2024-2025学年北京怀柔区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x≥2}2．（4分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），ex≥x+1，则￢p为（）A．∃x∈（0，+∞），ex≤x+1 B．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∀x∈（0，+∞），ex≤x+1 D．∀x∈（0，+∞），ex＜x+13．（4分）在(x−2x)A．40 B．10 C．﹣40 D．﹣104．（4分）已知函数f（x）＝cosx+1，则f′(πA．−12 B．12 C．35．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．1a＜1b B．|a|＞|b| C．ac2＞bc2 D．e6．（4分）五一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表：景点游客数量景点1景点2景点3景点4景点5景点6游客人数（万）80.347.656.230.777.265.3现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（）A．110 B．15 C．357．（4分）甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为23，乙独立解出的概率为3A．611 B．511 C．3118．（4分）设函数f（x）的定义域为[a，b]，则“f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）”是“f（x）在区间[a，b]上单调递增”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）设函数f（x）＝log3x的导函数为f′（x），则下列关系式正确的是（）A．f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2） B．f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1） C．f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1） D．f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）10．（4分）设A、B为两个集合，定义A⊗B＝{（x，y）|x∈A且y∈B}，将A⊗B称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（）①A⊗B＝B⊗A；②A⊗（B∪C）＝（A⊗B）∪（A⊗C）；③（A⊗B）⊗C＝A⊗（B⊗C）；④若集合A中有m个元素，若集合B中有n个元素，则集合A⊗B中有m•n个元素．A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）设离散型随机变量X的分布列如表，则“1≤X≤2”的概率为．X012P13a1412．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x2+313．（5分）在(2x+1x)n的展开式中，若所有项的二项式系数和为32，则n＝14．（5分）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有种．（用数字作答）15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax，则下列结论中所有正确结论的序号是．①当a＝2时，∀x∈（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；②∃a∈R，使得函数f（x）有两个零点；③∀a∈R，函数f（x）总有一个极值点；④若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则a∈（﹣∞，1]．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）在样本中，男生阅读量的方差为s12，女生阅读量的方差为s22．写出方差17．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．18．（15分）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，求X的分布列；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求Y的分布列．19．（12分）6.18年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地，司机工资为每小时96元，装卸费为800元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为V公里/小时（注V≥50公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里，燃油价格为每升8元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本．（1）当运输的总费用不超过3360元时，求汽车行驶速度的范围；（2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？20．（15分）已知函数f（x）=lnxx+a（（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=12x平行，求（2）当a＝0时，证明f（x）≤x﹣1；（3）若函数f（x）在区间（0，e2）上单调递增，求a的取值范围．21．（15分）已知n是正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，3，…，n}，对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，xn），β＝（y1，y2，…，yn），记N（α，β）＝（x1﹣y1）2+（x2﹣y2）2+…+（xn﹣yn）2．（1）当n＝2时，若α＝（1，0），β＝（0，1），γ＝（1，1），求N（α，β）和N（β，γ）的值；（2）当n＝3时，若α＝（0，0，0），且N（α，β）＝2，求β；（3）设集合C＝{N（α，β）|α∈A，β∈A}，若集合C的所有元素之和不小于100，求n的最小值．

