2024-2025学年北京昌平区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．（4分）已知a＞b＞0，d＜c＜0，则下列大小关系正确的是（）A．ac＞bd B．ac＜3．（4分）从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（）A．18125 B．310 C．9254．（4分）下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=−1x B．y＝cosx C．y＝e|x| 5．（4分）已知函数f(x)=sin(2x−πA．函数f（x）的图象可由y＝sin2x的图象向右平移π6个单位得到B．函数f（x）的图象关于直线x=π12C．函数f（x）的图象关于点(−π6D．函数f（x）在（0，π）内有2个零点6．（4分）若“∃x∈[1，3]，x+2x≤mA．2 B．22 C．3 D．7．（4分）某城市甲区域的人口总数A约为221，乙区域的人口总数B约为312，则下列各数中与AB最接近的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lgA．0.5 B．1 C．10 D．108．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，则“Tn有最大值”是“﹣1＜q＜0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）在△ABC中，若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定10．（4分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2+2，若存在xi∈[0，3]，（i＝1，2，3，⋯，n），使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f(x)=1x−1+ln(x+1)12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为前n项和．若10为a3与a8的等差中项，则S10＝．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若sinα=12，则cosβ＝14．（5分）已知函数f(x)=a(x−2a)(x+a+3)，x≤a①当a＝﹣1时，若函数g（x）＝f（x）﹣k有三个不同的零点，则实数k的一个取值为；②若函数f（x）在（﹣∞，a），（a，+∞）上都是增函数，则实数a的取值范围为．15．（5分）已知数列{an}满足a1＝a，且an+1①{an}可能为等比数列；②若a＝3，则{an}为递减数列；③{an}不可能为递增数列；④存在实数a，使得∀n∈N*，都有an＜2．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（13分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．若a1＝1，S5＝25，b2＝2，q＝d．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+⋯+b2n﹣1．17．（13分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)，ω＞0，|φ|＜πωx+φ0π2π3π22πxπ87π8Asin（ωx+φ）020−20（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2sin2x+2cos2x，求函数g（x）在[0，π18．（14分）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出．国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：甲款机器人乙款机器人丙款机器人测试次数50100100成功次数105080假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率．（1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率；（2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望E（X）；（3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为ξ1，ξ2，ξ3，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3的大小关系．19．（15分）在△ABC中，(bcosC+ccosB)cosA=1（1）求A；（2）若a＝7，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．条件①：b＝8；条件②：c＝5；条件③：cosC=11注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20．（15分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e1﹣x﹣ax3+bx2．（1）当a＝0，b＝0时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）当x≥0时，求函数f（x）的最大值；（2）若x＝3是函数f（x）的极大值点，求实数a的取值范围．21．（15分）已知集合S＝{s1，s2，s3，⋯，st}（t≥2），其中si∈Z（i＝1，2，⋯，t），由S中的元素构成两个相应的集合：M＝{（a，b）|a∈S，b∈S，a+b∈S}，N＝{（a，b）|a∈S，b∈S，a﹣b∈S}，其中（a，b）是有序实对数，集合M和N中的元素个数分别为m和n，若对于任意的a∈S，总有﹣a∉S，则称集合S具有性质P．（I）检验集合{﹣1，0，2，3}与{﹣2，1，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合M和N；（Ⅱ）对任意具有性质P的集合S，证明：n≤t(t−1)（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．

