小学数学五年级下册行程追及问题知识清单

小学数学五年级下册行程追及问题知识清单一、核心概念与基本公式（一）追及问题的本质追及问题是研究两个或多个物体在同一直线或封闭图形上运动，其中一个物体追赶另一个物体的数学问题。其本质是研究两个物体在相同时间内，速度差异导致的位置变化关系。核心在于理解在追及过程中，追赶者与被迫赶者之间的路程差是如何被速度差在一段时间内弥补的。（二）三个核心量及其关系1、路程差：追及开始时，追赶者落后于被迫赶者的距离，或者在追及过程中，两者之间的距离变化量。【基础】2、速度差：追赶者的速度减去被迫赶者的速度（当追赶者速度大于被迫赶者速度时，速度差为正，这是追及发生的前提条件）。【核心基石】3、追及时间：从追及开始到最终追上所用的时间。（三）基本公式1、追及时间=路程差÷速度差2、速度差=路程差÷追及时间3、路程差=速度差×追及时间二、追及问题的三种基本类型【高频考点】（一）同向直线追及（基本型）这是最常见、最基础的追及问题。两个物体在同一线段上同向运动，出发地点可能相同，也可能不同。1、同时不同地：追赶者和被迫赶者从不同地点同时出发，做同向运动。（1）特征：初始时刻，两者之间有一段距离（即路程差）。追赶者速度更快，最终追上。（2）公式应用：路程差即为初始相距的距离。追及时间=初始距离÷（快速慢速）。（3）典型例题：甲、乙两车同时从A、B两地同向开出，甲车在前，乙车在后。甲车速度是40千米/时，乙车速度是50千米/时，已知A、B两地相距20千米，问乙车多久能追上甲车？解答：路程差为20千米，速度差为5040=10千米/时，追及时间=20÷10=2（小时）。2、同地不同时：追赶者和被迫赶者从同一地点出发，但出发时间不同。先出发的慢者（或速度相等者）先走一段，后出发的快者再开始追。（1）特征：路程差由先出发者提前行驶的那段距离产生。路程差=先出发者的速度×先出发的时间。（2）公式应用：追及时间=（先出发者的速度×先出发的时间）÷（快者速度慢者速度）。（3）典型例题：小明和小红从学校出发去图书馆。小明步行，速度是60米/分，先出发5分钟后，小红骑自行车以150米/分的速度出发。问小红需要多长时间追上小明？解答：路程差为小明先走的距离：60×5=300（米）。速度差为15060=90（米/分）。追及时间=300÷90=10/3（分钟），即3分20秒。【重要】3、同时同地：两者从同一地点同时同向出发。（1）特征：初始路程差为0，如果速度不同，则快的会立刻跑到前面，不存在“追及”的过程，而是“拉开距离”的过程。这种情况下的追及问题往往演变为研究在某个时间点，两者之间的距离关系，或是在环形跑道上的追及问题。【易混淆点】（二）环形跑道追及（封闭型）在圆形、椭圆形或正方形等封闭的环形线路上，两个物体从同一地点（或不同地点）同时（或不同时）同向出发，速度快的物体追上速度慢的物体。1、从同一地点同时同向出发（1）特征：这是环形追及的最基本形式。每追上一次，速度快者就比速度慢者多跑一圈。路程差=环形跑道一圈的长度。（2）公式：追及时间（每追上一次所需时间）=跑道周长÷速度差。（3）典型例题：一个环形跑道长400米，甲、乙两人从同一地点同时同向起跑。甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。问甲第一次追上乙需要多少时间？解答：路程差为400米，速度差为64=2米/秒，追及时间=400÷2=200（秒）。【核心考点】2、从同一地点不同时出发（1）特征：一人先出发，另一人后出发。此时的路程差，是先行者在先走时间内所走的距离，但要注意这个距离可能小于或等于一圈。当后行者开始追时，计算的是第一次追上所需的时间。（2）解答思路：先计算出后行者出发时，两者之间的路程差，然后除以速度差。3、从不同地点同时同向出发（1）特征：出发时两者在环形跑道上有一段距离（顺时针方向或逆时针方向的距离）。这段距离就是初始路程差。（2）注意点：在环形跑道上，两点间的距离有“较短距离”和“较长距离”之分。通常我们说的追及问题中的路程差，是指追赶者需要追赶的“前方距离”，即沿着运动方向，从追赶者到被迫赶者之间的弧长。