七年级数学《月历中的奥秘与3的倍数规律》教学设计

七年级数学《月历中的奥秘与3的倍数规律》教学设计

一、教学背景分析

（一）教材分析

本课定位于人教版七年级数学上册第二章“整式的加减”之后的数学活动课，属于“综合与实践”领域。教材以月历这一真实生活情境为载体，引导学生用整式表示月历中方框内数字的数量关系，并通过代数运算发现一般规律。在此基础上，将视角从“框内数字之和”转向“数字本身的整除性”，借助位值原理和整式恒等变形，揭示被3整除的数的本质特征。本课内容既是对整式加减运算的即时巩固与应用，也是学生首次经历从具体数字规律到一般代数证明的完整探究过程，为后续学习因式分解、数论初步（如整除、同余）乃至函数建模奠定思维基础。教材编排的深层意图在于：将运算技能上升为推理能力，将记忆性知识转化为理解性知识，是落实数学核心素养的关键载体。【重要】

（二）学情分析

知识层面：学生在小学五年级已掌握“一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”的结论，并能进行简单判断。在七年级第二章，学生系统学习了整式、同类项、合并同类项、去括号等法则，能够进行简单的整式加减运算。这为用代数方法证明整除特征提供了必要的工具。

能力层面：七年级学生处于从具体运算向形式运算过渡的阶段，具备初步的观察、归纳能力，但严谨的逻辑推理和符号化表达仍属薄弱环节。学生容易满足于“举几个例子就相信结论”，缺乏证明的内在需求；在将月历中数字位置关系转化为代数表达式时，对“行差7”这一隐含条件可能忽略或错用。

情感层面：学生对带有游戏色彩的数学活动兴趣浓厚，乐于参与小组操作与讨论，但注意力易发散，需要教师以精准的问题链维持认知聚焦。

教学难点预判：一是用字母表示月历框内不同位置数字时的方向与对应关系；二是从两位数到多位数的证明推广中，对“位值拆分”与“9的倍数提取”的理解；三是将整除特征反作用于月历存在性问题的综合应用。【非常重要】

（三）课标要求

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，“数与代数”领域在第四学段（7～9年级）明确指出：在真实情境中理解数的意义，探索数量关系，形成符号意识和推理能力。本课对标以下具体条目：能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，获得所需要的信息；经历从具体问题中抽象出数量关系的过程，发展模型观念；在数学活动中体验发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。同时，本课通过数学史渗透（古代“弃三法”），落实文化自信教育。【重要】