2024-2025学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CBDCDBCBCA一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】可以解出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．【点评】考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算．2．（4分）已知a＞b＞0，d＜c＜0，则下列大小关系正确的是（）A．ac＞bd B．ac＜【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可．【解答】解：因为d＜c＜0，所以1c因为a＞0，所以ac因为a＞b＞0，所以ad综上，ac＜bd，因此选项因为d＜c＜0，所以ad因为a＞b＞0，所以ac综上，ad和bc无法判断正负，故选项C错误，选项故选：B．【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．3．（4分）从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有2名男生的概率是（）A．18125 B．310 C．925【分析】令事件A表示：所选3人中恰有2名男生，利用组合数和古典概型公式即可求解．【解答】解：从3名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，令事件A表示：所选3人中恰有2名男生，所以P(A)=C故选：D．【点评】本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．4．（4分）下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=−1x B．y＝cosx C．y＝e|x| 【分析】利用偶函数和增函数，逐项验证是否满足题意即可．【解答】解：对于A：由y=−1x为奇函数，故对于B：y＝cosx在R上不单调，故B错误；对于C：令f（x）＝e|x|，f（﹣x）＝e|﹣x|＝e|x|＝f（x），所以y＝e|x|为偶函数，当x＞0时，y＝ex为增函数，故C正确；对于D：令g(x)=log12所以g（x）为偶函数，当x＞0时，y=log12|x|=log故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数的单调性及奇偶性的判断，属于基础题．5．（4分）已知函数f(x)=sin(2x−πA．函数f（x）的图象可由y＝sin2x的图象向右平移π6个单位得到B．函数f（x）的图象关于直线x=π12C．函数f（x）的图象关于点(−π6D．函数f（x）在（0，π）内有2个零点【分析】对于A由图像的变换即可判断，对于B计算f(π12)即可判断，对于C计算f(−π6)即可判断，对于D计算【解答】解：对于A：y＝sin2x的图象向右平移π6个单位得y=sin(2x−π3对于B：由f(π12)=sin(2×对于C：由f（−π6）＝sin（−π对于D：令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=kπ2+π12，k∈Z当k＝2时，x=π+π12∉(0，π)，所以f（x）在（0，π）内的零点为π12和故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及正弦函数性质的应用，属于基础题．6．（4分）若“∃x∈[1，3]，x+2x≤mA．2 B．22 C．3 D．【分析】由题意有m≥(x+【解答】解：“∃x∈[1，3]，x+2由题意有m≥(x+2x当且仅当x=2x，即x=2故选：B．【点评】本题主要考查了含有量词的命题的真假关系的应用，属于基础题．7．（4分）某城市甲区域的人口总数A约为221，乙区域的人口总数B约为312，则下列各数中与AB最接近的是（）（参考数据：lg2≈0.30，lgA．0.5 B．1 C．10 D．10【分析】由对数运算法则求出lgA【解答】解：A约为221，乙区域的人口总数B约为312，则AB所以lgA又lg1=0，lg10=1，lg10=0.5，所以AB故选：C．【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．8．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，则“Tn有最大值”是“﹣1＜q＜0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解答】解：无穷等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，则Tn例如a1=1，q=12，则Tn=(当﹣1＜q＜0时，对任意的无穷等比数列{an}，若|a1|≥1，必存在正整数m，使得n＞m时，|an|＜1，n≤m时，|an|≥1，所以n＝m时，|Tn|最大（若|an|＝1，则|Tn|＝|Tn﹣1|是最大值），若Tm＞0，则Tm是{Tn}中的最大值，若Tm＜0，只要比较Tm前后的正项的大小即可得，若|a1|＜1，则|an|＜1，{|Tn|}是递减数列，{Tn}中第一个正项即为最大值，因此是必要的．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，充分必要条件的判断，属于中档题．9．（4分）在△ABC中，若cos2A+cos2B﹣cos2C＞1，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【分析】利用二倍角的余弦公式得sin2A+sin2B＜sin2C，利用正弦定理得a2+b2＜c2，利用余弦定理即可求解．【解答】解：因为cos2A＝1﹣2sin2A，cos2B＝1﹣2sin2B，cos2C＝1﹣2sin2C，所以cos2A+cos2B﹣cos2C＞1转化为sin2A+sin2B＜sin2C，则a2+b2＜c2，即a2+b2﹣c2＜0，则2abcosC＜0，即cosC＜0，所以△ABC是钝角三角形．故选：C．【点评】本题主要考查三角形形状的判断，属于中档题．10．（4分）已知函数f（x）＝2x，g（x）＝x2+2，若存在xi∈[0，3]，（i＝1，2，3，⋯，n），使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）＝g（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn），则n的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由已知得n−2=(xn−1)2−[(x1−1)2+(x【解答】解：因为f（x）＝2x，g（x）＝x2+2，所以f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）+g（xn）=2(xg（x1）+g（x2）+…+g（xn﹣1）+f（xn）=x由题意可得2(x所以(x所以n−2=(x当x1＝x2＝…＝xn﹣1＝1，xn＝3时，(n−2)所以n﹣2≤4，又因为n∈N，所以nmax＝6．