小学数学五年级上册 小数乘除法 单元教学设计

小学数学五年级上册小数乘除法单元教学设计

一、单元教学背景与设计理念

本单元隶属于“数与代数”领域，是学生在掌握了整数四则运算、小数的意义和性质以及初步认识小数加减法的基础上，对数概念的一次重要扩充，也是后续学习分数、百分数以及相关运算的基石。本设计基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，以“理解算理、掌握算法、感悟联系、发展数感”为总目标，打破传统计算教学中“重结果、轻过程”“重技能、轻思维”的局限，强调在真实情境中激发认知冲突，在深度探究中建构数学模型，在迁移应用中培养运算能力和推理意识。本设计将单元内容进行结构化整合，以“计数单位的累加与细分”为统摄大概念，引领学生感悟整数运算与小数运算的一致性，实现知识的整体建构与思维的自然生长。

二、单元教学内容与学情分析

【基础】本单元教学内容主要包括小数乘法（小数乘整数、小数乘小数）、积的近似数、小数除法（除数是整数的小数除法、除数是小数的除法）、商的近似数及循环小数。这些内容在逻辑上层层递进，在算理上一脉相承。

【非常重要】学情分析：五年级学生已经具备一定的整数运算基础和初步的抽象思维能力，但小数的引入使得运算对象从“个”扩展到“十分之一、百分之一”等更小的计数单位，这为学生认知带来了新的挑战。学生常见的学习障碍点包括：积或商的小数点定位不准确（特别是需要补0的情况）；对“商不变规律”在小数除法中的迁移应用理解不透彻；难以理解“除数是小数”时转化为除数是整数的除法算理；对循环小数的概念感到抽象。因此，教学设计需注重从直观模型（如面积模型、人民币模型）过渡到抽象算理，提供充分的探究时空，帮助学生跨越认知障碍。

三、单元教学目标与重难点

（一）教学目标

1.【基础】理解并掌握小数乘整数、小数乘小数的计算方法，能正确进行笔算，并能根据“四舍五入”法求积的近似数。

2.【重要】理解并掌握除数是整数和除数是小数的除法计算方法，能正确进行笔算，并能根据要求求商的近似数。认识循环小数，能根据需要取循环小数的近似值。

3.【非常重要】经历探索小数乘、除法计算方法的过程，能运用已有知识（如整数运算、积的变化规律、商不变规律、小数的性质）解释计算的道理，感悟运算的一致性，发展推理意识和运算能力。

4.【热点】能运用小数乘、除法解决生活中的简单实际问题，体会数学与生活的密切联系，增强应用意识。

（二）教学重难点

1.教学重点：掌握小数乘、除法的计算方法，并能正确熟练地进行计算。

2.教学难点：理解小数乘、除法的算理，特别是积或商的小数点定位的原理；掌握除数是小数的除法转化为除数是整数的除法的过程和方法。

四、单元教学整体架构与课时安排

本单元教学将内容重组为三个核心板块，共安排12课时：

板块一：小数乘法的意义与算理（4课时）

板块二：小数除法的意义与算理（5课时）

板块三：运算规律、循环小数与实际应用（3课时）

五、教学实施过程（核心环节详案）

（一）板块一：小数乘法的意义与算理

第1课时：小数乘整数——计数单位的累加

【教学过程】

1.创设情境，引入新知：呈现“西瓜每千克3.5元，买3千克需要多少钱？”的生活情境。引导学生列出算式：3.5×3。提问：这个算式和我们以前学的乘法有什么不同？（其中一个因数是小数）揭示课题。

2.自主探究，算法初建：

（1）学生独立尝试计算，教师巡视，收集典型资源。预设学生方法：A.加法：3.5+3.5+3.5=10.5；B.转化法：将3.5元看作35角，35角×3=105角=10.5元；C.利用乘法意义：3.5×3表示3个3.5的和。