2024-2025学年北京市怀柔区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDAADCACBD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣2≤x≤1} B．{x|1≤x≤2} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x≥2}【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{x|1≤x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，交集的运算，是基础题．2．（4分）已知命题p：∃x∈（0，+∞），ex≥x+1，则￢p为（）A．∃x∈（0，+∞），ex≤x+1 B．∃x∈（0，+∞），ex＜x+1 C．∀x∈（0，+∞），ex≤x+1 D．∀x∈（0，+∞），ex＜x+1【分析】结合特称量词命题的否定即可求解．【解答】解：命题p：∃x∈（0，+∞），ex≥x+1，则￢p为：∀x∈（0，+∞），ex＜x+1．故选：D．【点评】本题主要考查了特称量词命题的否定，属于基础题．3．（4分）在(x−2x)A．40 B．10 C．﹣40 D．﹣10【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数．【解答】解：(x−2x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r•x5﹣r（−2x）令5﹣2r＝1可得r＝2，此时x的系数为4C5故选：A．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．4．（4分）已知函数f（x）＝cosx+1，则f′(πA．−12 B．12 C．3【分析】先对f（x）求导，再令x=π【解答】解：因为函数f（x）＝cosx+1，所以f′（x）＝﹣sinx，所以f′(π6)=−故选：A．【点评】本题考查基本初等函数的导数，属于基础题．5．（4分）已知a，b∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．1a＜1b B．|a|＞|b| C．ac2＞bc2 D．e【分析】结合不等式的性质检验选项ABC，结合函数单调性检验选项D．【解答】解：因为a＞b，当a＝1，b＝﹣1时，AB显然错误；当c＝0时，C显然错误；因为y＝ex在R上单调递增，所以ea＞eb，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．6．（4分）五一黄金周，某市对该市内的六个旅游景点接待游客数量进行统计，数据如表：景点游客数量景点1景点2景点3景点4景点5景点6游客人数（万）80.347.656.230.777.265.3现从这6个景点中任取3个，则这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率为（）A．110 B．15 C．35【分析】根据题意，利用排列数公式计算“这6个景点中任取3个”和“选出的3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人”的取法数目，由古典概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，这6个景点中任取3个，有C66个景点中，游客人数突破50万人的有4个，若选出的3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人，有C4故这3个景点中恰有2个景点的游客人数突破50万人的概率P=12故选：C．【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．7．（4分）甲、乙两人独立解一道数学题，甲独立解出的概率为23，乙独立解出的概率为3A．611 B．511 C．311【分析】由独立事件同时发生的概率乘法公式和条件概率公式，计算可得所求值．【解答】解：这道题被解出的概率为1﹣（1−23）（1−3甲、乙同时解出这道题的概率为23则在这道题被解出的条件下，甲、乙同时解出这道题的概率为12故选：A．【点评】本题考查独立事件同时发生的概率和条件概率，考查运算能力，属于基础题．8．（4分）设函数f（x）的定义域为[a，b]，则“f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a）”是“f（x）在区间[a，b]上单调递增”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】结合函数的性质检验充分必要性即可求解．【解答】解：若f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a），此时f（x）在区间[a，b]上不一定单调，充分性不成立；但当f（x）在区间[a，b]上单调递增时，f（x）在区间[a，b]上的最大值为f（b），最小值为f（a），必要性成立．故选：C．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．9．（4分）设函数f（x）＝log3x的导函数为f′（x），则下列关系式正确的是（）A．f′（1）＜f（2）﹣f（1）＜f′（2） B．f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1） C．f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1） D．f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）【分析】根据题意，求出函数的导数，由此可得f′（1）、f′（2）的值，由对数的运算性质与f（2）﹣f（1）比较大小，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝log3x，其导数f′（x）=1则f′（1）=1ln3，f′（2）f（2）﹣f（1）＝log32﹣log31＝log32=ln2由于1＜1ln2＜2，则有f′（2）＜f（2）﹣f故选：B．【点评】本题考查导数的计算，涉及对数的性质，属于基础题．10．（4分）设A、B为两个集合，定义A⊗B＝{（x，y）|x∈A且y∈B}，将A⊗B称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（）①A⊗B＝B⊗A；②A⊗（B∪C）＝（A⊗B）∪（A⊗C）；③（A⊗B）⊗C＝A⊗（B⊗C）；④若集合A中有m个元素，若集合B中有n个元素，则集合A⊗B中有m•n个元素．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【分析】根据新定义“笛卡尔积”，对①可以举实例判定根据定义逐一分析每个结论即可．【解答】解：分析①，根据新定义有，设A＝{1}，B＝{2}，根据定义A⊗B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，则A⊗B＝{（1，2）}，而B⊗A＝{（x，y）|x∈B，y∈A}＝{（2，1）}，显然A⊗B≠B⊗A，所以①错误．分析②，对于任意的（x，y）∈A⊗（BUC），根据定义可知x∈A且y∈（BUC），即y∈B或者y∈C．若y∈B，则（x，y）∈A⊗B；若y∈C，则（x，y）∈A⊗C．所以（x，y）∈（A⊗B）U（A⊗C），即A⊗（BUC）⊆（A⊗B）U（A⊗C）．反之，对于任意的（x，y）∈（A⊗B）U（A⊗C），则（x，y）∈A⊗B或者（x，y）∈A⊗C；若（x，y）∈A⊗B，则x∈A且y∈B；若（x，y）∈A⊗C，则x∈A且y∈C．所以x€A且y∈（B∪C），即（x，y）∈A⊗（BUC），所以（A⊗B）U（A⊗C）⊆A⊗（BUC）．综上，A⊗（BUC）＝（A⊗B）U（A⊗C），②正确．