（四）教学目标

1.知识与技能目标

（1）准确说出被3整除的数的特征，并能快速判断任意整数是否为3的倍数，正确率不低于95%。【高频考点】

（2）能用含一个字母的代数式表示月历中3×3方阵、“十”字形、“H”形框内所有数字，并运用整式加法验证其数量关系。【重要】

（3）理解并复述被3整除特征的代数证明思路，能独立完成两位数、三位数的证明，在提示下完成四位数的证明。【难点】

2.过程与方法目标

（1）经历从月历具体数字到一般字母表达、从具体算式到恒等变形的抽象过程，体会符号化思想和归纳思想。【热点】

（2）通过小组合作探究不同框选图形的代数表达式，发展类比迁移能力。

（3）经历“观察—猜想—验证—证明”的数学活动链，感受合情推理与演绎推理的结合。

3.情感态度与价值观目标

（1）在破解月历奥秘的过程中获得成功的体验，增强对数学内部规律的好奇心。

（2）通过代数证明揭示直觉结论背后的逻辑必然性，体会数学的严谨美与理性精神。

（3）在小组任务中养成倾听、质疑、分享的合作习惯。

（五）教学重难点

重点：被3整除的数的特征及其在月历框数问题中的迁移应用。【非常重要】

难点：用字母表示月历数字位置关系并建立代数模型；用位值原理证明整除特征的一般性。【难点】

二、教学策略与设计理念

本课采用“情境—问题—活动—抽象”四阶探究教学模式。以月历为固定情境锚点，通过“和的关系”与“数的特征”双线并进，设置阶梯式问题链：从“3×3方阵和是中间数9倍”的发现性验证，到“任意框选皆可代数表达”的变式巩固，再到“为什么看各位和就能判断整除”的认知冲突，最后回归月历进行存在性推理。全程贯穿“具体—半抽象—抽象”的认知路径。教学组织上采用“个体思考—组内协作—全班共议”的互动结构，教师以追问而非告知的方式推进思维深化。设计理念强调：数学活动不仅是动手操作，更是动脑建模；数学规律不仅是工具，更是思维的产物。【一般】

三、教学准备

教师：交互式电子月历（可动态框选不同形状）、预置2025年1—12月月历的PPT、小组学习任务单（每类框选图形一份）、彩色磁力月历板及磁贴、板书用彩色粉笔。

学生：每人准备一张当年当月月历卡（纸质）、整式运算练习本、铅笔、橡皮。课前微任务：复习整式加减法则，回忆小学3的倍数判定口诀。【一般】

四、教学实施过程

（一）创设情境，激活经验——发现月历中的“9倍关系”（约5分钟）

上课伊始，教师手持纸质月历卡，以闲聊口吻提问：“同学们，月历不仅帮我们记录重要日子，里面还藏着数学密码。请大家看大屏幕——这是2025年1月的月历。如果我用红色方框框出左上角数字1到右下角数字9这个3×3区域，谁来快速口算这9个数的总和？”学生立即计算：1+2+3+……+9=45。教师追问：“这个方阵最中间的数字是几？”生答5。教师板书45÷5=9。随后，教师请每位学生在自己月历卡上任选另一个3×3方框，同桌交换计算，验证和与中间数的倍数关系。学生汇报：框出8—16，和108，中间12，108÷12=9；框出17—25，和189，中间21，189÷21=9。教师顺势抛出核心问题：“难道所有3×3方框都恰好是9倍？如果我们不依赖具体数字，有没有办法从数学上证明这个倍数永远不变？”此时部分学生已有用字母表示数的冲动，教师揭示课题，并板书“月历方阵中的代数奥秘”。【一般】

（二）自主探究，建模表达——3×3方阵的两种代数视角（约12分钟）

【非常重要】教师下发学习任务单一，指令清晰：

第一，选定自己月历中的一个3×3方框，写出所有数字并计算总和与中间数的倍数，再次确认9倍关系。

第二，设这个方框左上角的数字为a，请你用含a的式子表示出其余8个数字。

第三，计算这9个整式的和，化简后与中间数（也用a表示）进行比较，写出你的结论。

第四，如果设方框正中间的数字为x，请你再用含x的式子表示其余8个数字，并计算9个数的和。

学生以4人小组为单位展开活动。教师巡视，重点观察第二、四步。在第二步中，典型错误是将第二行第一列写为a+1（忽略行差），教师并不直接纠正，而是指着月历板提问：“从1日到8日，日历上相差几天？如果a是1，a+1是2，但a下面这个位置应该是8，8比1大几？”学生顿悟“大7”，从而修正为a+7，a+14。在第四步，以中间数x表示周围数字时，学生普遍感到困难，尤其是左上角x-8的推导。教师借助磁力月历板演示：中间数为x，它的正上方是x-7，左上方则是在x-7的基础上再左移1列，即x-7-1=x-8。同理可得全部表达式。

小组汇报环节，两个小组分别板演a法和x法。a法：9a+72，中间数a+8，9a+72=9(a+8)。x法：9x，直接得证。教师组织对比：“两种方法都正确，为什么x法更受欢迎？”学生回答“因为不用再乘9倍，直接就是9x”。教师总结：字母的选取可以优化表达，用对称中心设元常常带来简洁性。此时全班对“9倍关系”的信念从“举例确信”上升为“逻辑确信”。【高频考点】【非常重要】