（2）组织交流，重点分析“转化法”。提问：为什么可以把3.5元看作35角？这样做的理由是什么？（把新知识转化成旧知识）引导学生感悟转化的思想。

3.聚焦算理，揭示本质：

（1）结合学生汇报，板书转化过程：3.5元=35角，35角×3=105角，105角=10.5元。指出：35角就是35个0.1元，3个35个0.1元就是105个0.1元，也就是10.5元。

（2）呈现抽象算式：3.5×3。引导学生思考：3.5里面有几个0.1？(35个)。35个0.1乘3得到多少个0.1？(105个)。105个0.1是多少？(10.5)。从而引出计算方法：先把小数乘整数转化为整数乘整数，再看乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。【非常重要：理解乘数中有几位小数，积就有几位小数的表象背后的算理——实际上是计数单位的变化】。

4.巩固练习，内化算法：完成“做一做”中类似题目，如0.72×5。重点处理积末尾有0的情况，引导学生讨论：为什么计算时先不看小数点，算出整数积后，再点上小数点，最后根据小数的性质去掉末尾的0？强调计算的规范性。

5.课堂总结：回顾今天的学习过程，我们是怎样计算小数乘整数的？最关键的一步是什么？（转化）

第2课时：小数乘小数——面积模型与算理建构

【教学过程】

1.复习引入，激活经验：快速口算小数乘整数，并说说计算要点。出示问题：给一个长2.4米、宽0.8米的长方形宣传栏刷油漆，每平方米需要油漆0.9千克，一共需要多少千克油漆？引出第一个子问题：宣传栏的面积有多大？列式：2.4×0.8。

2.合作探究，建构模型：

（1）【重要】引导学生思考：这个算式和上节课学的有什么不同？（两个因数都是小数）。还能用转化的方法吗？学生小组合作，尝试用不同方法计算2.4×0.8。

（2）预设学生方法：A.转化为分米：2.4米=24分米，0.8米=8分米，24×8=192平方分米=1.92平方米；B.利用积的变化规律：把2.4乘10变成24，0.8乘10变成8，积24×8=192，扩大了100倍，要得到原积，需将192除以100，得1.92。

（3）重点剖析“积的变化规律”法。结合面积模型进行演示：将长2.4米和宽0.8米分别扩大到原来的10倍，得到长24米、宽8米的大长方形，面积扩大到原来的100倍。原长方形面积等于大长方形面积除以100。这直观地解释了为什么积要缩小到原来的1/100。

3.总结算法，抽象法则：

（1）引导学生观察：两个因数一共有几位小数？积有几位小数？初步建立“因数中一共有几位小数，积就有几位小数”的认知。

（2）尝试计算：1.92×0.9。学生独立完成后，讨论：积的小数位数不够怎么办？（需要在前面用0补足，再点小数点）。如1.92×0.9，因数共有三位小数，积1728应“向左数出三位”，位数不够，就在1728前面补一个0，点上小数点，整数部分再补一个0，得到1.728。

（3）【非常重要】完整归纳小数乘法的计算法则：先按照整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果积的小数位数不够，要在前面用0补足；如果积的小数部分末尾有0，要把0去掉。

4.分层练习，提升思维：设计对比练习，如2.8×1.2与2.8×0.9，引导学生发现规律：一个数（0除外）乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小。

5.拓展应用：解决“一共需要多少千克油漆？”的问题（1.92×0.9），完整经历“问题-计算-结论”的过程。

第3课时：积的近似数——四舍五入法的应用

【教学过程】

1.情境引入：出示“人的嗅觉细胞约有0.049亿个，狗的嗅觉细胞个数是人的45倍，狗约有多少亿个嗅觉细胞？（得数保留一位小数）”。引导学生列式：0.049×45。