（3）公式：追及时间=（初始沿运动方向的前方距离）÷速度差。（4）典型例题：在周长为300米的环形跑道上，甲、乙两人从相距60米的A、B两点同时同向出发，甲快乙慢，且甲在乙后面60米（沿运动方向），甲的速度是7米/秒，乙的速度是5米/秒，问甲第一次追上乙需要多久？解答：路程差即为60米，速度差为75=2米/秒，追及时间=60÷2=30（秒）。【难点】（三）多人多段追及（综合型）涉及三个或三个以上的物体，或是在一段行程中发生多次追及事件。这类问题通常比较复杂，需要结合线段图分析。1、特征：通常表现为甲追乙，同时乙追丙，或者在行程的不同阶段，追及者和被迫赶者的角色发生转换。2、解题策略：分段处理，化繁为简。将复杂的多人运动分解为若干个基本的两人追及问题。关键是要找准在每个独立的追及过程中，谁是被追赶者，谁是追赶者，以及他们的路程差、速度差和追及时间。同时要注意时间的同时性和连续性。【思维进阶】3、典型例题：甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B地同时出发相向而行。甲和乙相遇后，过了15分钟又和丙相遇。求A、B两地的距离。思路解析：这是一个相遇与追及交织的问题。首先，甲和乙相遇，这是一个相遇问题。其次，甲和丙的相遇，也是一个相遇问题。但“过了15分钟”这个条件，将两个相遇事件联系了起来。可以通过画图分析，利用甲、乙相遇后到与丙相遇的这15分钟，找出甲与丙在甲、乙相遇时刻的距离，这个距离同时也是乙和丙在这段时间内因速度差而产生的路程差，从而求解。三、解题策略与数学思想【方法核心】（一）画线段图法这是解决行程问题，尤其是追及问题最直观、最有效的方法。1、作用：将抽象的文字描述转化为形象的图形，清晰地呈现物体的运动方向、出发地点、出发时间、运动路径以及关键位置点（如追及点）。线段图能帮助我们准确找到路程差，避免概念混淆。2、画图要领：（1）用不同的符号或颜色表示不同的物体。（2）标出起点、终点、中间的关键点。（3）用箭头表示运动方向。（4）在线段上标注已知的速度、时间、距离数据。（5）特别注意标注出路程差的位置。（二）公式法在准确理解题意并找出核心量（路程差、速度差）后，直接套用基本公式求解。这是最基础也是最重要的解题方法。1、适用情况：题目条件直接、清晰，能够一步到位找到路程差和速度差。2、变形应用：当题目求的是速度或路程时，利用公式的变形式求解。例如，求追赶者的速度=被迫赶者速度+路程差÷追及时间。（三）方程法对于一些关系复杂、未知量较多的追及问题，设未知数列方程是一种强有力的手段。1、设未知数的原则：通常设追及时间为未知数，或者设其中一个物体的速度为未知数。2、列方程的依据：利用“路程差=速度差×追及时间”这个等量关系。或者，利用两者所走路程之间的关系（如快者路程=慢者路程+初始路程差）来列方程。3、优势：方程法思维难度相对较低，只需将文字语言翻译成数学语言，将问题转化为解方程，可以有效降低解题难度。【重要】（四）比例法当题目中给出的条件涉及比例关系，或者速度、时间、路程三者中有一个量是固定不变时，运用比例法往往能出奇制胜。1、理论基础：在追及问题中，当时间相同时，路程比等于速度比；当速度相同时，路程比等于时间比；当路程相同时，速度比等于时间的反比。2、应用场景：例如，在环形跑道中，速度比已知，可以通过比例求出在相同时间内各自跑的路程比例，进而确定相遇或追及的位置。（五）转化的数学思想1、变“同向”为“异向”：在某些特定的问题中，可以通过变换参考系，将追及问题转化为相对运动问题来理解，从而简化计算。例如，在环形跑道中，如果两人相向而行，那就是相遇问题。2、变“环形”为“直线”：将环形跑道问题通过“剪开拉直”的方法，转化为直线上的追及或相遇问题，特别是对于多次追及，这种思想可以帮助我们理解圈数和路程差的关系。第一次追上的路程差是一圈，第二次追上的路程差是两圈，以此类推。【思维拓展】四、高频考点与常见题型解析【考试风向标】（一）考点1：基本公式的直接应用★考查方式：直接给出路程差、速度差或追及时间中的两个量，求第三个量。