分析③，设A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}，先看（A⊗B）⊗C，A⊗B＝{（1，2）}，那么（A⊗B）⊗C＝{（（1，2），3）}．再看A⊗（B⊗C），B⊗C＝{（2，3）}，那么A⊗（B⊗C）＝{（1，（2，3））}．显然（A⊗B）⊗C≠A⊗（B⊗C），所以③错误．分析④，已知集合A中有m个元素，集合B中有n个元素．对于A⊗B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，从A中取一个元素x有m种取法，从B中取一个元素y有n种取法．根据分步计数原理得，A⊗B中元素的个数为mn个，所以④正确．故选：D．【点评】本题主要考查对新定义“笛卡尔积”的理解和运用，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）设离散型随机变量X的分布列如表，则“1≤X≤2”的概率为23X012P13a14【分析】先由分布列的性质求出a的值，再求“1≤X≤2”的概率．【解答】解：由分布列可得13+a+14所以“1≤X≤2”的概率为P（X＝1）+P（X＝2）=2故答案为：23【点评】本题考查离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．12．（5分）当x＞0时，函数f（x）=x2+3x的最小值为【分析】由已知结合基本不等式即可求解．【解答】解：x＞0时，函数f（x）=x2+3x=当且仅当x=3x，即x故答案为：23．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．13．（5分）在(2x+1x)n的展开式中，若所有项的二项式系数和为32，则n＝【分析】①由二项式系数和2n＝32，即可得到n的值；②令x＝1，即可求得展开式中所有项的系数之和．【解答】解：①依题意，2n＝32，解得n＝5；②令x＝1，得（2+1）5＝243，即展开式中所有项的系数之和为243．故答案为：5；243．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14．（5分）三名老师和四名学生去北京半程马拉松比赛的3个补给站参加志愿活动，每个人去一个补给站，每个补给站至少一名老师和一名学生，则不同的安排方法有216种．（用数字作答）【分析】先分配教师，再分配学生，进而求解．【解答】解：先分配教师，由于有3名教师和3个补给站，且每个补给站至少1名教师，因此每个补给站恰好分配1名教师，有A3再分配学生，将4名学生分配到3个补给站，且每个补给站至少1名学生，所以分组方式是“2，1，1”，有C4最后，教师和学生的分配是独立事件，总安排方法数为6×36＝216．故答案为：216．【点评】本题考查排列组合的应用，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax，则下列结论中所有正确结论的序号是①③④．①当a＝2时，∀x∈（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；②∃a∈R，使得函数f（x）有两个零点；③∀a∈R，函数f（x）总有一个极值点；④若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则a∈（﹣∞，1]．【分析】对于①：当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣2x，求导分析单调性，最值，即可判断①是否正确；对于②：令f（x）＝0，得xlnx﹣ax＝0，x＞0，分析根的个数，即可判断②是否正确；对于③：求导分析单调性，极值，即可判断③是否正确；对于④：根据题意可得，在（1，+∞）上，f′（x）≥0，即在（1，+∞）上，lnx+1≥a恒成立，进而可判断④是否正确．【解答】解：对于①：当a＝2时，f（x）＝xlnx﹣2x，f′（x）＝lnx+x•1x−2＝令f′（x）＝0，得x＝e，所以在（0，e）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（e，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝e时，f（x）取得极小值f（e）＝﹣e，所以∀x∈（0，+∞），f（x）≥﹣e恒成立；故①正确；对于②：令f（x）＝0，得xlnx﹣ax＝0，x＞0，所以lnx＝a只有一个根，所以函数f（x）只有一个零点，所以不存在a∈R，使得函数f（x）有两个零点，故②错误；对于③：f′（x）＝lnx+x•1x−a＝lnx+1﹣令f′（x）＝0，得x＝ea﹣1，所以在（0，ea﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（ea﹣1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以函数在x＝ea﹣1处取得极小值，无极大值，所以函数f（x）总有一个极值点，故③正确；对于④：若函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，则在（1，+∞）上，f′（x）≥0，所以在（1，+∞）上，lnx+1﹣a≥0恒成立，即在（1，+∞）上，lnx+1≥a恒成立，当x∈（1，+∞）时，（lnx+1）min＝1，所以a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]，故④正确．故选：①③④．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）1995年联合国教科文组织宣布4月23日为“世界读书日”，致力于向全世界推广阅读、出版和对知识产权的保护．某校为了解男生与女生在一学年内的阅读情况，从全校学生中采用分层抽样的方法抽取了20名学生，统计了他们的阅读量并整理得到茎叶图（单位：本）．假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．（1）根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，记X为选出的2名学生中一学年内的阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）在样本中，男生阅读量的方差为s12，女生阅读量的方差为s22．写出方差【分析】（1）通过观察茎叶图，结合古典概型概率公式计算即可；（2）分别求出男生和女生阅读量超过10本的概率，列出X的可能取值，分别求出对应的概率，再求解分布列与数学期望；（3）通过方差的意义，作比较即可．【解答】解：（1）通过茎叶图可知，男生中阅读量超过10本的有6人，女生中阅读量超过10本的3人，所以这20名学生一学年内的阅读量超过10本的概率为6+320故根据样本数据，估计该校学生一学年内的阅读量超过10本的概率为920（2）用频率估计概率，可得男生中阅读量超过10本的概率为612女生中阅读量超过10本的概率为38所以X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）=1P（X＝1）=1P（X＝2）=1所以X的分布列为：X012P51612316所以E（X）＝0×516+1×（3）s1通过观察茎叶图可知，男生的数据相对更分散，女生的数据相对更集中，根据方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，数据越分散，方差越大，所以s1【点评】本题考查离散型随机变量分布列与数学期望、用样本估计整体、方差的性质等，属于中档题．