2024-2025学年北京育英学校高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝02．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝30，a8＝4，则S9＝（）A．54 B．63 C．72 D．1353．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，则m∥α C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β4．（4分）已知函数f（x）＝x+cosx，则下列选项正确的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（e） B．f（π）＜f（e）＜f（2） C．f（e）＜f（2）＜f（π） D．f（2）＜f（e）＜f（π）5．（4分）已知直线l：kx﹣y+1﹣k＝0和圆C：x2+y2﹣4x＝0，则直线l与圆C的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定6．（4分）设f（x）在x＝x0处可导，且limΔx→0f(x0−3Δx)−f(xA．6 B．﹣2 C．﹣18 D．27．（4分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（x0，y0）在C上，若|MF|＞4，则（）A．x0∈（0，2） B．y0∈（0，2） C．x0∈（2，+∞） D．y0∈（2，+∞）8．（4分）已知等比数列{an}单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn，则“a3a13≥a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件9．（4分）如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，函数g（x）＝kx+m（m＞0），则对函数F（x）＝g（x）﹣f（x）描述正确的是（）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点10．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣1|ex与直线y＝1交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|x1﹣x2|所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）已知f(x)=sin(2x+π3)，则f′(12．（4分）已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为．13．（4分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，点14．（4分）数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为．15．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1①数列{an}的前n项和Sn＜2；②数列{an}的每一项an都满足0＜a③数列{an}的每一项an都满足an④存在n∈N*，使得an其中，所有正确结论的序号是．三、解答题（共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明程）16．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）若2a﹣1≤f（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．17．（8分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．18．（10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C的右焦点F作斜率为k（（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x＝4相交于点M，N．求证：以MN为直径的圆恒过点F．19．（12分）已知函数f（x）＝alnx−x−1x+1（a∈（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥12，求证：当x≥1时，f（（Ⅲ）若函数f（x）有3个不同的零点，求a的取值范围．

2024-2025学年北京市海淀区育英学校高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBDDABCBCB一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）过点P（2，2）且与直线x+2y+1＝0平行的直线的方程为（）A．2x+y﹣6＝0 B．2x+y+6＝0 C．x+2y﹣6＝0 D．x+2y+6＝0【分析】设出直线方程再将点P（2，2），即可求得结果．【解答】解：由题意可设所求的直线的方程为：x+2y+C＝0，所求直线过点P（2，2），则2+2×2+C＝0，解得C＝﹣6，故直线方程为x+2y﹣6＝0．故选：C．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．2．（4分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝30，a8＝4，则S9＝（）A．54 B．63 C．72 D．135【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出a2，再求出S9．【解答】解：等差数列{an}中，由S3＝30，得3a2＝a1+a2+a3＝30，解得a2＝10，而a8＝4，所以S9故选：B．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．3．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n B．若m∥n，n⊂α，则m∥α C．若α⊥β，m⊥β，n⊥m，则n⊥α D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β【分析】利用线面、面面平行或垂直的判定与性质定理即可求解．【解答】解：对于A，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，又n⊥m，则n与α可能平行也可能相交，故C错误；对于D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊥β，则α⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查空间位置关系的判断，属于基础题．4．（4分）已知函数f（x）＝x+cosx，则下列选项正确的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（e） B．f（π）＜f（e）＜f（2） C．f（e）＜f（2）＜f（π） D．f（2）＜f（e）＜f（π）【分析】对f（x）求导，利用导数判断函数的单调性，进而可比较函数值的大小．【解答】解：f′（x）＝1﹣sinx≥0恒成立，所以f（x）在R上单调递增，因为2＜e＜π，所以f（2）＜f（e）＜f（π）．故选：D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题．5．（4分）已知直线l：kx﹣y+1﹣k＝0和圆C：x2+y2﹣4x＝0，则直线l与圆C的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【分析】由直线系方程可知直线过定点，再说明定点在圆C内，可得直线与圆的位置关系．