★示例：一辆卡车和一辆轿车同时从甲地开往乙地，卡车速度是45千米/时，轿车速度是70千米/时，卡车先出发2小时后轿车才出发，当轿车追上卡车时，轿车行了多少千米？解析：先求路程差：45×2=90（千米）。速度差：7045=25（千米/时）。追及时间：90÷25=3.6（小时）。轿车行驶路程：70×3.6=252（千米）。【基础】（二）考点2：求速度或路程★考查方式：已知追及时间、路程差和其中一个速度，求另一个速度。或已知追及时间、速度差，求路程差。★示例：甲、乙两人从相距150米的两地同时同向而行，甲在后面，每分钟行70米，经过10分钟甲追上乙，求乙的速度。解析：路程差为150米，追及时间为10分钟，则速度差=150÷10=15（米/分）。甲的速度快，所以乙的速度=甲的速度速度差=7015=55（米/分）。【重要】（三）考点3：环形跑道上的追及【热点】★考查方式：1、直接求第一次追及时间。2、求第n次追及的时间或位置。3、与相遇问题结合，求两者在环形跑道上相遇和追及的次数。★示例：在一条长400米的环形跑道上，小强和小刚同时从同一地点反向出发，小强每秒跑5米，小刚每秒跑3米。当他们第一次相遇后，小强立刻转身反向（即与小刚同向）而跑，问从出发到第二次相遇经过了多少时间？解析：这是一个复杂的综合问题。第一阶段（反向相遇）：速度和=5+3=8米/秒，第一次相遇时间=400÷8=50秒。此时两人各自跑了50×5=250米，50×3=150米。第二阶段（同向追及）：第一次相遇后，小强转身与小刚同向，此时小强在小刚后面？从位置来看，假设跑道是从起点逆时针方向，小强跑了250米，小刚跑了150米，所以小强在小刚前面100米。但由于跑道是环形的，同向时，小刚在小强前面300米（）。转身后，小强速度5米/秒，小刚3米/秒，小强追小刚，路程差为300米，速度差为2米/秒，追及时间=300÷2=150秒。总时间=50+150=200（秒）。【难点】（四）考点4：与时钟问题结合的追及★考查方式：将钟面上的时针和分针看作两个物体在环形跑道上运动，分针速度快，时针速度慢。这是典型的环形追及问题。1、钟面周长：通常将钟面一圈分为60小格，则分针速度是1小格/分，时针速度是1/12小格/分。或者将一圈分为360度，则分针速度6度/分，时针速度0.5度/分。2、公式：追及时间（如重合、成直线等）=初始路程差（格或度）÷速度差。★示例：从3点开始，经过多少分钟，时针和分针第一次重合？解析：3点时，分针指向12，时针指向3，分针落后时针15小格（或90度）。速度差=11/12=11/12（小格/分）。追及时间=15÷(11/12)=15×12/11=180/11≈16.36（分钟）。【高频考点】（五）考点5：与行车问题（火车过桥、错车）结合的追及★考查方式：当追及对象是火车等长车厢物体时，需要考虑车身长度。1、火车追火车：快车追慢车。路程差=两列火车的初始距离+慢车的车身长度？实际上，追及问题中的“追上”指的是快车车头追上慢车车尾。从此刻开始，到快车车尾离开慢车车头，这个过程称为“超车”。这个超车过程中的路程差，是两列火车的车身长度之和。但单纯的“追上”瞬间，路程差就是初始距离。2、常见题型：（1）求超车时间：超车时间=（快车长+慢车长）÷（快车速慢车速）。（2）求追及（从车头追上车尾，到车尾离开车头）所需时间。★示例：一列快车长150米，速度是20米/秒；一列慢车长120米，速度是15米/秒。快车车头追上慢车车尾到完全超过慢车，需要多少时间？解析：在这个过程中，快车要比慢车多行的路程是两车车身长度之和，即150+120=270米。速度差=2015=5米/秒。所需时间=270÷5=54（秒）。【重要】五、易错点剖析与避坑指南（一）混淆“路程差”这是最常见的错误。需要仔细分析路程差究竟是由“初始距离”产生的，还是由“先行时间”产生的，或者是在环形跑道上的“弧形距离”。★避坑：务必通过画线段图，明确追及开始时，两个物体之间的实际距离，并且这个距离就是追赶者需要弥补的差距。（二）忽略运动方向在环形跑道或复杂路线中，运动方向（同向、反向）决定了问题是追及还是相遇。