）=§x§xx-xm=-+-m（8分）

3393

।97

P（Y=3）=-x—xm=^m,（9分）

,,0x1（l-,）]xl5|1I\（21A2

£（r）=W+——m+2x—+—m-I-3x—+1'（10分）

93J939

3

•••该考生更希望通过乙大学的笔试，・・.E(y)>E(x),・・.，〃+1>不

2

・•・当该考生更希望通过乙大学的笔试时，〃，的取值范围是•（12分）

2-2、(湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考)2022年9月28日晚，中国女排在

世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以3：。的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲

上了热搜榜第八位,令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：

每场比赛采用"5局3胜制，，(即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束).比赛排名采用积分

制，积分规则如下：比赛中，以3：°或3:1取胜的球队积3分，负队枳0分；以3:2取胜的

2

球队积2分，负队积1分.已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为3.

(1)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(2)如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等论概率.

【解析】

【分析】(1)分析可知随机变量X的可能取值有。、1、2、3,计算出随机变量X在不同

取值卜.的概率，可得出随机变量X的分布列，进•步可求得E(X)的值；

（2）设第i场甲、乙两队积分分别为Xj、工，分析可得七+乂2=3,利用独立事件和互

斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.

【小问1详解】

解：随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3,

P（x=o）=可+1.售.LL尸（x=i）=c42M9,

'3339'74⑶381

p（X=2）=C：

•智，P（x=3）=哺）卷+⑴27

所以X的分布列为

X0123

\_81616

P

9818?27

所以数学期望E（X）=0x』+lx§+2x"+3x3=aL

'/981812781

小问2详解】

解：记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件A,

设第i场甲、乙两队积分分别为X,、工，则毛=3-X，，=|、2,

因两队积分相等，所以％+乂2=匕+八，即X+X2=（3—Xj+（3—X2）,则

X,+X2-3,

所以

P（A）=P（X[=0）P（X2=3）+^（%1=l）P（X2=2）+P（X,=2）P（X2=1）+P（X,=3）P（X2=0）

1168161681611120

=-X1X1X1----X—=-----.

927818181812796561

2-3.（南京六校联合体2023屈高三8月联合调研）（本小题满分12分）甲、乙两名运动员进行

2I

羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为一，乙胜的概率为一.比

33

赛采用“三局两胜”制，先胜二局者获胜.商定每局比赛i决胜局第三局除外）胜者得3分，败

者得1分；决胜局胜者得2分，败者得。分.已知各局比赛相互独立.

（1）求比赛结束，甲得6分的概率；

（2）设比赛结束，乙得X分，求随机变量X的概率分布列与数学期望.

【解析】

（1）记事件A：”比赛结束，甲得6分”,

则事件A即为乙以0:2败给甲或乙以1:2败给甲，

二口―、.2丫不I22482°

所以P（A）=—+C\x-x-x-=-+—=—.

-33392727

答：比赛结束，甲得6分的概率为2上0..............................4分

27

（注：1.漏掉一种情况的概率,扣2分；

2.未写“记事件”或“答”只扣一分，不重复扣分.）

（2）由题意得，X可取24,6,

则P(X=2)=($2=*,

12117

P(X6)=C!X-X-X-+(-)2=—

=■333327,........................

即X的分布列为

48798

X的数学期望为”）=2寸4%+6叼=亍..................】2分

题型三、概率等综合

3-1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）《中国制造2025»是经国务

院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，

是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、

兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质最为先，坚持把质量作为建设制造强国的

生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正

态分布N（〃，。2）,并把质量差在（〃-O,〃+0）内的产品为优等品，质量差在（〃+O,〃+2（7）

内的产品为•等品，其余范围内的产品作为废品处理.优等品与一等品统称为正品.现分别

从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

465666768696质量差(单位mg)

（1）根据频率分布直方图，求样本平均数亍

（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100,用样本平均数工作

为〃的近似值，用样本标准差5作为。的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一

组中的数据用该组区间的中点值代表)

［参考数据：若随机变量f服从正态分布N(〃，a2),则：P(〃・。<笈〃+。)=0.6827,P(〃

-2。<笈〃+2。)=0.9545,P(〃-3。<笈〃+3。)=0.9973.

(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从

箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X,求X的分布列以及

期望值.

9

【答案】(1)70：(2)0.8186：(3)分布列见解析，J.