2.尝试计算，引发思考：学生独立计算，得出积为2.205。教师提问：题目要求“得数保留一位小数”，我们应该怎么做？激活学生对“求近似数”的已有经验。

3.【高频考点】方法指导：引导学生回顾求小数近似数的方法——“四舍五入”法。提问：保留一位小数，要看哪一位？（百分位）。2.205的百分位是0，小于5，所以舍去后面的数，得到2.2。强调横式上要用“≈”连接。

4.巩固深化：变换要求，如“保留两位小数”，让学生独立完成，并说出看哪一位，如何取舍。讨论：0.049×45=2.205，如果保留两位小数，结果是2.21吗？引导学生明确：要看千分位，千分位是5，向前一位进一，得到2.21。

5.【重要】总结要点：求积的近似数，先算出准确的积，再根据要求用“四舍五入”法保留相应的小数位数。注意横式和竖式的书写格式，以及“≈”的正确使用。解决生活中的实际问题时，要根据实际情况（如金额、人数等）确定保留几位小数。

第4课时：小数乘法整理与练习（一）

【教学过程】

1.知识梳理：引导学生以小组合作的形式，梳理本板块的知识点，包括小数乘整数、小数乘小数的算理、算法、积的小数点定位方法、积与因数的大小关系、积的近似数等。

2.错例辨析：教师呈现典型错题，如积的小数点位置点错、补0遗漏、末尾0未化简等，让学生“找茬”并分析错误原因，强化正确算法。

3.专项训练：针对【难点】“积的小数位数不够补0”和【基础】“小数乘法竖式计算”进行强化练习。

4.综合应用：解决稍复杂的实际问题，如“分段计费”（出租车问题）、“面积问题”等，提升学生综合运用知识的能力。

（二）板块二：小数除法的意义与算理

第5课时：除数是整数的小数除法——整数除法意义的延伸

【教学过程】

1.情境导入：呈现“王鹏坚持晨练，他计划4周跑步22.4千米，平均每周应跑多少千米？”列式：22.4÷4。

2.自主探索，初悟算理：

（1）学生尝试计算，教师巡视。预设方法：A.单位换算：22.4千米=22400米，22400÷4=5600米=5.6千米；B.分解法：22.4=22+0.4，22÷4=5.5（？此处需引导学生准确分解，22÷4=5余2，2与0.4合成2.4，2.4÷4=0.6，合起来5.6）；C.直接列竖式。

（2）重点分析竖式。引导学生思考：商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐？结合“分解法”理解：22个一除以4，商5个一，余2个一；把2个一化成20个十分之一，与4个十分之一合起来是24个十分之一，24个十分之一除以4，商6个十分之一。所以商5应该在个位，商6应该在十分位，小数点就要点在个位和十分位之间，即和被除数的小数点对齐。

3.【非常重要】建构算法：

（1）板书规范竖式，讲解每一步的含义：除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面；商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾有余数，就在余数后面添0继续除。

（2）尝试练习：9.6÷4，18.2÷14。重点关注商的中间有0的情况，如18.2÷14，个位商1余4，十分位是2，合起来42个十分之一除以14，商3个十分之一，十分位写3，点上小数点，整数部分个位是1，没问题。再如，整数部分不够除的情况，如1.8÷12，引导学生理解：个位1比12小，不够商1，个位商0占位，点上小数点，再继续除。

4.巩固深化：完成一组练习，涵盖整数部分够除、整数部分不够除、除后有余数需补0等情况。

5.课堂小结：除数是整数的小数除法，可以按照整数除法的法则去除，唯一的不同是商的小数点要和被除数的小数点对齐。

第6课时：一个数除以小数——商不变规律的灵活运用

【教学过程】

1.认知冲突，揭示课题：出示“奶奶编中国结，编一个要用0.85米丝绳，现有7.65米丝绳，可以编几个？”列式：7.65÷0.85。提问：除数是小数，我们还没学过，怎么办？引导学生运用转化的思想。

2.【非常重要】合作探究，理解算理：

（1）小组讨论：如何把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法？依据是什么？（商不变的规律：被除数和除数同时乘一个相同的数，商不变）。