【解答】解：由直线l：kx﹣y+1﹣k＝0，得k（x﹣1）﹣y+1＝0，可知直线l过定点P（1，1），化圆C：x2+y2﹣4x＝0为（x﹣2）2+y2＝4，知圆心C（2，0），半径为2，∵|PC|=(2−1)2+(0−1)∴直线l与圆C的位置关系为相交．故选：A．【点评】本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，是基础题．6．（4分）设f（x）在x＝x0处可导，且limΔx→0f(x0−3Δx)−f(xA．6 B．﹣2 C．﹣18 D．2【分析】利用导数的定义即可求值．【解答】解：因为f（x）在x＝x0处可导，且limΔx→0又f′(x所以limΔx→0所以f′（x0）＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了导数定义的应用，属于基础题．7．（4分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M（x0，y0）在C上，若|MF|＞4，则（）A．x0∈（0，2） B．y0∈（0，2） C．x0∈（2，+∞） D．y0∈（2，+∞）【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出x0的取值范围．【解答】解：抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝﹣2，又点M（x0，y0）在C上且|MF|＞4，则|MF|＝x0+2＞4，所以x0＞2，即x0∈（2，+∞），故选项A错误，选项C正确；又y0所以y0所以y0∈（4，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故选项B、D错误．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义与方程的应用，属于中档题．8．（4分）已知等比数列{an}单调递减，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn，则“a3a13≥a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】先分析出：Tn有唯一的最大值T7的充要条件为：a7＞1且a8＜1，根据等比数列的性质从充分性和必要性两方面论证即可求解．【解答】解：等比数列{an}单调递减，各项均为正数，根据已知条件有an＞0，设公比为q，则有0＜q＜1，Tn有唯一的最大值T7的充要条件为：a7＞1且a8＜1，若a3a13≥a9，则有a3a13＝a9a7≥a9，又因为a9＞0，所以a7≥1；又根据a3a13＝a8a8≥a9＝a8q，即a8a8≥a8q，因为a8＞0，所以a8≥q，综上a3a13≥a9不能推出Tn有唯一的最大值T7，即充分性不成立；若Tn有唯一的最大值T7，则a7＞1且a8＜1，因为a7＞1，a9＞0，所以有a7a9＞a9，又因为a3a13＝a9a7，所以a3a13＞a9，此时可推出a3a13≥a9成立，即必要性成立；所以“a3a13≥a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于中档题．9．（4分）如图所示，已知直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，函数g（x）＝kx+m（m＞0），则对函数F（x）＝g（x）﹣f（x）描述正确的是（）A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点 C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点【分析】求出函数F（x）＝kx+m﹣f（x），可得F'（x）＝k﹣f'（x），设直线y＝kx与曲线y＝f（x）的两切点横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，可知F'（x）＝0的两个零点为x1，x2，由图知，存在x0∈（x1，x2），使F'（x0）＝0，可知F'（x）有三个不同零点x1＜x0＜x2，结合图象可得函数F（x）的单调性，尽快得到函数的极值情况．【解答】解：∵g（x）＝kx+m（m＞0），∴F（x）＝kx+m﹣f（x），则F'（x）＝k﹣f'（x），直线y＝kx与曲线y＝f（x）相切于两点，设两切点横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，∴F'（x）＝0的两个零点为x1，x2，由图知，存在x0∈（x1，x2），使F'（x0）＝0，∴F'（x）有三个不同零点x1＜x0＜x2，由图可知，当x∈（0，x1）时，F'（x）＜0，当x∈（x1，x0），F'（x）＞0，当x∈（x0，x2）时，F'（x）＜0，当x∈（x2，+∞）时，F'（x）＞0∴F（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，x0）上单调递增，在（x0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．故F（x）至少有两个极小值点和一个极大值点．故选：C．【点评】本题考查利用导数求函数的极值，考查数形结合思想，考查推理论证能力与运算求解能力，是中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣1|ex与直线y＝1交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则|x1﹣x2|所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【分析】根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，利用导数分析f（x）的单调区间和单调性，由此确定x1和x2的范围，计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝|x﹣1|ex=(1−x)⋅在区间（﹣∞，1）上，f（x）＝（1﹣x）ex，其导数f′（x）＝ex﹣ex﹣ex＝﹣xex，其中在区间（﹣∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在区间（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，而f（0）＝|0﹣1|e0＝1，故f（x）在区间（﹣∞，1）上的最大值为f（0）＝1，在区间（1，+∞）上，f（x）＝（x﹣1）ex，其导数f′（x）＝xex﹣ex+ex＝xex＞0，则f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，又由f（0）＝|0﹣1|e0＝1，则x1＝0或x2＝0，假设x1＝0，必有x2＞0，而f（1）＝0，f（2）＝e2＞1，则有1＜x2＜2，故1＜|x1﹣x2|＝|x2|＜2，则|x1﹣x2|所在的区间为（1，2）．故选：B．【点评】本题考查函数零点判定定理，涉及函数的图象，属于中档题．二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）已知f(x)=sin(2x+π3)，则f′(π4【分析】先求出导函数f′(x)=2cos(2x+π【解答】解：由题可得：f′(x)=2cos(2x+π则f′(π故答案为：−3【点评】本题主要考查导函数的求解，考查计算能力，属于基础题．12．（4分）已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为1，﹣2，4（答案不唯一）．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质即可求解．