O

【解析】

【分析】

(1)结合频率分布直方图，用同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值，

利用平均数的计算公式，即可求解；

(2)由题意，可得X—V(70,l()2),得到正品概率尸二尸(60<X<90)=P(60<X<70)

+F(70<X<90),再利用正态分布曲线的性质，即可求解；

(3)得出X所有可能为0,1,2,3，再利用超几何分布求出每个X的取值所对应的概率即可

得到分布列，然后求出数学期望即司;

【详解】(1)由频率分布直方图中平均数的计算公式，

66

可得工=0.010〉10x46+56+0020x10x56+66+0045X10X+76

222

76+86

+0.020x1Ox

F叶s

(2)由题意可知，检查样本数据的方差的近似值为100,即样本方差=100，

所以标准差0士疗=10,所以随机变量X-N(70,IO?),

可得该厂生产的产品为正品的概率：P=尸(60<X<90)=P(60<X<70)+P(70<X<90)

=^(0.6827+0.9545)=0.8186.

(3)由题意，随机变吊:X所有可能为0,1,2,3,

则p(x=o)=华=上，p(x=\)=^=—fP(X=2)=^-=—,

V/C；281/C；2817C-56

/X=3)=年」，

I，C56

所以随机变量X的分布列为:

X0123

515151

P

28285656

所以随机变量X的期望E(X)=Ox»+lx"+2x与+3x'=g

282856568

3-2、（重庆市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考）（10分）2021年6月,沙坪

坝区磁器口古镇提档升级完工，进一步展现了“古镇会客厅.巴渝新风情”的面貌.为更好的

提升旅游品质，随机选择若干名游客对景区进行满意度评分（满分10（）分），得到如图所示

的样本频率分布直方图.

(1)用每组的中点值代表该组数据，求样本平均值X：

(2)若游客的评分X近似服从于正态分布N(〃,100)，其中"求P(54<X<64).

参考数据：若则P("一b<Xv〃+o■卜0.6827,

尸(〃一2b<X<〃+2。)=0.9545,P(〃一3cr<X<〃+3b)=0.9973.

【解析】

：(1)X=55x0.1+65x0.2+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74

(2)

尸(54vXv64)=(P(〃-2b<X〈"+2cr)—P(〃—b<X<〃+b))+2=(0.9545—0.6827)+2

=0.1359

3-3.（2022、2023学年常州市八校第一学期10月阶段考试高三数学）汽车尾气排放超标是全

球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支

持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进

行调交，得到7下面的统计表:

年份，20172018201920202021

年份代码x(x=r-2016)12345

销量y/万辆1012172026

（1）统计表明销量＞与年份代码x有较强的线性相关关系，求）'关于x的线性回归方程,

并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

（2）为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企

业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油

汽车的有卬名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有2（）名购置传统燃油汽车.

①若卬=95,将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）

中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只

购买一辆汽车，结果精确到千人）；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为〃，老吉将样本中的频率视为概率，从被调查的

所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为了（〃），求当卬为何值

时，/（P）最大•

〃__

附：y=bx+ci为回归方程，8二号----------»ci=y-bx.

)一。

Ex~~nx-

r=l

【答案】（1）>>=4x+5,2028年

（2）①15.5万人；②卬=30

【解析】

【分析】（1）根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令>>50求解即可；

（2）①计算该地区购置新能源汽车车主中女性车主的频数与总人数求解即可；

②根据二项分布的概率公式可得/（〃）-C；pF—〃了一]0（〃5_2p4+p,,再求导分析

/（P）的最大值即可.

【小问1详解】

1+2+3+4+5

解:由题意得了

=1x10+2x12+3x17+4x20+5x26=295,

i=i

―10+12+17+20+26S->/

y=-----------------=17,2^x7=1~+2~+3~+4~+5-=55.

5/.I

彳>/一依-295-5x3x17)

所以〃-----------="4,二"6=5-加=17-4x3=5.

£片_位255-45

1=1

所以）'关于X的线性回归方程为y=4x+5,令y=4x+5>50,得x>11.25,

所以最小的整数为12,2016+12=2028，

所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆.

【小问2详解】

解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有200-95-45=60名，

故其中购置新能源汽车的女性车主的有60-20=40名.

所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为‘二刍.

40+4517

Q

所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为一.