故选：A．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f(x)=1x−1+ln(x+1)【分析】求出使函数式有意义的自变量范围即可．【解答】解：由题意x+1＞0x−1≠0，解得x＞﹣1且x故答案为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为前n项和．若10为a3与a8的等差中项，则S10＝100．【分析】由等差数列的性质有a1+a10＝a3+a8，最后利用等差数列前n项和公式即可求解．【解答】解：{an}为等差数列，10为a3与a8的等差中项，由题意有a3+a8＝2×10＝20，根据等差数列的性质可得，a1+a10＝a3+a8＝20，所以S10故答案为：100．【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式，属于基础题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若sinα=12，则cosβ＝±【分析】根据同角三角函数的平方关系求得cosα，结合β＝π+α+2kπ（k∈Z），利用诱导公式算出cosβ的值，可得答案．【解答】解：根据sinα=12，可得cosα因为α、β的终边关于原点对称，所以β＝π+α+2kπ（k∈Z），cosβ＝﹣cosα，可得cosβ=±3故答案为：±3【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式，属于基础题．14．（5分）已知函数f(x)=a(x−2a)(x+a+3)，x≤a①当a＝﹣1时，若函数g（x）＝f（x）﹣k有三个不同的零点，则实数k的一个取值为﹣1（答案不唯一）；②若函数f（x）在（﹣∞，a），（a，+∞）上都是增函数，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．【分析】①f（x）＝k有三个不同的交点，同一坐标系内画出f（x）与y＝k的图象，数形结合得到﹣1≤k＜0，即得答案；②只需y＝a（x﹣2a）（x+a+3）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＝0时，不合要求，舍去；需a＜0，对称轴为x=a−32，需满足【解答】解：①a＝﹣1时，f(x)=−g（x）＝f（x）﹣k有三个不同的零点，即f（x）＝k有三个不同的交点，即直线y＝f（x）的图象与直线y＝k有三个不同交点，同一坐标系内画出f（x）与y＝k的图象，如下：需满足﹣1≤k＜0，故实数k的一个取值为﹣1；②由于y＝2x﹣2在（a，+∞）上单调递增，所以只需y＝a（x﹣2a）（x+a+3）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＝0时，y＝a（x﹣2a）（x+a+3）＝0为常数函数，不合要求，舍去；显然a＜0，y=a(x−2a)(x+a+3)=a[(x−对称轴为x=a−32，需满足a−32所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]．故答案为：﹣1（答案不唯一）；（﹣∞，﹣3]．【点评】本题考查了函数与方程思想、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，考查了二次函数、指数函数的性质，属于中档题．15．（5分）已知数列{an}满足a1＝a，且an+1①{an}可能为等比数列；②若a＝3，则{an}为递减数列；③{an}不可能为递增数列；④存在实数a，使得∀n∈N*，都有an＜2．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】构建f（x）＝x2﹣2x+4，分析f（x）的值域以及f（x）与4的大小关系．分a＜0、a＝0、0＜a＜2、a＝2和a＞2五种情况，分析数列{an}的单调性以及取值范围，结合相应项逐项分析判断即可．【解答】解：构建f（x）＝x2﹣2x+4，可得f（x）＝（x﹣1）2+3≥3，当且仅当x＝1时，等号成立；令f（x）＝4，解得x＝0或x＝2；令f（x）＞4，解得x＜0或x＞2；令f（x）＜4，解得0＜x＜2．因为an+1则an+1=f(（1）若a＜0，则a2=f(a1)＞2可得a32−a22=−2a2+4＜0，且a依次类推可得a1＜2＜⋯＜a3＜a2；（2）若a＝0，则a2=f(a)依次类推可得an（3）若0＜a＜2，则a22−a12=−2a1可得a32−a22=−2a2+4＞0，且a依次类推可得a1＜a2＜a3＜⋯＜2；（4）若a＝2，则a2=f(依次类推可得an＝2；（5）若a＞2，则a22−a12=−2a1可得a32−a22=−2a2+4＜0，且a依次类推可得2＜⋯＜a3＜a2＜a1；对于①：由（4）可知：若a＝2，则an＝2，此时数列{an}为公比为1的等比数列，故①正确；对于②：由（5）可知：若a＝3＞2，则2＜⋯＜a3＜a2＜a1，此时数列{an}为递减数列，故②正确；对于③：由（3）可知：若0＜a＜2，则a1＜a2＜a3＜⋯＜2，此时数列{an}为递增数列，故③错误；对于④：由（3）可知：若0＜a＜2，则a1＜a2＜a3＜⋯＜2，即∀n∈N*，都有an＜2，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题主要考查数列的单调性、考查递推数列研究数列的性质、考查等比数列等知识，属于难题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（13分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．若a1＝1，S5＝25，b2＝2，q＝d．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求和：b1+b3+b5+⋯+b2n﹣1．【分析】（1）利用S5求出d可得{an}；b2求出q可得bn；（2）利用等比数列求和公式可得答案．【解答】解：（1）等比数列{bn}的公比为q．若a1＝1，S5＝25，b2＝2，q＝d．若a1＝1，则S5=5×1+5×4所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；q＝d＝2，b2＝2b1＝2，所以b1＝1，则bn（2）由（1）bn所以b1【点评】本题考查的知识点：数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．17．