（2）学生尝试转化并计算。预设：可以把0.85和7.65都乘100，转化成765÷85=9。教师结合竖式讲解转化的过程：在竖式中，先去掉除数的小数点，使它变成整数。除数0.85变成85，小数点向右移动了两位，相当于乘100。根据商不变的规律，被除数7.65的小数点也要向右移动两位，变成765。

（3）重点辨析：如果被除数的小数位数不够怎么办？例如，12.6÷0.28。引导学生发现：除数0.28要变成整数，小数点需向右移动两位，被除数12.6只有一位小数，位数不够，需在末尾用0补足，即变成1260÷28。在竖式中体现为在被除数的末尾补0。

3.总结算法，归纳步骤：

（1）引导学生梳理计算一个数除以小数的步骤：一看（看清除数有几位小数），二移（移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够的用0补足），三算（按照除数是整数的小数除法进行计算）。

（2）强调：移动小数点时，是以除数为标准，被除数跟着除数动。转化的目的是将新知识转化为旧知识。

4.【难点突破】分层练习：

（1）基础练习：完成竖式，重点检查小数点移动是否正确，特别是被除数位数不够补0的情况。

（2）辨析练习：判断对错，如2.6÷0.2，被除数小数点移动后是26，对吗？纠正：除数0.2变成2，移动了一位，被除数2.6应变成26，正确。

5.实际应用：用所学知识解决生活中的购物、分配等问题。

第7课时：商的近似数——实际需要与“四舍五入”

【教学过程】

1.情境导入：出示“爸爸给王鹏新买了1筒羽毛球，这筒羽毛球19.4元，1筒是12个，每个大约多少钱？”学生列式：19.4÷12。

2.尝试计算，发现问题：学生计算，发现除不尽，商是一个无限小数。教师提问：在现实生活中，我们通常用“元”作单位，可以精确到“分”，也就是保留几位小数？（两位小数）。那我们只需要除到哪一位就可以了？（除到小数部分第三位）。

3.【高频考点】方法探究：

（1）学生继续计算，除到第三位。讨论：19.4÷12≈1.62（元），为什么？明确：要求保留两位小数，就要看小数部分第三位（千分位），千分位是6，大于5，向前一位进一，得到1.62。

（2）强调：求商的近似数，不需要像求积的近似数那样先算出精确值，只需要除到需要保留的位数多一位，然后“四舍五入”。

4.对比辨析：对比“积的近似数”和“商的近似数”在求法上的异同。相同点：都是根据“四舍五入”法取近似值。不同点：积的近似数是先求精确积，再取近似；商的近似数是边除边取近似，除到比要求多一位即可。

5.巩固练习：变换要求，如保留一位小数、保留整数，让学生练习。讨论：在解决实际问题时，如“每个瓶子最多可装0.4千克油，装2.5千克油需要几个瓶子？”用“四舍五入”法得到6.25≈6个，但6个瓶子装不下，需要7个。这里就要用到“进一法”。同样，像“用丝带包装礼盒”，有时要用到“去尾法”。【热点：根据实际情境选择合理的取近似值的方法】。

第8课时：循环小数——认识无限与有限

【教学过程】

1.计算引入，激发疑问：计算两道题：1÷3，58.6÷11。学生计算，发现除不完，余数重复出现，商也重复出现。

2.【难点】概念建构：

（1）引导学生观察1÷3的竖式，发现每次余数都是1，商总是3，永远除不尽。像这样，一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。重复出现的数字叫做循环节。

（2）介绍循环小数的简便记法：如1÷3=0.333…，记作0.3（在3的头上点一个点）；58.6÷11=5.32727…，循环节是“27”，记作5.327（在2和7的头上各点一个点）。