17

预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，

Q

因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为yyx33Pl5.5万人

②由题意知，p=^-,0<vv<135,则/(〃)=C；p3(i-〃)2=i()(〃5-2〃4+p3

卬+45'

r(〃)=10(5p4-8〃3+3p2)=i0p2(5p2—8〃+3)

=10p2(p-l)(5p-3)

(3、

当〃£(),-时，知/'(p)>0所以函数/(〃)单调递增

(3、

当pc-J时，知/'(p)<0所以函数/(p)单调递减

3

所以当〃二1/(〃)取得最大值『216

~625

453216

,=~~---

此时卬+455,解得w=30,所以当卬=30时/(P)取得最大值625.

3-4、(2022~2023学年山东潍坊第一学期期中调研考试)(12分为了解新研制的抗病毒药物

的疗效，某生物科技有限公司进行动物试验.先对所有白鼠服药，然后对每只白鼠的血液进行

抽样化验，若检测样本结果呈阳性，则白鼠感染病毒;若检测样本结果呈阴性，则白鼠末感染病

毒.现随机抽取2)只白鼠的血液样本进行检验，有如下两种方案：

方案一:逐只检验，需要检验〃次；

方案二:混合检验，将〃只白鼠的血液样本混合在一起检验，若检验结果为阴性，则〃只白默末

感染病毒;若检验结果为阳性，则对这〃只白鼠的血液样本逐个检验，此时共需要检验〃+1次.

⑴若〃二10,且只有两只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好检验3次就能确定两只咸染病聿

白业的概率；

⑵已知每只白鼠咸染病罪的概率为〃(0<〃v1).

①采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的数学期望；

②若〃=20海次检验的费用相同，判断哪种方案检验的费用更少?并说明理由.

【解析】

2811

（I）根据题意恰好在第一、一:次确定两只感染病毒白鼠的概率6=—X—X—=

109845

821I

恰好在第二、三次确定有两只感染病毒白鼠的概率鸟=一X—X—=

109845

9Q1Qo19

所以恰好检验3次就能确定有两只白鼠感染病毒的概率P+=

1（）98109845

（2）①设检验次数为X,可能取得值为1,〃+1.

则尸(X=1)=(1—〃)“，P(X=〃+1)=1—(1—〃)”，

所以七+1-(1一〃)"=(/2+l)-n(l-/?)w.

②方案二的检验次数期望为E（X）=5+l）—〃（l—〃）〃，所以

E（X）-2O=l-2Ox（l-p）20,

设g(p)=l-20x(l-p)20,因为0<1-〃<1,所以g(p)单调递增,

由g（〃）=。得〃=1一而当-福时，g（P）〈0,则石（X）<20,

当1--―时,g(p)>0,则E(X)>20,

2疝

故当0<〃<1一一=时，选择方案二检验费用少，当1一/<〃<1时，选择方案一检

W）W

1

验费用少，当〃=1—时，选择两种方案检验费用相同.

3-5、（江苏省高邮市2022-2023学年高三上学期期初学情调研）（12分）今年5月以来，世

界多个国家报告了猴痘病例，非洲地区猴痘地方性流行国家较多.我国目前为止尚无猴痘病

例报告.我国作为为人民健康负责任的国家，对可能出现的猴痘病毒防控提前做出部署.同

时国家卫生健康委员会同国家中医药管理局制定了《猴痘诊疗指南（2022年版）》.此《指

南》中指出：①猴痘病人潜伏期5-21天；②既往接种过天花疫苗者对猴痘病毒存在一定程

度的交叉保护力.据此，援非中国医疗队针对援助的某非洲国家制定了猴痘病毒防控措施之

一是要求与猴痘病毒确诊患者的密切接触者集中医学观察21天.在医学观察期结束后发现

密切接触者中未接种过天花疫苗者感染病毒的比例较大.对该国家200个接种与未接种天花

疫苗的密切接触者样本医学观察结束后，统计了感染病毒情况，得到下面的列联表：

接种天花疫苗与否/人数感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接种天花疫苗3060

接种天花疫苗2090

（I）是否有99%的把握认为密切接触者感染猴痘病毒与未接种天花疫苗有关;

（2）以样本中结束医学观察的密切接触者感染猴痘病毒的频率估计概率.现从该国所有结

束医学观察的密切接触者中随机抽取4人进行感染猴痘病毒人数统计，求其中至多有2人感

染猴痘病毒的概率：

（3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查.在排查期间，

发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触,这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行

猴痘病毒检测.每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感

染高危家庭假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为〃且相互独立.记:

该家庭至少检测了2名成员才能确定为“感染