（三）变式挑战，迁移巩固——十字形与H形的代数表达（约8分钟）

【重要】教师调换框选形状：“刚才我们研究的是实心正方形，如果我只框出中间一行三个和中间一列三个，像十字架一样，一共5个数。这5个数的和与中心数还有倍数关系吗？”学生很快通过具体数字发现也是5倍。教师要求用字母证明。学生设中心数为x，则五个数分别为x-7，x-1，x，x+1，x+7，和为5x，结论成立。教师追问：“如果框出‘H’形——左右两列各三个数，中间一列不选，共6个数。这6个数的和有没有简单倍数关系？”学生陷入认知冲突：有人猜是6倍，有人猜不是整数倍。教师引导：“先不猜倍数，而是先把它用字母表示出来。设H形中间行左边第一个数为a，你能写出全部6个数吗？”学生小组尝试，得出左列：a，a+7，a+14；右列：a+2，a+9，a+16。求和得6a+48。教师继续：“6a+48能写成某个数的6倍吗？这个数是什么？”学生分解因式：6a+48=6(a+8)，而a+8恰好是中间行中间数。因此这6个数的和也是中间行中间数的6倍。学生惊叹：原来隐藏的中心还是存在的！教师总结：无论框选形状如何，只要框选规则明确，总能通过设恰当的未知数得到简洁的代数结论，这就是数学建模的力量。【热点】

（四）认知冲突，聚焦本质——从“和的关系”转向“数本身”（约10分钟）

【核心知识点】教师话锋一转：“刚才我们一直在研究一组数的‘和’，现在我们把目光从‘和’移到‘每一个数’本身。请大家在月历卡上快速圈出所有3的倍数。”学生圈出3，6，9，12，15，18，21，24，27，30。教师提问：“观察这些圈出的位置，它们是不是固定出现在某一列？”学生发现有时在第3列，有时在第6列，并不固定。教师追问：“为什么5的倍数（5，10，15，20，25，30）总是排在第5列和第10列附近，而3的倍数却‘到处乱跑’？”学生沉默后回答：“因为一个月是31天或30天，5的倍数每隔5天出现，列数有规律；3的倍数每隔3天出现，但7天一行，3和7互质，所以列数会变。”教师肯定其直觉，并继续深挖：“那抛开月历，单看一个数字，我们小学就学过判断它是不是3的倍数的快捷方法——看各位数字和。为什么这个方法成立？月历里数字的位置变化，和这个判断方法有关系吗？”【非常重要】

此时教师并不直接给出证明，而是再次设问：“以27为例，2×10+7，十位上的2贡献20，个位上的7贡献7，20+7=27。20除以3余2，7除以3余1，总余数2+1=3，正好整除。那如果把20拆成18+2，18是3的倍数，余数就只剩下2+7=9，9是3的倍数，所以27也是。这个‘拆’的过程，能不能推广到所有两位数？”学生由此产生强烈的证明需求。【难点】

（五）合作论证，揭示原理——位值拆分与整除判定（约15分钟）

【非常重要】教师板书一个一般两位数：10a+b，其中a是十位数字（1≤a≤9），b是个位数字（0≤b≤9）。教师示范变形：10a+b=9a+(a+b)。强调9a一定是3的倍数，因此10a+b除以3的余数完全由a+b除以3的余数决定。所以当a+b是3的倍数时，10a+b就是3的倍数。学生点头，但仍存疑：“三位数也是这样吗？”教师将学生分成三组，第一组证明三位数，第二组证明四位数，第三组尝试总结任意n位数的规律。