一旦方向看错，公式就会用错。★避坑：读题时，圈出“同向”、“相向（相对）”、“反向”等关键词。（三）时间不同步在“同地不同时”问题中，容易忘记将先出发者的时间转化为路程差，或者直接拿出发时间代入公式。★避坑：牢记“追及问题研究的是从追赶者出发开始，到追上为止的这段时间”。所有物体在这段时间内都在运动。先出发者早走的那个时间段，只用来计算初始路程差。（四）单位不统一速度单位（千米/时、米/分、米/秒）和时间单位（小时、分钟、秒）如果不统一，计算出的结果就会错误。★避坑：在计算前，务必先统一单位。例如，将速度都化为“米/分”，时间都化为“分钟”。（五）在环形追及中误解“圈数”对于环形跑道上的多次追及，学生往往对第几次追上时所多跑的圈数理解不清。★避坑：从同一地点同时同向出发，每追上一次，快者就比慢者多跑一圈。那么，第n次追上时，快者比慢者多跑了n圈。路程差（总）=n×跑道周长。六、思维拓展与视野提升（一）相对速度思想的深化在物理学中，追及问题本质是伽利略变换下的相对运动。我们可以假设慢者静止，那么快者的速度就等于两者的速度差，而路程差就是他们之间的初始距离。这种思想在处理多个物体相对运动时尤其有用。（二）用比例思想巧解复杂追及在只有速度比例关系，而没有具体速度数值的问题中，我们可以将速度设为单位“1”的倍数。例如，甲、乙速度比为5:3，则可设甲的速度为5份，乙的速度为3份，那么一份速度所对应的具体数值需要通过其他条件（如追及时间、路程差）来求出。这种方法能避开分数计算，简化过程。（三）从算术方法到代数方法的跨越小学奥数强调算术解法，侧重于对问题的具体分析和逆向思维。而初中数学更强调代数解法，即通过设立未知数，将问题转化为方程的求解。在小学高年级阶段，有意识地引导学生使用方程法，不仅能够解决更复杂的问题，也是为中学数学学习做好铺垫。（四）追及问题与实际生活的联系1、体育竞赛：田径比赛中的套圈现象，就是典型的环形跑道追及问题。2、交通运输：高速公路上的超车，需要计算安全距离和超车时间，这涉及到火车追及问题中关于车身长度的考量。3、军事与航天：导弹拦截目标、飞船对接等，都是追及问题在尖端科技领域的应用，当然其计算要复杂得多，但基本原理是一致的。七、精选例题深度解析【例题1】（★★基础夯实）甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点30千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？解析：此题为相遇问题，但可引申出追及思想。两车相遇在距中点30千米处，说明甲车比乙车多走了两个30千米，即60千米。这是因为甲快乙慢，甲超过中点30千米，乙离中点还有30千米。路程差为60千米，速度差为6048=12千米/时，所以相遇时间为60÷12=5小时。两地距离=（60+48）×5=108×5=540千米。【例题2】（★★★能力提升）某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟就有一辆电车迎面开过，每12分钟就有一辆电车从后面超过他。如果电车按相等的时间间隔发车，并以匀速行驶，求电车的速度及发车的时间间隔。解析：这是一个与公交车间隔发车有关的综合问题，涉及相遇和追及。设电车速度为v千米/时，发车间隔为t分钟。将“迎面开来”看作相遇问题，将“从后面超过”看作追及问题。首先，统一单位。将速度化为千米/分：人速=4.5千米/时=4.5÷60=0.075千米/分。对于迎面开来的电车：两辆相邻电车的距离（即发车间隔内电车所走的路程）=v×(t/60)千米？这里用分钟更方便。设相邻两辆电车的间距为S千米（S=v×t/60？我们暂不设t，而是用相遇追及公式）。实际上，相邻两车的间距是固定的，设为L千米。L=v×T，其中T是发车间隔（小时）。迎面相遇：人车相向而行，速度和为(v+4.5)千米/时，相遇时间间隔为7.2分钟=7.2/60=0.12小时。所以有：L=(v+4.5)×0.12。(1)背后追及：人车同向而行，