3.概念辨析：

（1）区分有限小数和无限小数。指出小数部分位数有限的是有限小数，如0.9375；位数无限的是无限小数，循环小数是无限小数的一种。

（2）让学生判断，哪些除法算式的结果会得到有限小数，哪些会得到循环小数？引导学生初步感知，这与除数和被除数的质因数有关，但不做深入要求。

4.【基础】取循环小数的近似值：如保留两位小数，0.333…≈0.33；5.32727…≈5.33。强调要看需要保留位数的后一位来决定“四舍”还是“五入”。

5.趣味拓展：介绍循环小数的故事，激发学习兴趣。

第9课时：小数除法整理与练习（二）

【教学过程】

1.系统梳理：引导学生用思维导图或知识树的形式，梳理小数除法的知识体系：除数是整数的除法、除数是小数的除法、商的近似数、循环小数。

2.核心算法强化：重点复习“一个数除以小数”的转化过程，特别是小数点移动的方法和被除数补0的规则。【非常重要】

3.易错点辨析：教师收集典型错例，如商中间漏点小数点、商末尾的0处理不当、被除数与除数小数点移动位数不一致、循环小数表示不规范等，组织学生进行辨析和纠错。

4.对比练习：设计一组对比题，如：12.6÷0.3，12.6÷3，1.26÷0.3，126÷0.03，让学生在计算中感悟被除数、除数变化与商的关系，深化对商不变规律的理解。

5.实践应用：解决“归一”“归总”问题，如“3台拖拉机4小时耕地6.9公顷，每台每小时耕地多少公顷？”

（三）板块三：运算规律、循环小数与实际应用

第10课时：小数四则混合运算——运算顺序与简便计算

【教学过程】

1.复习铺垫：回顾整数四则混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号里面的）。

2.新知迁移：出示小数混合运算题，如4.8÷2.5×4，12.6-1.8×0.5，(3.2+4.06)÷6.05。让学生试算，并说出运算顺序。引导学生发现：小数四则混合运算的顺序和整数完全相同。

3.【热点】简便计算：

（1）出示0.25×4.78×4，7.6×2.3+2.4×2.3，引导学生观察数据特点，回想整数乘法运算定律（乘法交换律、结合律、分配律）对于小数乘法是否同样适用。

（2）学生尝试运用运算定律进行简便计算，并阐述理由。教师总结：整数乘法的运算定律对于小数乘法同样适用，可以使一些计算更简便。

（3）拓展：除法有没有类似的性质？如a÷b÷c=a÷(b×c)（b、c不为0），在小数除法中也适用，如8.4÷0.25÷4=8.4÷(0.25×4)=8.4÷1=8.4。但要注意，分配律在除法中不能随意套用。

4.综合练习：设计一些需要根据数据特点选择简便方法或按顺序计算的题目，培养学生运算的灵活性和合理性。

第11课时：单元复习与拓展——构建知识网络

【教学过程】

1.构建网络：引导学生以“计数单位”为核心概念，串联起小数乘法和除法的内在联系。乘法是计数单位的累加（如0.2×3，表示3个0.2），除法是计数单位的细分（如0.8÷4，表示将0.8平均分成4份，每份是0.2）。感悟整数运算和小数运算在本质上是一致的，都是基于计数单位的操作。

2.【非常重要】核心概念再探：通过一组题组，如12×3，1.2×3，1.2×0.3，12÷3，1.2÷3，1.2÷0.3，让学生从计数单位的角度解释计算过程，深化对算理的理解，实现知识的融会贯通。

3.思维拓展：解决一些具有挑战性的实际问题，如“移动小数点问题”（一个小数，小数点向左移动一位后，比原数少0.72，原数是多少？），这类问题综合考查学生对小数意义和乘除法关系的理解。

4.错题反思：让学生拿出自己平时作业中的错题，分析错误类型（是算理不清，还是算法不熟，或是习惯不好），并针对性地进行二次练习。

第12课时：单元综合测评与讲评

【教学过程】

1.测评：编制一份涵盖本单元所有知