第一组快速写出：100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)。99a和9b均为3的倍数，因此判断a+b+c即可。第二组写出：1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)，同样，前三项都是3的倍数。第三组发言人尝试概括：“任何一个多位数，都可以拆成‘每一位数字乘以9、99、999……’再加上‘各位数字之和’，而9、99、999……都是3的倍数，所以只需看各位和。”教师追问：“为什么999一定是3的倍数？”学生齐答：“9+9+9=27，27是3的倍数，而且999÷3=333。”教师总结：“这就是位值原理与整除特征的完美结合。小学我们记住了结论，初中我们用代数证明了结论，这就是数学学习的进阶。”【高频考点】【难点】

此时教师再将视线拉回月历：“现在你明白为什么3的倍数在月历中分布均匀了吗？因为判断一个数是不是3的倍数，和它在月历的第几行第几列毫无关系，只取决于它各位数字的和是不是3的倍数。月历只是呈现了这些数字，并没有改变它们的数学属性。”学生豁然开朗。【重要】

（六）回归应用，综合解决——月历框选的存在性问题（约8分钟）

【热点】【难点】教师呈现一道综合题：“月历上是否存在一个3×3方框，使得框内9个数字之和为2025？若存在，请写出这个方框；若不存在，请说明理由。”学生立即想到设中间数为x，则9x=2025，x=225。但225远大于31，月历中最大日期为31，因此不可能存在。教师追问：“如果将2025改为126，是否存在？”学生计算126÷9=14，中间数为14。学生迅速在月历卡上找到包含14的3×3方框：7,8,9,14,15,16,21,22,23，确实存在。教师继续：“如果改为99呢？”学生答9x=99，x=11，存在。教师深化：“所以月历方框和的存在性需要满足两个条件：一是9的倍数，二是中间数介于1到31之间，且该中间数周围确实能框出完整的3×3区域（即不超出月历边界）。”学生体会到，数学规律不是孤立的知识点，而是解决实际问题的工具。【热点】

（七）课堂小结，建构网络——知识与思想双线提炼（约5分钟）

教师以“今天我知道了……，我学会了……，我还想知道……”引导学生三句话小结。学生1：我知道了被3整除的数的特征可以用代数证明，不是死记硬背。学生2：我学会了用字母表示月历中方框的数字，找到了规律。学生3：我还想知道被7整除有没有简单方法。教师肯定其探究欲望，简要介绍“截断求和法”作为拓展线索。教师随后从知识线和思想线两个维度板书总结：

知识线：月历3×3方阵九数和是中间数9倍→其他框选也可代数表达→被3整除特征的本质是位值拆分→整除特征在月历存在性判断中的应用。

思想线：符号化思想（用字母表示数）、转化思想（整除问题转化为各位和问题）、模型思想（月历框选模型）、推理思想（从特殊到一般，从归纳到演绎）。【一般】

（八）分层作业，个性延伸——巩固、拓展与实践（约2分钟）

必做题：教材第85页数学活动第2、3题；写出一个五位数并判断它能否被3整除，用今天学习的证明思路写出简要推理过程。

选做题：仿照3的倍数证明方法，证明被9整除的数的特征；探究月历中“X”形（两条对角线交叉，共5个数）的和与中间数的关系，并写出代数证明。

实践题（小组合作）：制作一张“2026年2月数学奥秘月历”，在每一格日期下方标注该数是否能被2、3、5整除（用不同符号），并在月历下方附上一段100字左右的“整除规律发现报告”。【一般】

五、板书设计

整块黑板分为左、中、右三个功能区。左侧为主探究区：上方用磁贴展示月历3×3方阵，下方并列书写两种设元方法——设左上角为a：a,a+1,a+2,a+7,a+8,a+9,a+14,a+15,a+16，和=9a+72=9(a+8)；设中间数为x：x-8,x-7,x-6,x-1,x,x+1,x+6,x+7,x+8，和=9x。用彩色粉笔圈出“9倍”关键词。

中间为整除特征证明区：左侧书写两位数证明通式10a+b=9a+(a+b)；右侧对应书