【解答】解：因为a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，设这三个数分别为a，aq，aq2，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，考虑其中一种情况，比如：aq，a，aq2成等差数列，则2a＝aq+aq2，因为q≠1，解得q＝﹣2，则符合题意的一组数据为1，﹣2，4（答案不唯一）．故答案为：1，﹣2，4（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用，属于基础题．13．（4分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，点F到双曲线【分析】首先根据题意得到d=|−bc|b2【解答】解：由题意，设F（﹣c，0），一条渐近线方程为y=bax，即bx因为d=|−bc|b2故渐近线方程为y=±1故答案为：y=±1【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．14．（4分）数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为10；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为（﹣∞，1ln2）【分析】（1）令f(n)=an=−3n（2）若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则相应的函数不存在极大值，从而运用导数研究函数的单调性，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）若an=−3n2+11n，令f（n）＝﹣3n2+11因此，存在n＝2，满足a2≥a1且a2≥a3，所以{an}的峰值为a2＝﹣3×4+11×2＝10；（2）令f（x）＝tlnx﹣x（x≥1），则f′（x）=t①若t≤0，则f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减，此时{an}不存在峰值，符合题意；②若t＞0，则当0＜x＜t时，f′（x）＞0，x＞t时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，若要an＝f（n）＝tlnn﹣n（n∈N*）不存在峰值，则必须t＜2f(1)＞f(2)，即t＜2−1＞tln2−2，解得0＜t综上所述，t＜1ln2，即实数t的取值范围为（﹣∞，故答案为：10；（﹣∞，1ln2【点评】本题主要考查数列的基本概念、数列的函数特征、运用导数研究函数的单调性与极值等知识，属于中档题．15．（4分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1①数列{an}的前n项和Sn＜2；②数列{an}的每一项an都满足0＜a③数列{an}的每一项an都满足an④存在n∈N*，使得an其中，所有正确结论的序号是②③．【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出S4即可判断①．【解答】解：a2=1−12=12，aan+1=an又因为a1＝1，所以an+1=an−由an+1=an−又12an2=an−an+1，两边同时除以an累加可得n＜2(1an+1当n＝1时，a1=21+1=1，所以1n≤an≤2n+1由④可知an≥1n，且可得2n＞2n，则1n＞(1故答案为：②③．【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．三、解答题（共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明程）16．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间和极值．（2）若2a﹣1≤f（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数f（x）的增区间和减区间，即求得函数f（x）的极大值和极小值；（2）利用导数求出函数f（x）在区间[﹣2，4]上的最小值，可得出2a﹣1≤f（x），由此可解得实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R），则f'（x）＝3x2﹣6x﹣9＝3（x+1）（x﹣3），合f′（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝3，列表如下：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值增所以，函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1）、（3，+∞），减区间为（﹣1，3），函数f（x）的极大值为f（﹣1）＝﹣1﹣3+9+1＝6，极小值为f（3）＝27﹣27﹣27+1＝﹣26．（2）由（1）可知，函数f（x）在区间[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，且f（﹣2）＝﹣8﹣12+18+1＝﹣1，故当x∈[﹣2，4]时，f（x）min＝min{f（﹣2），f（3）}＝f（3）＝﹣26，因为2a﹣1≤f（x），对∀x∈[﹣2，4]恒成立，则2a﹣1≤f（x）min＝﹣26，解得a≤−25因此，实数a的取值范围是(−∞，−25【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，涉及导数与函数单调性之间的关系，属于简单题．17．（8分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值．【分析】（1）先求出平面A1EC1的法向量，再证明D1（2）直接按照线面角的向量求法求解即可．【解答】证明：（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，D1A1设平面A1EC1的法向量为n→=（x，y，则n→⋅A由于D1F→⋅n→=2−2=0，D1F所以D1F∥平面A1EC1；解：（2）直线AC1与平面A1EC1所成角为θ，AC→1=(2，2，2)【点评】本题考查了线面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．18．（10分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦距和长半轴长都为2．过椭圆C的右焦点F作斜率为k（（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A是椭圆C的左顶点，直线AP，AQ分别与直线x＝4相交于点M，N．求证：以MN为直径的圆恒过点F．【分析】（Ⅰ）求得c，a，b，可得椭圆方程；（Ⅱ）直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由焦距和长半轴长都为2，可得c＝1，a＝2，b=a则椭圆方程为x2（Ⅱ）证明：F（1，0），A（﹣2，0），直线l的方程为y＝k（x﹣1），联立椭圆方程可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，直线l过椭圆的焦点，显然直线l与椭圆相交．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k可令x＝4，得yM=6y1x1同理可得N（4，6y2x2+2），所以FM→=又FM→•FN→＝9+36k2(＝9+36所以以MN为直径的圆恒过点F．【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝alnx−x−1x+1（a∈（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）