（13分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)，ω＞0，|φ|＜πωx+φ0π2π3π22πxπ87π8Asin（ωx+φ）020−20（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式和单调递减区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2sin2x+2cos2x，求函数g（x）在[0，π【分析】（1）根据“五点作图法”完成表格，结合表格中的数据求出f（x）解析式与单调减区间；（2）由三角恒等变换公式化简得g(x)=2sin(2x+π4)，结合π4≤2x+【解答】解：（1）填表如下：ωx+φ0ππ3π2πxπ3π5π7π9πAsin（ωx+φ）020−0根据题意，可得A=2函数的周期T满足34T=7π8−π8，解得T＝π由f（7π8）为函数的最小值，可得2×7π8+φ=3π2+2结合|φ|＜π2，可得φ=−π由表格，可知f（x）的单调递减区间为[3π（2）g(x)=2根据π4≤2x+π4≤5π4，可知当x=π2时，g（x【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．18．（14分）近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出．国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表：甲款机器人乙款机器人丙款机器人测试次数50100100成功次数105080假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率．（1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率；（2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，设成功的总次数为X，估计X的数学期望E（X）；（3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为ξ1，ξ2，ξ3，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3的大小关系．【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解；（2）先求X的可能取值，再求对应的概率，利用数学期望公式即可求解；（3）由ξ1∼B(10，15)，ξ2∼B(10，12)，ξ3【解答】解：（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为p1，则p1（2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为p2，丙款机器人单次送餐成功的概率为p3，所以p2X的可能取值为0，1，2，3，所以P(X=0)=(1−pP（X＝1）＝p1（1﹣p2）（1﹣p3）+（1﹣p1）p2（1﹣p3）+（1﹣p1）（1﹣p2）p3=1P（X＝2）＝p1p2（1﹣p3）+p1（1﹣p2）p3+（1﹣p1）p2p3=1P(X=3)=p所以E(X)=0×2（3）由题意有ξ1所以Dξ所以Dξ1＝Dξ3＜Dξ2．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望与方差、二项分布等，属于基础题．19．（15分）在△ABC中，(bcosC+ccosB)cosA=1（1）求A；（2）若a＝7，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．条件①：b＝8；条件②：c＝5；条件③：cosC=11注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解；（2）先判断△ABC存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）根据边角转换，原式可以化简为：(sinBcosC+sinCcosB)cosA=1因为sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，所以sinAcosA=1又因为A为三角形内角，所以cosA=1进而求得A=π（2）因为A=π3，所以根据余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝49，对于条件①：因为b＝8，所以sinB=bsinA又因为sinB=437＞3对于条件②：因为c＝5，所以根据正弦定理有：sinC=csinA因为c＜a，所以0＜C＜π又因为53所以满足△ABC存在且唯一，此时，由a2＝b2+c2﹣bc＝49，a＝7，c＝5，解得b＝8，所以S△ABC条件③：cosC=11由sinC=1−cos2由条件②即可求解．【点评】本题主要考查利用正弦定理和三角恒等变换解三角形，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（2﹣x）e1﹣x﹣ax3+bx2．（1）当a＝0，b＝0时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）当x≥0时，求函数f（x）的最大值；（2）若x＝3是函数f（x）的极大值点，求实数a的取值范围．【分析】（1）（i）利用导数的几何意义，根据条件f′（x）的解析式，求出f′（1）、f（1）的值即可求出；（ii）分析出f′（x）的单调区间，得到极值，分析得出最值即可．（2）利用f′（3）＝0，f″（3）＜0，联立解出不等式即可．【解答】解：（1）（i）当a＝0，b＝0时，函数f（x）＝（2﹣x）e1﹣x，f（1）＝（2﹣1）e1﹣1＝1，导函数f′（x）＝（﹣1）e1﹣x+（2﹣x）（﹣1）e1﹣x＝（x﹣3）e1﹣x，f′（1）＝（1﹣3）e1﹣1＝﹣2•e0＝﹣2，切线方程为：y﹣1＝﹣2（x﹣1），整理得：y＝﹣2x+3．（ii）导函数f′（x）＝（x﹣3）e1﹣x，因为e1﹣x＞0，对任意实数恒成立所以导函数f′（x）的符号由x﹣3决定：当x＞3时，导函数f′（x）＞0，函数单调递减；当x＜3时，导函数f′（x）＜0，函数单调递减，所以x＝3是极小值点，x＝0时，f（0）＝（2﹣0）e1﹣0＝2e，x→+∞时，e1﹣x→0，因此f（x）→0，因此当x≥0时，在x＝0处f（x）取得最大值为2e．（2）函数f（x）＝（2﹣x）e1﹣x﹣ax3+bx2，导函数f′（x）＝﹣e1﹣x+（2﹣x）（﹣1）e1﹣x﹣3ax2+2bx＝（x﹣3）e1﹣x﹣3ax2+2bx，因为x＝3是f（x）的极大值点，所以f′（3）＝0，f′（3）＝（3﹣3）e1﹣3﹣3a•32+2b•3＝﹣27a+6b，所以﹣27a+6b＝0，化简得b=9设函数s（x）＝（x﹣3）e1﹣x﹣3ax2+2bx，导函数s′（x）＝（4﹣x）e1﹣x﹣6ax+2b，为了确保x＝3是极大值点，那么还需保证s′（3）＜0，s′(3)=(4−3)e所以e﹣2﹣9a＜0，所以a＞1所以a∈(1【点评】本题考查导数的综