17．（14分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）结合切线方程性质求解．（2）求导，结合导函数判断单调区间和极值．【解答】解：（1）对f（x）求导，f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex．将x＝0代入f'（x），可得f'（0）＝（02+2×0﹣3）e0＝﹣3，可得切线方程为y﹣（﹣3）＝﹣3（x﹣0），即y＝﹣3x﹣3．（2）由前面已求得f'（x）＝（x2+2x﹣3）ex＝（x+3）（x﹣1）ex．令f'（x）＝0，即（x+3）（x﹣1）ex＝0，所以（x+3）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣3或x＝1．当x＜﹣3时，x+3＜0，x﹣1＜0，ex＞0，所以f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增．当﹣3＜x＜1时，x+3＞0，x﹣1＜0，ex＞0，所以f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣3，1）上单调递减．当x＞1时，x+3＞0，x﹣1＞0，ex＞0，所以f'（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．所以f（x）在x＝﹣3处取得极大值，f（﹣3）=((−3)2−3)e−3=6e3；f（x）在x＝1处取得极小值，【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．18．（15分）在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革．某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，求X的分布列；（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求Y的分布列．【分析】（1）由频率和为1，列式求出a的值；（2）利用超几何分布求概率，可得分布列；（3）利用二项分布求概率，可得分布列．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得（0.016+0.024+a+0.020+0.010）×10＝1，解得a＝0.03．（2）因为评分在（80，90]的频率为0.02×10＝0.2，抽取的人数为50×0.2＝10，评分在[90，100]的频率为0.01×10＝0.1，抽取的人数为50×0.1＝5，所以X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）=C102C152=37，P（X所以X的分布列为X012P371021221（3）因为评分在[80，100]的频率为0.2+0.1＝0.3，用频率估计概率，则全校学生评分在[80，100]的频率为0.3，所以Y的可能取值为0，1，2，且Y～B（2，0.3），所以P（Y＝0）=C20×0.72＝0.49，P（Y＝1）=C21×0.3×0.7＝0.42，所以Y的分布列为Y012P0.490.420.09【点评】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列，二项分布与超几何分布求概率等，综合性较强，属于中档题．19．（12分）6.18年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距1000公里处的乙地，司机工资为每小时96元，装卸费为800元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为V公里/小时（注V≥50公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为0.002V升/公里，燃油价格为每升8元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本．（1）当运输的总费用不超过3360元时，求汽车行驶速度的范围；（2）若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可；（2）利用基本不等式计算即可得出．【解答】解：（1）已知司机工资为每小时96元，行驶时间为1000V所以司机工资为96×1000燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即0.002V×1000×8元，则运输总费用y=96×1000化简可得y=96000V+16V+800由y≤3360，可得96000V移项得到96000V+16V≤3360−800，即两边同时乘以V得到96000+16V2≤2560V，移项化为标准二次函数形式16V2﹣2560V+96000≤0，两边同时除以16得V2﹣160V+6000≤0，因式分解得（V﹣60）（V﹣100）≤0，则有V−60≤0V−100≥0或V−60≥0第一种情况V−60≤0V−100≥0，即V≤60第二种情况V−60≥0V−100≤0，即V≥60V≤100，结合V≥50，可得V（2）对于函数y=96000V+16V+800根据基本不等式a+b≥2ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b在这里a=96000V，b＝16V，则先计算296000则y≥2560+800＝3360，当且仅当96000V=16V时，等号成立，解方程即16V2＝96000，V2＝6000，解得V=1060=2015【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）=lnxx+a（（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线与直线y=12x平行，求（2）当a＝0时，证明f（x）≤x﹣1；（3）若函数f（x）在区间（0，e2）上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）依题意，得f′（1）=11+a=（2）要证lnxx≤x﹣1，即证∀x＞0，x2﹣x﹣（3）由题意，当x∈（0，e2）时，f′（x）≥0恒成立，通过分离参数a，构造函数及求导分析，可得a的取值范围．【解答】解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=1x(x+a)−lnx∴f′（1）=1+a(1+a)2∴f（x）=lnx（2）证明：当a＝0时，f（x）=lnxx（要证lnxx≤x﹣1，即证∀x＞0，x2﹣x﹣令h（x）＝x2﹣x﹣lnx（x＞0），则h′（x）＝2x﹣1−1当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当x＝1时，h（x）取得极小值，也是最小值，即h（x）≥h